6-1二元函數(shù)概念、極限、連續(xù)分享資料

1、1多 元 函 數(shù) 微 積 分 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)和全微分偏導(dǎo)數(shù)和全微分 第六章第六章多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 二重積分二重積分 3平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系 oxy平面內(nèi)任取一點(diǎn)平面內(nèi)任取一點(diǎn)O原點(diǎn)原點(diǎn) 過(guò)過(guò)O點(diǎn)另作一垂線點(diǎn)另作一垂線y軸（縱軸）軸（縱軸） 過(guò)過(guò)O點(diǎn)做一直線點(diǎn)做一直線x軸（橫軸）軸（橫軸） 兩坐標(biāo)軸分平面為兩坐標(biāo)軸分平面為、 象限象限 實(shí)數(shù)對(duì)（實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)）對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)P，記作，記作P（x，y），分別），分別 稱(chēng)數(shù)稱(chēng)數(shù)x為點(diǎn)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，數(shù)的橫

2、坐標(biāo)，數(shù)y為點(diǎn)為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。的縱坐標(biāo)。 平面內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng) P(x,y)xy 空間解析幾何簡(jiǎn)介空間解析幾何簡(jiǎn)介 空間直角坐標(biāo)系（三維直角坐標(biāo)系）空間直角坐標(biāo)系（三維直角坐標(biāo)系）右右 手手 原原 則則（縱軸）（縱軸）yx （橫軸）（橫軸）z（豎軸）（豎軸）zxyO空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系z(mì)xyOzxyOOxoy平面平面xoz平面平面yoz平面平面yzxO三個(gè)坐標(biāo)平面分空間為八個(gè)卦限三個(gè)坐標(biāo)平面分空間為八個(gè)卦限 （演示）（演示） 三個(gè)坐標(biāo)平面三個(gè)坐標(biāo)平面 八個(gè)卦限八個(gè)卦限 點(diǎn)的坐標(biāo)（演示）點(diǎn)的坐標(biāo)（演示）000,M x y zzxy0 x0y0z兩點(diǎn)間的距離

3、兩點(diǎn)間的距離1111,Mx y z2222,Mxyz12M M222121212xxyyzz點(diǎn)點(diǎn) M到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離222000OMxyzxM)4 , 0 , 2(A)3, 2 , 1 (BxM)0 , 0 ,(x222)40()00()2(xMA16)2(2x222) 30()20() 1(xMB22232) 1(xMBMA 例例1 在在軸上求一點(diǎn)軸上求一點(diǎn)，使它到點(diǎn)，使它到點(diǎn)和和的距離相等。的距離相等。軸上，故設(shè)點(diǎn)軸上，故設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得由兩點(diǎn)間距離公式得由題意知由題意知解：解： 因所求點(diǎn)在因所求點(diǎn)在16)2(2x22232) 1(x1x得得)0 , 0 ,

4、1(點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為M空間曲面空間曲面:, ,0F x y z三元方程三元方程如果曲面如果曲面 S 上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程都滿(mǎn)足方程 F( x ,y ,z)=0，同時(shí)，同時(shí)不滿(mǎn)足方程不滿(mǎn)足方程 F( x ,y ,z)=0的點(diǎn)都的點(diǎn)都不在曲面不在曲面 S 上，則稱(chēng)三元方程上，則稱(chēng)三元方程F (x ,y ,z)=0 為曲面為曲面 S 的方程。的方程。zxyS, ,M x y z平面平面一種特殊曲面一種特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式： 0AxByCzD（三元一次方程）（三元一次方程）平面方程的平面方程的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形式：形式：設(shè)由設(shè)由A、B、C 構(gòu)成的向量（構(gòu)成的向

5、量（A,B,C) 為法向量，任何一個(gè)平面由定點(diǎn)為法向量，任何一個(gè)平面由定點(diǎn)M ),(000zyx和一個(gè)法向量和一個(gè)法向量（A,B,C）確定，其平面方程為：）確定，其平面方程為：0)()()(000zzCyyBxxA設(shè)兩個(gè)平面設(shè)兩個(gè)平面01111DzCyBxA02222DzCyBxA垂直的充要條件：垂直的充要條件：0212121CCBBAA平行的充要條件：平行的充要條件：212121CCBBAA10),(000zyx點(diǎn)點(diǎn)P到平面到平面0AxByCzD的距離是的距離是222000CBADCzByAxd若直線（點(diǎn)向式）若直線（點(diǎn)向式）pzznyymxx000與平面與平面 0AxByCzD平行，則平行

