三次樣條插值(1)

1、 總總 結(jié)結(jié)三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)三次樣條插值函數(shù)的誤差估計(jì)三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法三彎矩算法三彎矩算法三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 知道三次樣條插值函數(shù)的概念，會(huì)求知道三次樣條插值函數(shù)的概念，會(huì)求三次樣條插值函數(shù)，進(jìn)行誤差分析。三次樣條插值函數(shù)，進(jìn)行誤差分析。 第二章 插值與擬合編輯課件高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象高次插值出現(xiàn)龍格現(xiàn)象L-插值（牛頓插值（牛頓插值）插值）Hermite插值插值 分段分段插值插值但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑但分段線性插值在節(jié)點(diǎn)處不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值

2、不容易提?。ㄕ业剑┎蝗菀滋崛。ㄕ业剑┤螛訔l插值（先由三次樣條插值（先由函數(shù)值函數(shù)值確定確定導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值，再由，再由分段分段Hermite插值解決問題插值解決問題）舉例：舉例：1 1 汽車、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；汽車、船的外形設(shè)計(jì)，流體力學(xué)等要求流線型（光滑）；2 2 木樣條的來源。木樣條的來源。三次樣條插值函數(shù)的概念三次樣條插值函數(shù)的概念一、背景一、背景第二章 插值與擬合編輯課件數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)里的樣條樣條( Spline )一詞來源于它的直觀一詞來源于它的直觀幾何幾何 背景背景：繪圖員或板金工人常用彈性：繪圖員或板金工人常用彈性木條木條或或金屬金屬條條加加壓鐵壓鐵( (構(gòu)

3、成樣條構(gòu)成樣條!) !)固定在樣點(diǎn)上，在其它地方固定在樣點(diǎn)上，在其它地方讓它自由彎曲，然后畫下長(zhǎng)條的曲線，稱為讓它自由彎曲，然后畫下長(zhǎng)條的曲線，稱為樣樣條曲線條曲線. . 樣條曲線實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，樣條曲線實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點(diǎn)擊樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)在連接點(diǎn)擊樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。第二章 插值與擬合編輯課件相同數(shù)據(jù)相同數(shù)據(jù)3 3次樣條插值與次樣條插值與Lagrange插值效果比較插值效果比較Cubic Spline Interpolation Lagrange第二章 插值與擬合

4、編輯課件 定義定義 2.8 （三次樣條函數(shù)）（三次樣條函數(shù)） )(xSb在每一個(gè)小區(qū)間在每一個(gè)小區(qū)間1,jjxx上上是次數(shù)是次數(shù) 1,1 , 0 nj3 多項(xiàng)式。多項(xiàng)式。), 1 , 0(),()(nixfxSii 若若(1)中中三三次樣條函數(shù)次樣條函數(shù)還滿足插值條件：還滿足插值條件：)(xS關(guān)于剖分關(guān)于剖分)(xS稱稱為為)(xf 的三次樣條插值函數(shù)。的三次樣條插值函數(shù)。 baCxSa,)()(2 ，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。，即具有連續(xù)的一階，二階導(dǎo)數(shù)。滿足下述條件：滿足下述條件：,:10bxxxan )(xS如果函數(shù)如果函數(shù) (1) 設(shè)有對(duì)設(shè)有對(duì)a,b的剖分的剖分的一個(gè)的一個(gè)3次樣條函

5、數(shù)。次樣條函數(shù)。)(xS為關(guān)于剖分為關(guān)于剖分 則稱則稱 )(xfy 函數(shù)表函數(shù)表), 1 , 0(),(,(nixfxii （2）設(shè)給定）設(shè)給定(2.42)二、樣條函數(shù)的定義二、樣條函數(shù)的定義 第二章 插值與擬合編輯課件提出問題：提出問題：)(xS3次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù)是否存在是否存在？是否唯一是否唯一？如何計(jì)算如何計(jì)算？誤差估計(jì)誤差估計(jì)？問題的提法問題的提法：給定數(shù)據(jù)表：給定數(shù)據(jù)表構(gòu)造構(gòu)造3 3次樣條函數(shù)次樣條函數(shù) , ,滿足插值條件滿足插值條件 x f x0 x1xnx0f1fnf S x ,0,1, . (2.42)iiS xfinL第二章 插值與擬合編輯課件 111,1,2,1

