56二項(xiàng)式定理十大典型例題配套練習(xí)

1、選修2-3:二項(xiàng)式定理常見題型1. 二項(xiàng)式定理：2. nMnlnlirnrrnn(ab)CnaCnab川Cnab也Cnb(nN),基本概念： 二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)展開式。 二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cnr(r0,1,2,n). 項(xiàng)數(shù)：共n+1項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r1項(xiàng)C；anrbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用TiC；anrb表示。3. 性質(zhì): 二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C：Cnnk.二項(xiàng)式系數(shù)和：令ab1,可得二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0C：C'IIIC；IIICn2n,r1IIII變形式C1C：CnH

2、ICn2n1。 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a1,b1,則C：C：C：C3HI(1)nC：(11)n0,0c2C4C2rC1c32r11cnn1 從侍全.CnCnCnCnCnCnCn?22n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的藉指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：取得最大值。n1n1如果二項(xiàng)式的藉指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C,C7同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(abx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別、，.Ar1Ar為A，A2,An1,設(shè)第r1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出r來(lái)。Ar1Ar2題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；一

3、1c2ac32nn1例：CnCn6Cn6Cn6nc0廠1公c2233nn缶牛.(16)CnCn6Cn6Cn6Cn6八1八232nn11122nnCnCn6Cn6Cn6(Cn6Cn6Cn6)T(C0Cn6C262IIIC；6n1)£(16)n1(7n1)666123練：Cn3Cn9Cnn左41解：3題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù);例:在二項(xiàng)式（J!Vx）n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為-3一-45,求含有x的項(xiàng)的系數(shù)?解:由條件知C；245,即C：45,n900,解得n9（舍去）或n10,由練:解:1210rTCr(x4)10r(x3)rCrx4Tr1C10(x)(x)C10x則含有x

4、3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T61求（x2）9展開式中x92xr29r1rTr1C9(X)()2x1.故x9的系數(shù)為C；(-)3Cwx3的系數(shù)?2_r3,由題意1043,解得r6,3一一210x，系數(shù)為210。r182r,1、rrCgx(2)xr1rC9(2)18x3r令183r9,則r321o2題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);例:求二項(xiàng)式（x2-）10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2.x解:_r210rTr1C10(x)5rr1r20TC1°(；)x20,得818r8,所以T9C10C2)45256練:解:1.6求一項(xiàng)式(2x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x11.r6rrrrr6rrTr1C6(2x)(1)()(

5、1)C62()2x2x62r,令62r0，得r3，所以T4（1)3C320練:若（x21）n的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則nx解:42n414n丁5Cn(x)()xC：x2n12,令2n120,得n6.題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式（&可a9展開式中的有理項(xiàng)?1127rTCr(x2)9r(x3)r(1)rCrx6人27r7/0r川牛.Ir1C9(x)(x)(I)C9x,VZ,(0r6所以當(dāng)r3時(shí)，27r4,T4(1)3C3x484x4,6當(dāng)r9時(shí)，27r3,T10(1)3C；x3x3。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若（.x展開式中

6、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a°,ai,an,練:解:令x1,則有a。ai將-得：2（a1有題意得，2n1）n的展開式中,若（3xa3a52560八2八4八2rICnCnCnCnan0,，令x1,則有a。aa?a3)2n,a1a3a52n1所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為cnC3所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n6,n題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng);1C例：已知（12x）n,若展開式中第2最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？nn(1)an2，1024,求它的中間項(xiàng)。n1_n2,211024，解得n11況(,，)6(5)5462x614,T61462x*5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)解

7、：|C：C：2C；,n221n980,解出n7或n1 35是T4和T5T4的系數(shù)C；（一）423,T5的系數(shù)2 2系數(shù)最大的項(xiàng)是T8,T8的系數(shù)C（一）7273432214,當(dāng)n7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)1C；（-）32470,當(dāng)n14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式2練：在（ab）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：二項(xiàng)式的藉指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2nTn1,也就是第A1項(xiàng)。12練：在（；§）n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?解:只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則n15，即n8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于CC1）2722256,

8、求n.練：寫出在(ab)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的藉指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4C73a4b3的系數(shù)最小，T5C；a3b4系數(shù)最大。1C練：若展開式刖二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求(-2x)n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？2n1211211212解：由C：cnC279,解出n12,假設(shè)T1項(xiàng)最大，(一2x)()(14x)22A.1A.C1r24rEW'111，化簡(jiǎn)得到9.4r10.4,又0r12,r10,展開式中Ar1Ar2C；240；4'系數(shù)最大的項(xiàng)為Tn,有T11(l)12C112)410x

9、1016896x10210練：在(12x)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？r_rr解：假設(shè)Tr1項(xiàng)最大，Tr1C102xAr1rrr1rArC102C1021解得2(11r)r，,)，化簡(jiǎn)得到6.3k7.3，又”0r10,Ar1Acr<)rcr1<)rr2C102C1021,r12(10r)r7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8C1027x715360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；25.一例：求當(dāng)(x23x2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？2525_r25r解法：(x3x2)(x2)3x,Tr1Cs(x2)(3x)，當(dāng)且僅當(dāng)r1時(shí)，Tr1的展開式中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr1T2C5(x22

