數(shù)列求和方法

1、數(shù)列求和方法數(shù)列求和，是指按照一定規(guī)律對(duì)排列的數(shù)進(jìn)行求和。常見的方法有公式法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、分組法、裂項(xiàng)法、數(shù)學(xué)歸納法、通項(xiàng)化歸、并項(xiàng)求和。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。(一) 公式法等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：(二) 錯(cuò)位相減法適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式和等差等比數(shù)列相乘an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 .例如：Tn=±述式子 /(1-q)此外.式可變形為為bn的前n項(xiàng)和.

2、此形式更理解也好記(三) 倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1+an)Sn=a1+a2+a3+ +anSn=an+a(n-1)+a(n-2)+a1上下相加得到 2Sn即Sn= (a1+an)n/2(四) 分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可 .例如：an=2人 n+n-1(五) 裂項(xiàng)相消法適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即 =(+1) () ，然后 累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。常用

3、公式：(1) 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1), 1/ (n-1) -1/n>1/n2>1/n-1/n+1(n2) 一般形式(2) 1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1)(3) 1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)(4) 1/( Va+Vb)=1/(a-b)( Va - Vb)(5) n n!=(n+1)!-n!(6) 1/ (Vn+V( n+a) =1/a (V( n+a)- Vn)例 求數(shù)列 an=1/n(n+1) 的前 n 項(xiàng)和 .解： an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂項(xiàng))則

4、Sn=1-1/2+1/2- 1/3+1/4 +1/n -1/(n+1)(裂項(xiàng)求和)=1-1/(n+1)=n/(n+1)小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。注意：余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)1、余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。2、余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。(六) 數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與 正整數(shù) n 有關(guān)的命題，有如下步驟：(1)證明當(dāng) n 取第一個(gè)值時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k (k>n的第一個(gè)值，k為自然數(shù))時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。例：求證：1 x 2X 3X 4+2X 3X 4X 5+3X 4X 5

5、X 6+.+n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n +1)(n+2)(n+3)( n+4)/5證明：當(dāng) n=1 時(shí)，有：1 x 2x 3x 4=24=2x 3x 4x 5/5假設(shè)命題在 n=k 時(shí)成立，于是：1 x 2x3x 4+2X 3x 4x 5+3X 4x 5x 6+.+k(k+1)(k+2)(k+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k +4)/5則當(dāng) n=k+1 時(shí)有：1 x 2X 3X 4+2X 3X 4X 5+3X 4X 5X 6+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1 x 2x 3X 4+2X 3X 4*5+3x 4x 5x 6+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5+1)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)/5即 n=k+1 時(shí)原等式仍然成立，歸納得證七)通項(xiàng)化歸法先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求和。女口：求數(shù)列1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4,的前n項(xiàng)和。此時(shí)先將 an求出，再利用分組等方法求和。(八)并項(xiàng)求和法(常采用先試探后求和的方法)例：1 2+3-4+5 6+ ( 2n-1 ) -2n方法一：(并項(xiàng))求出奇數(shù)項(xiàng)