6、,1,2,1,1,2,1.iiiiiiiiiiiiSxSxinSxSxinSxSxinLLL 0011123111,.,;iiinnnSxxx xSxxx xS xS xCx xSxxxx構(gòu)造方法構(gòu)造方法： S(x)應(yīng)具有如下形式應(yīng)具有如下形式并且滿足條件并且滿足條件(2.42)(2.42)和和(2.43)(2.43)第二章 插值與擬合編輯課件分析：分析： 因因,)(1 jjxxxS在在上是上是分段分段3次多項(xiàng)式，即為次多項(xiàng)式，即為,)()(32xdxcxbaxSxSjjjjj ) 1, 1 , 0(,1 njxxxjj4 4n個(gè)待定系數(shù)個(gè)待定系數(shù):,jjjjdcba1, 1 , 0 nj從而

7、從而S(x)共須共須4n個(gè)獨(dú)立條件確定個(gè)獨(dú)立條件確定 . )()()()()()(111jjjjjjjjjjjjxSxSxSxSxSxS內(nèi)部條件：內(nèi)部條件： 1, 1 njS和和S, S 在在n-1個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù)個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)連續(xù), ,即滿足條件即滿足條件(2.43),(2.43),因而因而(2.43)(2.43)給出了給出了3( (n-1) 個(gè)條件；個(gè)條件；(2.43)(2.43)第二章 插值與擬合編輯課件 已有條件已有條件：), 1 , 0(),()(njxfxSjj 共有共有24 n個(gè)條件個(gè)條件,要唯一確定要唯一確定 ,還必須附加還必須附加2 2個(gè)條件個(gè)條件)(xS(2.42)(2.42)提供了

8、提供了n+1個(gè)獨(dú)立條件個(gè)獨(dú)立條件;( (邊界條件邊界條件) )。附加附加2個(gè)條件，個(gè)條件，有多種給法有多種給法. .最常見的給法是最常見的給法是: :(a) （簡(jiǎn)支邊界，導(dǎo)致（簡(jiǎn)支邊界，導(dǎo)致三彎矩關(guān)系式三彎矩關(guān)系式, M , M 關(guān)系式關(guān)系式）, , 特別地特別地, , ( (自然邊界自然邊界, ,三次自然樣條三次自然樣條);); (b) ( (固支邊界固支邊界, ,導(dǎo)致導(dǎo)致三轉(zhuǎn)角關(guān)系式三轉(zhuǎn)角關(guān)系式, m, m關(guān)系式關(guān)系式). ).000,nnnSxfxMSxfxM00,nMM000,nnnSxfxm Sxfxm(2.44)(2.44)(2.45)(2.45)第二章 插值與擬合編輯課件)(c第

9、第3種邊界條件（周期邊界條件）：種邊界條件（周期邊界條件）：)(xfy 為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，此時(shí)稱此時(shí)稱)(xS為周期樣條函數(shù)。為周期樣條函數(shù)。).2 , 1 , 0(),()()(0)( kxSxSnkk)(xS亦是周期函數(shù)，周期為亦是周期函數(shù)，周期為ab ，即取即取要求要求 注：注：一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一般不取一端是一階導(dǎo)數(shù)而另一端是二階導(dǎo)數(shù)一端是二階導(dǎo)數(shù)。第二章 插值與擬合編輯課件 這樣，由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連這樣，由以上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出接條件，就能得出4n4n個(gè)方程，可以惟一確定個(gè)方程，可以惟一確定4n4n個(gè)系數(shù)。從而個(gè)

10、系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)得到三次樣條插值函數(shù)S(S(x) )在各個(gè)子區(qū)間在各個(gè)子區(qū)間 xi , xi+1 上的表達(dá)上的表達(dá)式式S(S(xi i）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，這種做法當(dāng)。但是，這種做法當(dāng)n n較大時(shí)，計(jì)算工較大時(shí)，計(jì)算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡(jiǎn)單的構(gòu)作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡(jiǎn)單的構(gòu)造方法。造方法。 ), 1 , 0(),(,(nixfxii 且且;10bxxxan (1)如果如果是定義在是定義在上函數(shù)且已知上函數(shù)且已知)(xfy 函數(shù)表函數(shù)表)(xf,ba 定理定理2.8（3 次樣條插值函數(shù)存在唯一次樣條插值函數(shù)存在唯一

