2024屆清華大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試試題（附答案）

2024屆清華大學(xué)強基計劃數(shù)學(xué)學(xué)科筆試試題1．已知，則________．2．已知，則下列選項中正確的有（）A．B．C．D．3．某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開始走，每個點至多經(jīng)過一次，最終回到出發(fā)點．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（）次。A．96B．98C．104D．1024．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，A（2，1），若的面積不超過3，則滿足條件的整點M個數(shù)為________．5．已知，．下列選項中正確的有（）A．存在λ，使存在正整數(shù)N，使時，恒成立B．存在λ，使不存在正整數(shù)N，使時，恒成立C．存在λ，使存在正整數(shù)N，使時，恒成立D．存在λ，使不存在正整數(shù)N，使時，恒成立6．已知，，下列選項中正確的有（）．A．B．C．D．7．正整數(shù)，且，，滿足這樣條件的（a，b，c）的組數(shù)為（）．A．60B．90C．75D．868．從棱長為1個單位長度的正方體的底面一頂點A出發(fā)，每次均隨機沿一條棱行走一個單位長度，下列選項中正確的有（）．A．進行4次這樣的操作回到A的概率為B．進行2次這樣的操作回到A的概率為C．進行4次這樣的操作回到A的概率為D．進行2次這樣的操作回到A的概率為9．圓周上，，…，七個點兩兩相連，任選兩條線段，則這兩條線段無公告點的概率是（）．A．B．C．D．10．，，…是一個1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個大于（），則滿足的排列的總數(shù)為________．11．直線l：，p，Q，，下列選項中正確的有（）．A．若，則l與射線PQ相交B．若，則l與射線PQ平行C．若，則l與射線PQ垂直D．若x存在，則Q在l上12．在中，，，P在內(nèi)部，延長BP交AC于Q，且，則（）．A．B．C．D．13．幾個人討論某個比賽的成績，討論內(nèi)容如下：張三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；劉六：丁是第1名已知只有一個人說假話，下列正確的是（）．A．丙是第1名B．丁是第2名C．乙是第3名D．甲是第4名14．________．15．已知，，使得的解的組數(shù)有（）組．16．點集，則由S中的點可組成________個不同的三角形．17．已知，，下列選項中正確的有（）．A．B．C．是等比數(shù)列D．18．已知復(fù)數(shù)，，則n的最小值為________．19．已知一個正四面體邊長為，P點滿足，考慮，下列說法正確的有（）．A．最小值為B．最大值為C．最小值為D．最大值為20．已知（a，b，），則的最大值、最小值分別為________．21．已知在（0，2）上三個不等實根，則的可能取值為________．22．四面體中，，，，求CA與VB所成弦角的取值范圍________．23．已知，下列選項中正確的有（）．A．兩根，，且B．兩根，則C．任意，函數(shù)都有最小值D．任意，使得函數(shù)有最大值24．是在[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，則（）A．B．C．D．25．雙曲線，斜率為1的直線l交C于A，B兩點，D為C上另一點，．，重心分別為P，Q，外心為M，若，則雙曲線的離心率為________．26．過拋物線焦點F的直線與拋物線交于點A，B兩點，l過B且與拋物線在A處的切線平行，l交拋物線與另一點D，交y軸于E點，則下列選項中正確的有（）．A．B．C．面積的最小值為16D．27．所有極值點依次為，，…，則________．28．，，有零點，則的最小值為________．試題解析1．【正確答案】，∵∴∴∴∴∴∴∴∴，，或，∴，，或，考慮周期性，只需要檢驗，，，，，，經(jīng)檢驗：，，，都符合，，，不符合，∴，2．【正確答案】ACDa為方程的解，b為方程的解，其中與lnx互為反函數(shù)，關(guān)于直線對稱，函數(shù)也關(guān)于直線對稱，所以點（a，），（b，lnb）關(guān)于直線對稱∴，∴，∴，但，不能取等號，∴，C選項正確∵，∴，∴，A選項正確，B選項錯誤，另外，D選項正確3．【正確答案】AC總體的路線形成一個多邊形，如果出發(fā)點在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，如果出發(fā)點在多邊形的頂點上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能．下面兩圖的路線分別對應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：4．【正確答案】65設(shè)M，直線OA的方程為，即設(shè)，則，，代入并化簡得當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；當(dāng)時，，，有5個整點；根據(jù)對稱性，當(dāng)時，也分別有5個整點．∴共有65個整點．5．【正確答案】BCD若，則正負交替，BD選項正確；若，則存在正整數(shù)N，使時，，∴，A選項錯誤，C選項正確．6．【正確答案】AD，顯然單調(diào)遞增，當(dāng)時，∴∴∴∴又因為∴，A選項正確∴，C選項錯誤∵∴∴，B選項錯誤∵∴∴，D選項錯誤7．