事件的獨(dú)立性課件

1、應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)理學(xué)院第一章第五節(jié) 事件的獨(dú)立性 顯然顯然 P(A|B)=P(A)。 這就是說(shuō)：這就是說(shuō)：已知事件已知事件B發(fā)生，并不影響發(fā)生，并不影響事件事件A發(fā)生的概率，這時(shí)稱(chēng)事件發(fā)生的概率，這時(shí)稱(chēng)事件A、B獨(dú)立。獨(dú)立。一、兩事件的獨(dú)立性一、兩事件的獨(dú)立性A=第二次擲出第二次擲出6點(diǎn)點(diǎn)， B=第一次擲出第一次擲出6點(diǎn)點(diǎn)，先看一個(gè)例子：先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)設(shè) 由乘法公式知，由乘法公式知，當(dāng)事件當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有獨(dú)立時(shí)，有 P(AB)=P(A) P(B)。 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨(dú)立性，比用刻劃獨(dú)立性，比用 P(A|B) = P

2、(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受更好，它不受P(B)0或或P(A)0的制約。的制約。P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件若兩事件A、B滿(mǎn)足滿(mǎn)足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱(chēng)則稱(chēng)A、B獨(dú)立，或稱(chēng)獨(dú)立，或稱(chēng)A、B相互獨(dú)立相互獨(dú)立。兩事件獨(dú)立的定義兩事件獨(dú)立的定義例例1： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的?？梢?jiàn)可見(jiàn), P(AB)=P(A)P(B)。 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說(shuō)明事件說(shuō)明事件A、B獨(dú)立。獨(dú)立。問(wèn)事件問(wèn)事件A、B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立

3、？解：解：P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2， 前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做出結(jié)論的，也可以通過(guò)計(jì)算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的。 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 往往往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立義去判斷兩事件是否獨(dú)立 。由于由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13，P(A)= P(A|B), 說(shuō)明事件說(shuō)明事件A、B獨(dú)立。獨(dú)立。 在實(shí)際

4、應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立去判斷兩事件是否獨(dú)立。 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認(rèn)為概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立獨(dú)立 。甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？例如：例如：(即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率的概率)。 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品， i=1,2。若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A

5、2獨(dú)立。獨(dú)立。 因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到 第一次抽取的影響。第一次抽取的影響。又如：又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響。不受第一次抽取的影響。若抽取是無(wú)放回的，則若抽取是無(wú)放回的，則A1與與A2不獨(dú)立。不獨(dú)立。請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？請(qǐng)問(wèn)：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨(dú)立。不獨(dú)立。反之，若反之，若A與與B獨(dú)立，且獨(dú)立，且P(A)0, P(B)0, 則則A 、B不互斥。不互斥。而而P(A) 0, P(B) 0。故故 A與與B不獨(dú)立。不獨(dú)立。我們來(lái)計(jì)算：我們

6、來(lái)計(jì)算：P(AB)=0,P(AB) P(A)P(B)。即即 問(wèn)：能否在樣本空間問(wèn)：能否在樣本空間中找兩個(gè)事件中找兩個(gè)事件,它們它們既相互獨(dú)立又互斥既相互獨(dú)立又互斥?這兩個(gè)事件就是這兩個(gè)事件就是 和和。 所以，所以， 與與獨(dú)立且互斥。獨(dú)立且互斥。 , 因因?yàn)闉椴浑y發(fā)現(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)， 與任何事件都獨(dú)立。與任何事件都獨(dú)立。 , 0)()()( PpP設(shè)設(shè)A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是： 前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A

7、|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。設(shè)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且為獨(dú)立事件，且P(A)0, P(B)0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1. P(B|A)0， 2. P(A|B)=P(A)，3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)。再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí)。再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí)。= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B獨(dú)立獨(dú)立故故A與與 獨(dú)立。獨(dú)立。B概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)證明證明: 僅證僅證A與與 獨(dú)立。獨(dú)立。B定理：定理：若兩事件若兩事件A、B獨(dú)立，則獨(dú)立，則 BABABA與與與,也相互獨(dú)立

8、。也相互獨(dú)立。=P(A)1-P(B)=P(A)P( ),B二、多個(gè)事件的獨(dú)立性二、多個(gè)事件的獨(dú)立性將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件： 對(duì)于三個(gè)事件對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B)， 四個(gè)等式同時(shí)四個(gè)等式同時(shí) P(AC)= P(A)P(C) , 成立成立, 則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 獨(dú)立。獨(dú)立。 推廣到推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義個(gè)事件的獨(dú)立性定義, 可類(lèi)似地刺蛾出可類(lèi)似地刺蛾出: 設(shè)設(shè)A1,A2, ,An是是 n個(gè)事件，如果對(duì)任意個(gè)事件，如