6、，則0pCnBmA若垂直，則若垂直，則pCnBmA平面平面平面平面一種特殊曲面一種特殊曲面 平面方程的一般形式：平面方程的一般形式： 0AxByCzDyzxO幾種特殊平面幾種特殊平面 （三元一次方程）（三元一次方程）平行于平行于 z 軸軸的平面：的平面： 0AxByD過(guò)過(guò) z 軸軸的平面：的平面： 0AxBy過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)的平面：的平面： 0AxByCz平行于平行于 y 軸軸的平面：的平面： 0AxCzD過(guò)過(guò) y 軸軸的平面：的平面： 0AxCz平行于平行于 x 軸軸的平面：的平面： 0ByCzD過(guò)過(guò) x 軸軸的平面：的平面： 0ByCz面面的的平平面面：平平行行于于xoy0 DCz面的平面：面

7、的平面：平行于平行于xoz0 DBy面的平面：面的平面：平行于平行于yoz0 DAxxoy平面：平面：xoz平面：平面：yoz平面：平面：0z 0 x 0y 13二次曲面二次曲面橢球面橢球面（幾何演示）（幾何演示） 拋物面拋物面（幾何演示）（幾何演示） 球面球面（幾何演示）（幾何演示） 1222222czbyax2222azyx22yxz14柱面柱面 平面內(nèi)一直線平面內(nèi)一直線L沿著一定曲線沿著一定曲線C移動(dòng)而形成的曲面叫做移動(dòng)而形成的曲面叫做柱面柱面，其中，直線其中，直線L叫做叫做母線母線，曲線，曲線C叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線。 如：如：平行于平行于 Z 軸的直線軸的直線沿著沿著XOY平面內(nèi)的橢圓平面

8、內(nèi)的橢圓移動(dòng)，而形成的曲面叫做移動(dòng)，而形成的曲面叫做橢圓柱面橢圓柱面。22221xyab22221xyab其它柱面其它柱面（幾何演示幾何演示） 柱面方程的特點(diǎn)柱面方程的特點(diǎn)：如果方程中不含：如果方程中不含變量變量 Z（ X 或或 Y )，則母線平行于，則母線平行于Z ( X 或或 Y )軸，柱面垂直于軸，柱面垂直于 XOY( YOZ 或或 XOZ )面面 。xyoz其方程為其方程為 15 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念一、平面點(diǎn)集、平面點(diǎn)集平面上滿(mǎn)足某個(gè)條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為平面點(diǎn)集。平面上滿(mǎn)足某個(gè)條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為平面點(diǎn)集。1 yx),(yxRyxyxyx, 1| ),(例例1 平

9、面上滿(mǎn)足平面上滿(mǎn)足的所有點(diǎn)的所有點(diǎn)構(gòu)成平面點(diǎn)集，記作構(gòu)成平面點(diǎn)集，記作1 yxRyxyxyx, 1| ),(例例2 平面上滿(mǎn)足平面上滿(mǎn)足的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面點(diǎn)集的所有點(diǎn)構(gòu)成的平面點(diǎn)集 ，記作，記作 1 yx1 yx 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念定義：定義：設(shè)設(shè)D是平面上的非空點(diǎn)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則是平面上的非空點(diǎn)集，如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f，使，使得對(duì)集合得對(duì)集合D中的每一個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)(x , y)，按法則，按法則 f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)，都有唯一確定的實(shí)數(shù)值值 z 與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)此與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)此對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 f 為集合為集合D上的上的二元函數(shù)二元函數(shù)，記為：，記為： f ：(x,

10、 y) z 或或 z=f (x , y)，(x , y) D稱(chēng)稱(chēng) x , y 為函數(shù)為函數(shù) f 的的自變量自變量，z 為函數(shù)為函數(shù) f 的的因變量因變量；集合；集合D為函數(shù)為函數(shù)f 的的定義域定義域，記作，記作 D ( f ) 或或 Df。( , ) ( , )zf x yx yD稱(chēng)實(shí)數(shù)集稱(chēng)實(shí)數(shù)集 為函數(shù)為函數(shù) f 的的值域值域。約定：約定：函數(shù)函數(shù) z=f (x , y) 的定義域約定為的定義域約定為使得式子有意義使得式子有意義的所有的所有的實(shí)數(shù)對(duì)（的實(shí)數(shù)對(duì)（x , y）。）。例如：函數(shù)例如：函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閘nzxy,0Dx y xy它表示如右圖所示的無(wú)界區(qū)域。它表示如右圖所示的