【正確答案】D∵，∴，，成等差數(shù)列設(shè)，，通分后為，，，其中；則，，，，，∴當(dāng)k為奇數(shù)時，，；當(dāng)k為偶數(shù)時，，，；（1）當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)則①若，則，∴∴，2，3，4，5，6取，，，2，…，16；取，，，2，…，6；取，，，2，3；取，，，2；取，，；取，，m=1；共種②若，則，∴∴，2，3，4，考慮到，從而，2，4取，，，2，3，4，5；取，，，2；取，，；共種③若，則，∴∴，2，3，取，，，2；取，，；取，，；共種④若，則，∴∴，2，取，，；取，，；共2種⑤若，則∴，∴，∴∴，矛盾（2）當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)則①若，則，∴∴，2，3，4，5，6，7，8，考慮到，從而，3，5，7取，，，2，…，16；取，，，2，…，5；取，，，2；取，，共種②若，則，∴∴，2，3，4，5，6，7，考慮到，從而，3，5，7取，，，2，…，6；取，，，2；取，，；取，，共種③若，則，∴∴，2，3，4，5，考慮到，從而，5取，，，2，3；取，，；共種④若，則，∴∴，2，3，4，考慮到，從而，3取，，，2；取，，；共種⑤若，則，∴∴，∴，12取，，；取，，；共2種綜上所述，（a，b，c）共有組8．【正確答案】D每次操作有3種不同的路線，2次操作，有種路線，其中有3條可以回到A點，因此進行2次這樣的操作回到A點的概率為；4次操作，有種路線，如下圖所示，設(shè)第n次操作后恰好走到A點的方法數(shù)為，由對稱性可知第n次操作后恰好走到B，C，D三點的方法數(shù)相同，設(shè)為，恰好走到E，F(xiàn)，G三點的方法數(shù)也相同，設(shè)為，設(shè)第n次操作后恰好走到H點的方法數(shù)為，則，，由此算出，∴，∴進行4次這樣的操作回到A點的概率為，AC選項都錯．9．【正確答案】共條線段，選出兩條有種方法，任意四個點對應(yīng)兩組不相交的線段，有組，因此，任選兩條線段，它們無公共點的概率為．10．【正確答案】若，考慮（），必有可知從第i項開始，數(shù)列開始遞增；再考慮前面的項，若，說明此情況下數(shù)列在第1項到第i項遞減．若，則將原來的i改為同理考慮即可．由以上分析可知，該數(shù)列只有三種情況，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，先減后增故排列總數(shù)為．11．【正確答案】ABC．可理解為P，Q兩點到直線距離之比；說明兩點在直線同側(cè)，說明兩點在直線異側(cè)，故可知ABC正確．12．【正確答案】D．如下圖由題可知AP為平分線，故；；于是化簡可得，于是或（舍）故13．【正確答案】ABCD分類討論即可若張三說假話，則丁第1名，因為乙不是第2或第4名，于是乙只能是第3名，又因為丙排在乙前面，于是丙只能為第2名，推出甲為第4名，與張三說假話矛盾！若李四說假話，則丁第1名，甲第4名，因為丙排在乙前面，故丙第2名，乙第3名，與李四說假話矛盾！若王五說假話，則丁第1名，甲第4名，因為乙不是第2或第4名，所以故丙第3名，乙第2名，這與王五說假話矛盾！若劉六說假話，則甲第4名，結(jié)合乙不是第2或第4名與丙排在乙前面可知乙只能為第3名，故丙為第1或2名，但丁不為第1名，故丙第1名，丁第2名綜上，選ABCD．14．【正確答案】這是一個強基考爛了的裂項于是于是．15．【正確答案】18由條件整除而，故下面分三種情況討論：情形一：；這時，矛盾；情形二：，這時a，b應(yīng)具有，，k是正整數(shù)的形式，顯然滿足條件；情形三：，這時由，則，進而或2，當(dāng)時，則條件為正整數(shù)，57能被整除，可知或57，進而可知或49，解得或（49，1）；當(dāng)時，由（）為正整數(shù)，可知，此時，矛盾；綜上，所有解為，（49，1）或（k是正整數(shù)）再結(jié)合，可知型的數(shù)有16組故一共有18組．16．【正確答案】1056總共有種，如圖三點共線（紅色）有8組四點共線有9組（圖中藍色加上5條豎線）五點共線有4組于是一共能組成．17．【正確答案】ABD由題可知，利用不動點方法求得，，于是可求得．故，于是單調(diào)遞增且有極限，故．18．【正確答案】3不妨設(shè)由題可知①，可知滿足條件即n最小值為3（驗證可知小于3不滿足）．②，驗證可知滿足（驗證可知小于3不滿足）．綜上可知．19．【正確答案】BC設(shè)AB中點為M，則由，知，且．設(shè)和的夾角為θ，有所以最大值為，最小值為．選BC．20．【正確答案】無最大值，最小值為2顯然沒有最大值．若a，b，c中沒有0，則由均值有．同理可得，．有．若a，b，c中有0，則至多有一個0，不妨設(shè)，此時所求．綜上，最小值為2，當(dāng)，時取等．21．【正確答案】區(qū)間（，0）上的所有實數(shù)設(shè)則，設(shè)，，，則，∴，∴∴22．【正確答案】如圖，取P，Q分別為VC，AB的中點．由中線長公式可知．在中，，當(dāng)A，B重合時取等．過B作于H，設(shè)，則，即，得．所以．當(dāng)A，B，V，C共面時取等．取BC中點M，則，，所以所求的角即為，于是由知，于是．23．【正確答案】BC，在區(qū)間（，2）上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間（2，）上，，單調(diào)遞減，，，，∴的大致圖象如下圖所示：∴有兩根，則，B選項正確，并不是關(guān)于直線對稱，因此A選項錯誤．從圖象可以判斷，C選項錯正確，D選項錯誤．24．【正確答案】A取，則有恒等于1，則CD選項錯誤．取，則，，則B選項錯誤．由絕對值不等式，，A正確．25．【正確答案】由垂徑定理，，結(jié)合，知．所以，進