9、果對(duì)任意k( ), 任意任意 ，等式，等式包含等式總數(shù)為：包含等式總數(shù)為：。1201)11(32 nnnnnnnnnnk 1niiik 211)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng)n個(gè)事件個(gè)事件A1,A2, ，An相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與事件兩兩相請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與事件兩兩相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)對(duì)n(n2)個(gè)事件個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：例例2: 三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的

10、概率分別為能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問(wèn)三人中，問(wèn)三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：將三人編號(hào)為解：將三人編號(hào)為1，2，3，三、獨(dú)立性概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用三、獨(dú)立性概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用所求為所求為 P(A1+A2+A3)。記記 Ai=第第i個(gè)人破譯出密碼個(gè)人破譯出密碼 ， i=1,2,3。已知已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。P(A1+A2+A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 。6 . 0534332

11、541 則則請(qǐng)看演示請(qǐng)看演示“諸葛亮和臭皮匠諸葛亮和臭皮匠” n個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式個(gè)獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則）nAAAP21(1)(121nAAAP P(A1+An)()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21 也就是說(shuō)也就是說(shuō): n個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生個(gè)獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于的概率等于1減去各自對(duì)立事件概率的乘積。減去各自對(duì)立事件概率的乘積。nAAA,21則則“ 至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn )。)()()(121nAPAPAP,1

12、npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個(gè)獨(dú)立事件個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分別為類(lèi)似地，可以得出：類(lèi)似地，可以得出：nAAA,21至少有一個(gè)不發(fā)生至少有一個(gè)不發(fā)生”的概率為的概率為“)(21nAAAP=1- - p1 pn 例例3：下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖。下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖。 A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的都是電路中的元件，各自下方的數(shù)字表示其正常工作之元件，各自下方的數(shù)字表示其正常工作之概率。概率。 求電路正常工作的概率。求電路正常工作的概率。ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0P(W)=P(A)P(B)

13、P(C+D+E)P(F+G)P(H)。解：將電路正常工作記成解：將電路正常工作記成W。由于各元件獨(dú)立。由于各元件獨(dú)立工作，所以有工作，所以有其中其中,973. 0)()()( EPDPCPP(C+D+E)=1- -。9375. 0)()( GPFPP(F+G)=1- -P(W) 0.782。代入得代入得ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0解解:例例4 ： 驗(yàn)收驗(yàn)收100100件產(chǎn)品的方案如下，從中任取件產(chǎn)品的方案如下，從中任取3 3件進(jìn)行獨(dú)立地測(cè)試件進(jìn)行獨(dú)立地測(cè)試, ,如果至少有一件被斷定為如果至少有一件被斷定為次品次品, ,則拒絕接

14、收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測(cè)則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測(cè)試后被斷定為次品的概率為試后被斷定為次品的概率為0.95,0.95,一件正品經(jīng)一件正品經(jīng)測(cè)試后被斷定為正品的概率為測(cè)試后被斷定為正品的概率為0.99,0.99,并已知這并已知這100100件產(chǎn)品恰有件產(chǎn)品恰有4 4件次品。求此批產(chǎn)品能被接收件次品。求此批產(chǎn)品能被接收的概率。的概率。 設(shè)設(shè) A=A=此批產(chǎn)品被接收此批產(chǎn)品被接收 ， B Bi i=取出取出3 3件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有i i件是次品件是次品 ， i=0,1,2,3i=0,1,2,3。 則則。31003433100196242310029614131003960)(,)(,

15、)(,)(CCBPCCCBPCCCBPCCBP 因因三次測(cè)試是相互獨(dú)立的，故三次測(cè)試是相互獨(dú)立的，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。 由全率公式由全率公式, ,得得。8629.0)()|()(30 iiiBPBAPAP解解:例例5 : 若干人獨(dú)立地向一游動(dòng)目標(biāo)射擊若干人獨(dú)立地向一游動(dòng)目標(biāo)射擊, ,每人擊中目標(biāo)的概率都是每人擊中目標(biāo)的概率都是0.60.6。求至少需。求至少需要多少人要多少人, ,才能以才能以0.990.99以上的概率擊中目以上的概率擊中目標(biāo)標(biāo)? ? 設(shè)至少需要設(shè)至少需要n n個(gè)人個(gè)人, ,才能以才能以0.990.99以上的以上的概率擊中目標(biāo)。概率擊中目標(biāo)。 令令A(yù)=A=目標(biāo)被擊中目標(biāo)被擊中, A, Ai i=第第i i人擊中人擊中目標(biāo)目標(biāo), i=1,2,n, i=1,2,n。則。則A A1 1,A,A2 2,A,An n 相相互獨(dú)立。于是，事件互獨(dú)立。于是，事件 也也相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。nAAA,21因 A=A1A2An , 得 P(A)=P(A1A2An ) 問(wèn)題化成了求最小的問(wèn)題化成了求最小的n,n,使使