11、無(wú)界區(qū)域。 17二元函數(shù)的圖像二元函數(shù)的圖像 空間點(diǎn)集空間點(diǎn)集 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) 的的圖像圖像。( , , )( , ) , ( , )x y z zf x yx yD( , )zf x y它表示它表示空間曲面空間曲面。 :, ,0F x y zzxy一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)與二元函數(shù)的比較一元函數(shù)一元函數(shù) 二元函數(shù)二元函數(shù) 定義域定義域 數(shù)軸上的區(qū)間數(shù)軸上的區(qū)間 平面中的區(qū)域平面中的區(qū)域 圖像圖像 平面中的曲線平面中的曲線 空間中的曲面空間中的曲面 極限極限 單極限單極限 二重極限二重極限 微分學(xué)微分學(xué) 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分 積分學(xué)積分學(xué) 定積分定積分

12、二重積分二重積分 18，22yxzRyxyxfD,| ),()(), 0|)(zzfZ例例3 二元函數(shù)二元函數(shù)其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)橹涤蛑涤?),(xyeyxfyx),() 1 , 1 ()0 , 0(aafff，求求例例4 已知二元函數(shù)已知二元函數(shù) 19例例5 作二元函數(shù)作二元函數(shù)22) 1(1yxz的圖形。的圖形。22) 1(1yxz222) 1(1yxz1) 1(222zyx22) 1(1yxz解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)樗运哉淼谜淼?此方程表示以點(diǎn)（此方程表示以點(diǎn)（0，1，0）為圓心，以）為圓心，以1為半徑的球面。為半徑的球面。的圖形是球面的上半部。的圖形是球面的上半部。 因此，函數(shù)因此，

13、函數(shù)20 二元函數(shù)定義域的求法 例例7 求函數(shù)求函數(shù)yxz1的定義域。的定義域。0 yxxy0 yx解：要使函數(shù)有意義，必須滿(mǎn)足解：要使函數(shù)有意義，必須滿(mǎn)足即函數(shù)的定義域是即函數(shù)的定義域是平面上上直線平面上上直線下方的無(wú)界區(qū)域。下方的無(wú)界區(qū)域。 xy00 yx212229yxxyz090222yxxy9222yxxy例例8 求函數(shù)求函數(shù)解：要使函數(shù)有意義，必須滿(mǎn)足解：要使函數(shù)有意義，必須滿(mǎn)足的定義域的定義域 。2xy 922 yx函數(shù)的定義域是拋物線函數(shù)的定義域是拋物線的內(nèi)部（含邊界的內(nèi)部（含邊界）與圓）與圓的內(nèi)部的公共部分。的內(nèi)部的公共部分。 xy2xy 922 yx224arccos25a

14、rcsinyxzz141151yx4455yx例例9 求函數(shù)求函數(shù)的定義域。的定義域。有定義，必須有定義，必須解：解： 要使要使xy554423鄰域鄰域：平面點(diǎn)集：平面點(diǎn)集 稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)P0 (x0 , y0) 的的鄰域，記做鄰域，記做 U(P U(P0 0 ，) ),(0PU0P2020)()(| ),(yyxxyx24開(kāi)集：開(kāi)集：如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集E中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)集中的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)集E為開(kāi)集。為開(kāi)集。 連通集：連通集：如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集E中的任意兩點(diǎn)，中的任意兩點(diǎn)， 都可以用完全屬于都可以用完全屬于E中的折中的折 線段將它們連接起來(lái)，則線段將它們連接起來(lái)，則 稱(chēng)稱(chēng)E為連通集。為連

15、通集。區(qū)域：區(qū)域：連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域。連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域，簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域。閉區(qū)域：閉區(qū)域：區(qū)域連同它的邊界，稱(chēng)為閉區(qū)域。區(qū)域連同它的邊界，稱(chēng)為閉區(qū)域。幾個(gè)概念：開(kāi)集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。幾個(gè)概念：開(kāi)集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域。 例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為一開(kāi)集。即為一開(kāi)集。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為區(qū)域。即為區(qū)域。 22( , )1Ex y xy例如：點(diǎn)集例如：點(diǎn)集 即為閉區(qū)域。即為閉區(qū)域。 22( , )1Ex y xy連通連通 不連通不連通 25二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限 定義：定義：設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) z=f (x , y)在點(diǎn)在點(diǎn) P0(x0

