整除性質(zhì)或定理

1、整除性質(zhì)或定理【最大公約數(shù)定理】定理一 如果第一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，那么第二個(gè)數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。證明：由于 b|a，b|b，b是a、b的公約數(shù)。又由于比b大的數(shù)不可能是b的約數(shù)，也不可能是a、b的公約數(shù)，所以，（a，b）=b。定理二 如果第一個(gè)數(shù)除以第二個(gè)數(shù)，余數(shù)不等于零，那么這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，就是第二個(gè)數(shù)與這個(gè)余數(shù)的最大公約數(shù)。即如果 a÷b=q（余r）（r0），那么（a，b）=（b，r）。證明 設(shè)p是a、b兩數(shù)的一個(gè)公約數(shù)， a÷b=q（余r），又 p|a，p|b，p|r（根據(jù)“有余除法”的整除性定理-定理五）。因此，a、b兩數(shù)的公約數(shù)，一定是b、r兩數(shù)

2、的公約數(shù)。又因?yàn)閍、b的公約數(shù)與b、r的公約數(shù)是完全一致的，所以，它們的最大公約數(shù)也完全是一致的。即（a，b）（b，r）。（注：定理二是用“輾轉(zhuǎn)相除法”求最大公約數(shù)的理論依據(jù)。）【最大公約數(shù)的性質(zhì)】最大公約數(shù)具有以下一些性質(zhì)：（1）兩個(gè)數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的兩個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公約數(shù)是9”）45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1，所以，所得的兩個(gè)商5和3是互質(zhì)數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，都是這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)。例如，（48，60）=12，12的約數(shù)有 1，2，3，4，6，12。1，2，3，4，6，12也都

3、是48和60的公約數(shù)。（3）兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。例如，（32，48）=16；32和48的公約數(shù)有1，2，4，8，16；1，2，4，8，16也都是16的約數(shù)。（4）兩個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的兩個(gè)積的最大公約數(shù)，等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m的積。這就是如果（a，b）=c，m0那么（am，bm）=cm。例如，（24，32）=8，則（24×2，32×2）=8×2，即（48，64）=16（5）若兩個(gè)數(shù)都除以它們的一個(gè)公約數(shù)m，則所得的兩個(gè)商的最大公約數(shù)，等于這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)除以m的商。這就是如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能

4、整除a，m能整除b， 也就是m是a和b的公約數(shù)）；例如，（24，32）=8，【最小公倍數(shù)的性質(zhì)】最小公倍數(shù)的性質(zhì)如下：（1）兩個(gè)數(shù)的任意一個(gè)公倍數(shù)，都是它們的最小公倍數(shù)的倍數(shù)。例如，4，6=12（它表示“4和6的最小公倍數(shù)是12），則4與6的其他任何一個(gè)公倍數(shù)24、36、48，就都是最小公倍數(shù)12的的倍數(shù)。（2）兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。這就是（a，b）·a，b=a·b。例如，（24，32）×24，32= 8×96=768而24×32=768，（24，32）×24，32=24×32【和差整除性

5、定理及推論】定理一 如果兩個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么它們的和（或差）也能被這個(gè)自然數(shù)整除。用字母表達(dá)，就是如果ba，ca，且bc，那么，（b+c）a，或者（b-c）a。（符號(hào)“”是整除符號(hào)，如“ba”讀做“b能被a整除”，或“a能整除b”。）它也可以表達(dá)為如果a|b，a|c，且bc，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。（符號(hào)“|”也是整除符號(hào)，但寫的前后順序與“”符號(hào)恰好相反?！癮|b”讀做“a能整除b”，或者讀作“b能被a整除”。）例如，123，153，則（12+15）3，或者（15-12）3。改用另一種整除符號(hào)“|”表達(dá)，就是如果3|12，3|15，那么3|（12+15），3|（

6、15-12）。推論一 如果若干個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么它們的和也能被這個(gè)自然數(shù)整除。也就是：如果am，bm，cm，dm，那么（a+b+c+d）m?；蛘呤牵喝绻鹠|a，m|b，m|c，m|d，那么，m|（a+b+c+d）例如，11|22，11|33，11|99，11|121，那么，11|（22+33+99+121）。定理二 如果兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和（或差）能被這個(gè)自然數(shù)整除的充分必要條件是：另一個(gè)數(shù)也能被這個(gè)自然數(shù)整除。也就是：如果am，那么（a+b）m的充分必要條件是bm；如果am，那么（a-b）m的充分必要條件是ba。推論二 如果兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)數(shù)能被某

7、一自然數(shù)整除，另一個(gè)數(shù)不能被這個(gè)自然數(shù)整除，那么，它們的和（或差）也不能被這個(gè)自然數(shù)整除。也就是：如果am，b不m，那么（a+b）不m，（a-b）不m。（“不”是不能整除的符號(hào)）或者是：如果m|a，mb，那么 m（a+b），m（a-b）（“”也是不能整除的符號(hào)）例如，7|35，720，那么，7（35+20），7（35-20）。推論三 如果兩個(gè)數(shù)的和及其中的一個(gè)加數(shù)能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么另一個(gè)加數(shù)也能被這個(gè)自然數(shù)整除。也就是如果（a+b）m，am，則bm。例如，兩數(shù)的和408，其中的一個(gè)加數(shù)248，那么另一個(gè)加數(shù)168?！菊膫鬟f性】“整除的傳遞性”見下面的“定理三”。定理三 如果第一個(gè)數(shù)

8、能被第二個(gè)數(shù)整除，第二個(gè)數(shù)能被第三個(gè)數(shù)整除，那么第一個(gè)數(shù)也能被第三個(gè)數(shù)整除。這也就是如果ab，bc，那么ac。例如，4824，246，則486?！痉e的整除性定理及推論】積的整除性定理見“定理四”。定理四 一個(gè)數(shù)如果能被某一自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)的整數(shù)倍數(shù)，也能被這個(gè)自然數(shù)整除。這也就是如果ab，m為整數(shù)，那么amb。例如，217，則（21×11）7，即2317。推論 在若干個(gè)數(shù)的積中，如果有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)自然數(shù)整除，那么，它們的積也能被這個(gè)自然數(shù)整除。用字母來表達(dá)，可以是在abc中，若am，則abcm。例如，在算式“11×19×21”中，因217，所以（11×19×21）7?！居杏喑ㄕ远ɡ怼慷ɡ砦?在有余數(shù)的除法里，如果被除數(shù)和除數(shù)都能被同一個(gè)自然數(shù)整除，那么余數(shù)也能被這個(gè)自然數(shù)整除。用字母來表達(dá)，就是如果a÷bqr，且am，bm，那么rm。例如，在84÷49=135中，847，4