11、）唯一唯一3 3次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù))(xS, ,且滿足且滿足）。）或或（或或（cba)()(xf,ba ( (2) )給定邊界條件給定邊界條件）或或（或或（cba)(，則，則于于存在存在第二章 插值與擬合編輯課件 推導(dǎo)推導(dǎo)方法：方法：1、先確定、先確定插值函數(shù)插值函數(shù))(xS在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，記為在節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，記為,)(jjmxS , 1 , 0nj 該方法即為該方法即為3次樣條插值函數(shù)的次樣條插值函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)表示。一階導(dǎo)數(shù)表示。2、先確定、先確定插值函數(shù)插值函數(shù))(xS在節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為在節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記為,)(jjMxS , 1 , 0nj 該方法即為該方法即

12、為3次樣條插值函數(shù)的次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示。二階導(dǎo)數(shù)表示。第二章 插值與擬合編輯課件 -三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù) 可以有多種表達(dá)式，可以有多種表達(dá)式，有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值有時(shí)用二階導(dǎo)數(shù)值表示時(shí)，使用更方便。表示時(shí)，使用更方便。 在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在在 處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩處的彎矩，并且得到的彎矩與相鄰兩個(gè)彎矩有關(guān)，故稱用有關(guān)，故稱用 表示表示 的算法為的算法為三彎矩算法三彎矩算法。)(xS()(0,1,)iiSxMinMixiMi)(xS2.3.2 三彎矩算法三彎矩算法第二章 插值與擬合編

13、輯課件是是三三次次樣樣條條因因?yàn)闉?(xSj,),()(11jjjjjjxxhxxxxSxS 令令1,( ),jjjSxxx所以在上是一次函數(shù),插插值值函函數(shù)數(shù)，), 2 ,0,1j)(nMxSjj ，（令令由兩點(diǎn)拉格朗日插值由兩點(diǎn)拉格朗日插值可表示為可表示為,)(11 jjjjjjMhxxMhxxxS參數(shù)參數(shù)(2.46)對(duì)對(duì)上上式積分式積分, ,得得22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh (2.47)(2.48)再積分再積分, ,得得331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxxjjjjjxxhxxx 11,第二章

14、插值與擬合編輯課件 由條件由條件11)(,)( jjjjyxSyxS，確定積分常數(shù)，確定積分常數(shù)12,c c(2.49)(2.47)(2.48)21221111211(), 61(),6jjjjjjjjjjS xh Mc xcyS xh Mc xcy22111()()( ), 22jjjjjjxxxxS xMMchh 331112()()( ), 66jjjjjjxxxxS xMMc xchh,1 jjxxx111112111(),61().6jjjjjjjjjjjjjjjjyych MMhy xy xch x Mx Mh第二章 插值與擬合編輯課件 將將上式上式代入代入( (2.48) )得到

15、三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式得到三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式331122111()()( )66()(), 66jjjjjjjjjjjjjjjjxxxxS xMMhhM hxxMhxxyyhh(2.50)由上討論可知由上討論可知,只要確定只要確定Mj (j=0,1,n)這這n+1個(gè)值個(gè)值, 就就可定出三樣條插值函數(shù)可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了確定。為了確定Mj (j=0,1,n),對(duì)對(duì)S(x)求導(dǎo)得求導(dǎo)得221111()() ( )226jjjjjjjjjjjjxxxxyyMMS xMMhhhh 1,jjxxx(2.51)1,jjxxx第二章 插值與擬合編輯課件13311112211111111

16、2211111( ),()()( )66()(), , 66()()( )22 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjS xxxxxxxS xMMhhMhxxM hxxyyxxxhhxxxxS xMMhhyyh 類似地可求出在區(qū)間上的表達(dá)式,從而得1111 , 6jjjjjMMhxxx(2.52)第二章 插值與擬合編輯課件1111111( )(0)(0), 636 1,1,jjjjjjjjjjjjjjjS xS xS xhhhhyyyyMMMhhjn利用在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性,即可得 0 , :(0)(0)njjMMS xS x為了求要用導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件1111111(2.51):