10、)43x，所以x得一次項(xiàng)為C；C：243x它的系數(shù)為C；C：243240。2Cc5/.5/5/05I45、/05I455、用牛彳左g)：(x3x2)(x1)(x2)(C5xCsxC5)(C5xCsx2C52)45544故展開式中含x的項(xiàng)為C5xC52C5x2240x，故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(|x|12)3的常數(shù)項(xiàng)？x解：(|x|2)3(jx寸亍6，設(shè)第r1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則Tr1C；(1)仙6(±)(1)%；|同62得62r0,r3,T31(1)3C；20.題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例：求(12x)3(1x)4展開式中x2的系數(shù).解：；(12x)3的展開式的通項(xiàng)是CT(2x

11、)m02mxm,(1x)4的展開式的通項(xiàng)是c4(x)no41nxn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4,令mn2,則m0且n2,m1且n的展開式中x2的系數(shù)等于C?20C：(1_練：求(1衣)6(1土)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)x1mn解(1扳)6(1M展開式的通項(xiàng)為cmx3010x4寸X其中m0,1,2,6,n0,1,2,10,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為c?C10C631,m2且n0,因此(12x)3(1x)41)2C121C1(1)1C222C0(1)06I)C32C4(I)C32C4(I)6-.4m3ncmcn0x2-m0m3m6,4m3n,即或或n0,n4,n8,C140C6C*

12、4246.,4C1。*練：已知(1xx2)(x)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，nN且2n8,則nx解：(xM)n展開式的通項(xiàng)為cnxnrx3rcnxn4r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xrn4rrn4r1rn4r2Cnx,Cnx,Cnx.展開式中不含常數(shù)項(xiàng)，2n8n4r且n4r1且n4r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和一T例：在(x構(gòu)2006的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次藉的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x72時(shí),S.解：設(shè)(xx/2)2006=a0a1x123a?xa3xIII2006a2006x20061(x2)=a0qx23a2xa3xIII2006a2006x得2

13、(axa3x3a5x5川a2°05x2005)(xV2)2006(xV2)2006(x龍)2006展開式的奇次備項(xiàng)之和為S(x)；(xV2)2006(x月)200632006當(dāng)xW時(shí),S(巫)1(由而)2006(友龍)200622300822題型十：賦值一例：設(shè)二項(xiàng)式(3板1)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xps272，則n等于多少?解:若(3扳x2a0a1xa2xanxn，有Pa°aan,SC0C；2n,4n,又ps272，即4n2n272(2n17)(2n16)0解得2n16或2n17(舍去)，n4.練:若3jx-1=n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

14、64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?解:n1n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2nx64,所以6,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為練:解:練:解:C3(3'x)3(；)32009有(12x)a°在令x0可得a。若(x2)55a5x0得a。540.12axa2xa1a222*21,因而4a4x32,令x1得a。a2a3a4a531.3a3xIII2009za2009x(xR),則a12a222a20090,aa2c2a2009a°22009a222a?x2a2009220091axa°21.,則aa222009a3a4a5aiai3a3xa2a3a4a5的值為21,題型十一：整除性;例

15、：證明：32n28n9(nn18nN)能被64整除證:32n28n999(81)n18n9c°cn18n1c1cn18ncn；1182cnn181弟8n9c0cn18n1c1cn18ncn111828(n1)0Qn11Qn11R21819cn18c；18c；18由于各項(xiàng)均能被64整除32n28n9(nN*)能被64整除01222、c03c；32c23ncn2、4no1，項(xiàng).3、(號(hào)5)的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第53、3,9,15,214、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、(2x-1)5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和

16、為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù).210395、(1xx)(1x)(1x)(1x),要得到含x4的項(xiàng)，必須第一個(gè)因式中的1與(1-x)9展開式中的項(xiàng)c4(x)4作積，第一個(gè)因式中的一x3與(1-x)9展開式中的項(xiàng)C；(x)作積，故x4的系數(shù)是C9C9135,6、求(1+x)+(1+x)2+-+(1+x)10展開式中x3的系數(shù).26、(1x)(1x)10(1x)(1x)1(1X)10=(X祈1以D，原式中x3實(shí)為這分子中的x4,1(1x)則所求系數(shù)為C71.7、若f(x)(1x)m(1x)n(mN)展開式中，x的系數(shù)為21,問m、n為何值時(shí)，x2的系數(shù)最小?7、由條件

17、得m+n=21,x2的項(xiàng)為cmc2x2，則cmc2或11時(shí)上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11,212399I(n),因nCN,故當(dāng)n=1024時(shí)，x2的系數(shù)最小.8、自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證:_1_212CnCn2C：C42cn1cn32n10128、原式=(CnCnCnn1n1CnCn)(Cn-3_5CnCncn1)nn1n1223.29、求8011被9除的余數(shù)11110111109、80(81I)C1181C118101081181k1(kZ),11一-.kC乙9k-1Z,.81被9除余8*10、在(x2+3x+2)5的展開式中，求10、(x23x2)5(x1)5(x2)5在(x+1)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1,含x的項(xiàng)為C；5x，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項(xiàng)