16、 ,y0)的鄰域內(nèi)有定義的鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)（點(diǎn)P0可以除外），如果當(dāng)點(diǎn)可以除外），如果當(dāng)點(diǎn) P (x , y)無(wú)論以何種方式無(wú)論以何種方式趨向于點(diǎn)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值 f (x , y)可以無(wú)限逼近可以無(wú)限逼近常數(shù)常數(shù)A，則稱(chēng)，則稱(chēng)A為函數(shù)為函數(shù) f (x ,y) 在在PP0時(shí)的時(shí)的極限極限，記作，記作00lim( , )xxyyf x yA( , )(,)lim( , )oox yxyf x yA或或 或或 0( ,) ()f x yAPP當(dāng)時(shí)二重極限二重極限 00,P xyxyz26 二元函數(shù)的極限計(jì)算二元函數(shù)的極限計(jì)算計(jì)算下列極限計(jì)算下列極限 sin2limxy

17、yxy0 220221lim2xyx yxxyx2021lim12xyxxyx27 二元函數(shù)的極限計(jì)算二元函數(shù)的極限計(jì)算 006limxyxyxy00,P xy換元時(shí)換元時(shí) 與與 不能相互制約不能相互制約xy2xy事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè)1xkyk011lim11yy kky kk00limxyxyxy則則結(jié)果與結(jié)果與 有關(guān)，故原極限不存在。有關(guān)，故原極限不存在。k03lim3yyy28000,),(22yxyxyxxyyxf不同時(shí)為不同時(shí)為例：設(shè)函數(shù)例：設(shè)函數(shù)證明：證明：),(lim)0 , 0(),(yxfyx不存在。不存在。),(lim)0, 0(),(yxfyx),(yx),(yxf證明：

18、證明： 要證明要證明不存在，即要證當(dāng)不存在，即要證當(dāng)沿不同的路徑趨向（沿不同的路徑趨向（0，0）時(shí)）時(shí) ，趨向于不同的值。趨向于不同的值。),(yxkxy 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)沿直線沿直線趨向于（趨向于（0，0）時(shí)）時(shí)),(lim)0, 0(),(yxfyx222)0 , 0(),() 1(limxkkxyx12kk結(jié)果與結(jié)果與 有關(guān)，故原極限不存在。有關(guān)，故原極限不存在。k29二元函數(shù)極限的計(jì)算二元函數(shù)極限的計(jì)算四則運(yùn)算法則（類(lèi)似于一元函數(shù)極限運(yùn)算法則）四則運(yùn)算法則（類(lèi)似于一元函數(shù)極限運(yùn)算法則）例例3 3yxxyyx11lim求解：解：, 1lim1xx依據(jù)運(yùn)算法則得：依據(jù)運(yùn)算法則得：yxxyyx1

19、1lim, 1lim1yyyxyxyxyxlimlimlimlim11112130例例4 4：.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11()11)(11(lim00 xyxyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 有理化31 利用重要極限：利用重要極限：1),(),(sinlim0),( yxfyxfyxf例例5：求求yxyxyx )sin(lim22) 1 , 1(),(解：解：)()sin(lim2222) 1 , 1(),(yxyxyxyx )(lim)sin(lim) 1 , 1(),(2222) 1 , 1(),(yxyxyxyxyx 221 原式原式分析：分析

20、：01, 122 yxyx時(shí)時(shí)，32 無(wú)窮小量與有界變量的乘積無(wú)窮小量與有界變量的乘積例例6 6：yxyxyx1sin)(lim00求解：解：變量乘積仍為無(wú)窮小量變量，無(wú)窮小量與有界為有界為無(wú)窮小量，時(shí)，yxyxyx1sin)0 , 0(),(01sin)(lim00yxyxyx33 等價(jià)無(wú)窮小量代換等價(jià)無(wú)窮小量代換例例6 6：200)()cos(1limyxyxyx求解：解：2),(21),(cos1),(),(tan),(),(sin0),(yxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf ，時(shí)時(shí)，2200)()(21limyxyxyx 原原式式212)(21)cos(100,0yxyxyxyx

21、 時(shí)時(shí)，34的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)),(),(00yxyxfz 有定義，且),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx連續(xù)。在點(diǎn)則稱(chēng)函數(shù)),(),(00yxyxfz 定義：二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性35連續(xù)性判定連續(xù)性判定：有定義在、),(),(100yxyxf存在、),(lim2),(),(00yxfyxyx),(),(lim300),(),(00yxfyxfyxyx、，該點(diǎn)為間斷點(diǎn)有一條不滿(mǎn)足則不連續(xù))3(lim)2, 1(),(yxyx如：5),2 , 1 (f連續(xù)在所以)2 , 1 (3),(yxyxf不存在2200limyxxyyx不連續(xù)在)0 , 0(0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf36區(qū)域上連續(xù)區(qū)域上連續(xù) ：),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域D中每