17、(0),36(2.52): (0),63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由得由得(2.53)(2.54)(2.55)第二章 插值與擬合編輯課件1111111,636jjjjjjjjjjjjjhhhhyyyyMMMhh（2.55） (1,2,1)jn上式兩邊同乘以上式兩邊同乘以 , ,即得方程即得方程 16jjhh11111111162jjjjjjjjjjjjjjjjjhhyyyyMMMhhhhhhhh11111111166,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhhhyyyydf xxxhhhh若記若記 （2.56）第二章 插值與擬合編輯課件1

18、111111 2, 1,1, ,6 ,.jjjjjjjjjjjjjjjjjjMMMdjnhhdf xx xhhhh其中所得方程可簡(jiǎn)寫成所得方程可簡(jiǎn)寫成10112121223212111222nnnnnnMMMdMMMdMMMd（2.58） 即即 （2.57）個(gè)個(gè)方方程程1 n 三彎矩方程三彎矩方程第二章 插值與擬合編輯課件 這是一個(gè)含有這是一個(gè)含有n+1+1個(gè)未知數(shù)、個(gè)未知數(shù)、n-1-1個(gè)方程的線性方個(gè)方程的線性方程組程組. .要完全確定要完全確定Mi (i=0,1,n)的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件條件, ,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，

19、根據(jù)插值區(qū)間值區(qū)間 a, ,b 的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。第二章 插值與擬合編輯課件由由(2.53),得得0001100063fhyyMhMh 由由(2.54),得得1111136 nnnnnnnnhyyfMhMh(1) 若若已知，已知，,)(,)(000nnnmfxSmfxS 11()36jjjjjjjjyyhhSxMMh11111()36jjjjjjjjyyhhS xMMh )(621111 nnnnnnnhyyfhMM)(620001010fhyyhMM 0d nd 則令則令j=0，令令j=n，第二章 插值與擬合編輯課件001,1,nnjjM令得滿足的方

20、程組 nnnnnnnddddMMMM110110111102222 (2.59)第二章 插值與擬合編輯課件(2) 若若nnnfMxSfMxS )(,)(000已知，已知，代入方程代入方程(2.58)，只只需解需解n-1個(gè)方程個(gè)方程 nnnnnnnnnfdddfdMMMM112201112211222212222 (2.60)第二章 插值與擬合編輯課件 (3) 對(duì)第三類邊界條件：對(duì)第三類邊界條件：),0() 0(0 nxSxS) 0() 0(0 nxSxS 0M,nM 11001101110)(3166 nnnnnnnhyyhyyMhhMhMh兩邊同除以兩邊同除以得得,610 nhh)(6211

21、0011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh( j=n)1111111 (0),(2.53)36 (0),(2.54)63jjjjjjjjjjjjjjjjhhyyS xMMhhhyyS xMMh由和可得( j=n)( j=0)第二章 插值與擬合編輯課件)(62110011011011100 nnnnnnnnnhyyhyyhhMMhhhMhhh)(61100110 nnnnnhyyhyyhhd,1101 nnnnhhh ,100 nnhhh 令令nnnnndMMM 211 得得又由又由 nMM 0, 三彎矩方程可寫為三彎矩方程可寫為 nnnnnnnnddddM

22、MMM1211211122112222 (2.61)第二章 插值與擬合編輯課件 nnnnnnnnddddMMMM1211211122112222 (2.61)， nnnnnnnddddMMMM110110111102222 (2.59) nnnnnnnnnfdddfdMMMM11220112211222212222 (2.60)第二章 插值與擬合編輯課件說明：說明： （1） 方程組方程組(2.59)(2.61)系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩 陣，因此方程組陣，因此方程組(2.59)(2.61有唯一解有唯一解 （2）Mj 在力學(xué)上為細(xì)梁在在力學(xué)上為細(xì)梁在xj處處截面截面處的

23、處的彎矩彎矩, , 且彎矩與且彎矩與相鄰相鄰的兩個(gè)彎矩有關(guān)的兩個(gè)彎矩有關(guān), 故方程組故方程組(2.59)(2.61)稱為稱為三彎矩三彎矩方程。方程。 Mj 在數(shù)學(xué)上稱為在數(shù)學(xué)上稱為曲率曲率。 實(shí)際上實(shí)際上,方程組方程組(2.59)(2.61)的系數(shù)矩陣是一類特殊的系數(shù)矩陣是一類特殊的矩陣，在后面線性方程組的解法中，將專門介紹這類的矩陣，在后面線性方程組的解法中，將專門介紹這類方程組的解法和性質(zhì)。方程組的解法和性質(zhì)。 第二章 插值與擬合編輯課件例例 2.14 設(shè)在節(jié)點(diǎn)設(shè)在節(jié)點(diǎn) 上，函數(shù)上，函數(shù) 的值為的值為 ， 。 試求三試求三次樣條插值函數(shù)次樣條插值函數(shù) ，滿足條件，滿足條件)3 , 2 ,

24、1 , 0( iixi)(xf5 . 0)(, 0)(10 xxff5.1)(,2)(32 xxff)(xS. 3 . 3)(, 3 . 0)()2(, 1)(, 2 . 0)()1(3030 xxxxSSSS11121211211110.5(1,2)0.53,66jjjjjjjjjjjjjjjjjhhhhjhhddyyyydhhhh 解解 （1）利用方程組（）利用方程組（2.56）進(jìn)行求解，可知）進(jìn)行求解，可知第二章 插值與擬合編輯課件對(duì)第一類邊界條件對(duì)第一類邊界條件03()0.2,()1,S xS x 1000003233226() 1.86()3yydfhhyydfhh(2.59),代入

25、有 3638.1215.025.05.025.0123210MMMM0123:0.36,2.52,3.72,0.36MMMM 解得代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），經(jīng)化簡(jiǎn)有），經(jīng)化簡(jiǎn)有第二章 插值與擬合編輯課件, 2) 2(68. 0286. 1268. 0, 5 . 0) 1(28. 1126. 1104. 1,2 . 018. 048. 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx（）（） 仍用方程組進(jìn)行求解，不過要注意仍用方程組進(jìn)行求解，不過要注意 的不同。由于的不同。由于 和和 已知，故可以化簡(jiǎn)得已知，故可以

26、化簡(jiǎn)得dd3030,M3M0第二章 插值與擬合編輯課件.3 .153 . 6411421 MM由此解得由此解得 。5 . 4, 7 . 221MM將將 代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（代入三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式（2.50），），經(jīng)化簡(jiǎn)有經(jīng)化簡(jiǎn)有MMMM3210, 2) 2(45. 0225. 213 . 1, 5 . 0) 1(35. 1135. 112 . 1,15. 015. 05 . 0)(232323xxxxxxxxxxS 3 , 2 2 , 1 1 , 0 xxx第二章 插值與擬合編輯課件例例2.15 已知的函數(shù)值如下：已知的函數(shù)值如下： x 1 2 4 5 1 2 4 5 f (x

27、) 1 3 4 2 1 3 4 2在區(qū)間在區(qū)間 1,51,5 上求三次樣條插值函數(shù)上求三次樣條插值函數(shù)S(x),S(x),使它滿足邊界條件使它滿足邊界條件 0)5(, 0) 1 ( SS解解: :這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定 的方程組形如（的方程組形如（2.602.60）所示，）所示， 由已知邊界條件由已知邊界條件, ,有有 則得求解則得求解 的方程組為的方程組為 3210,MMMM0)(, 0)(333000 MyxSMyxS21, MM11122222MdMd 第二章 插值與擬合編輯課件根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出

28、 與與 ii,id121321hhh2,21,2,322110 xxfxxfxxf32,3232222121hhhhhh112010166 1(,)(2)33 2df x xf x xhh 2231212661(,)( 2)532df x xf x xhh 第二章 插值與擬合編輯課件523233222121MMMM則得方程組則得方程組 解得解得 49,4321MM又又 030 MM即得即得S(x)S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式在各子區(qū)間上的表達(dá)式, ,由式（由式（2.512.51）知）知,S(x),S(x)在在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為代入式代入式(2.50)(2.50)3,2,1)(ixSi1

29、0, xx1301131016)(6)()(hxxMhxxMxS102111112100)(6)(6hxxhMyhxxhMy將將 代入上式化簡(jiǎn)后得代入上式化簡(jiǎn)后得 43, 0, 1, 3, 1, 2, 11011010MMhyyxx第二章 插值與擬合編輯課件1478381)(231xxxxS同理同理S(x)S(x)在在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 21, xx1478381)(232xxxxSS(x)S(x)在在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 32, xx1949184583)(233xxxxS第二章 插值與擬合編輯課件故所求的三次樣條插值函數(shù)故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)S(x)在區(qū)間在區(qū)間上的

30、表達(dá)式為上的表達(dá)式為 5,1)54(1949184583)42(1478381)21 (1478381)(232323xxxxxxxxxxxxxS第二章 插值與擬合編輯課件下面構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)值下面構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)值 表示的三次樣條插表示的三次樣條插值函數(shù)。值函數(shù)。 在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在在力學(xué)上解釋為細(xì)梁在 截面處的轉(zhuǎn)角，并且得到的轉(zhuǎn)截面處的轉(zhuǎn)角，并且得到的轉(zhuǎn)角與相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱用角與相鄰兩個(gè)轉(zhuǎn)角有關(guān)，故稱用 表示表示 的算法為的算法為三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法。), 1 , 0()(niSmxii mimi)(xSxi2.3.3 三轉(zhuǎn)角算法三轉(zhuǎn)角算法0 ( )( )( ), njjjjjH xfxm

31、x.,數(shù)，得到三次樣條插值函對(duì)角方程組，求出的三，可得關(guān)于連續(xù)性條件和邊界條件由插值條件jjmm埃爾米特插值多項(xiàng)式，根據(jù)分段三次三轉(zhuǎn)角法：假定 , ), 0()(njmxsjj第二章 插值與擬合編輯課件根據(jù)根據(jù)Hermite插值函數(shù)的唯一性和表達(dá)式插值函數(shù)的唯一性和表達(dá)式 可設(shè)可設(shè) S(x)在區(qū)間在區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,n-1)的表達(dá)式的表達(dá)式為為 221133122112212()()2()()( )()()()().iiiiiiiiiiiiiiiiiihxxxxhxxxxS xhhxxxxxxxxhhffmm第二章 插值與擬合編輯課件對(duì)對(duì)S(x)求二次導(dǎo)數(shù)得求二次導(dǎo)數(shù)得112

32、21131624642( )6(2 )().iiiiiiiiiiiiixxxxxSxhhxxxhxmmff于是有于是有).(624)0(121ffhmhmhxiiiiiiiiS 同理，考慮同理，考慮S(x)在在xi-1 , xi上的表達(dá)式，可以得到上的表達(dá)式，可以得到).(1642)0(12111ffhmhmhxiiiiiiiiS 第二章 插值與擬合編輯課件利用條件利用條件 ，得，得)0()0( xxiiSS112,1,2,1.iiiiiiinmmme（2.62）其中，其中， 由（由（2.56）所示，而）所示，而 ,ii).,(311xxxxeiiiiiiiff （2.63） 方程組方程組(2

33、.63)是關(guān)于是關(guān)于 的方程組的方程組,有有 個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù),但只有但只有 個(gè)方程個(gè)方程.可由可由(2.44)(2.46)的任一種邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。的任一種邊界條件補(bǔ)充兩個(gè)方程。 1 n1 nmi第二章 插值與擬合編輯課件111012222223311112222nnnnnnnnnfemmememfe由此可解得由此可解得m1,m2, mn-1 ，從而得，從而得 S(x)的表達(dá)式的表達(dá)式.（2.64） 對(duì)于邊界條件對(duì)于邊界條件(2.45), 兩個(gè)方程兩個(gè)方程則則m1,m2, mn-1滿足方程組滿足方程組 00,nnmfmf第二章 插值與擬合編輯課件 對(duì)于邊界條件對(duì)于邊界條件(2.44),可導(dǎo)出兩個(gè)方程可導(dǎo)出兩個(gè)方程: 0001102000112111001010111426(0)()246(0)()3 ,23 ,.222nnnnnnnnnnnnnnnMSxmmyyhhhMSxmmyyhhhffhymmx xhymmxx (2.65)第二章 插值與擬合編輯課件若令若令fhxxef