實(shí)驗(yàn)1 多元函數(shù)微分學(xué)(基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn))指導(dǎo)書

1、 附錄 大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書項(xiàng)目三 多元函數(shù)微積分實(shí)驗(yàn)1 多元函數(shù)微分學(xué)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握利用Mathematica計(jì)算多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法, 掌握計(jì)算二元函數(shù)極值和條件極值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通過作圖和觀察, 理解二元函數(shù)的性質(zhì)、方向?qū)?shù)、梯度和等高線的概念.求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分例1.1 (教材 例1.1) 設(shè)求輸入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y則輸出所求結(jié)果.例1.2 設(shè)求和全微分dz.輸入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y則有輸出再輸入Dtz則得到輸出例1.3 (教材 例

2、1.2) 設(shè)其中a是常數(shù), 求dz.輸入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants->a/Simplify則輸出結(jié)果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants->a+ Dty,Constants->a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants->a就是dx, Dty,Constants->a就是dy. 可以用代換命令“/.”把它們換掉. 輸入wf/.Dtx,Constants->a->dx,Dty,Constants->a->dy輸出為(a+xy)-1+y(dxy2+dy(x

3、y+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 設(shè),求輸入 eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants->u,v(*第一個(gè)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants->u,v(*第二個(gè)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù), 把u,v看成x,y的函數(shù)*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants->u,v,Dv,x,NonConstants->u,v/Simplify(*解求導(dǎo)以后由eq1,eq2組成的方程組*)則輸出 其中Du,x,NonConstants->u

4、,v表示u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 而Dv,x,NonCosnstants->u,v表示v對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù). 類似地可求得u,v對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù).微分學(xué)的幾何應(yīng)用例1.5 求出曲面在點(diǎn)(1,1)處的切平面、法線方程, 并畫出圖形.解(1) 畫出曲面的圖形. 曲面的參數(shù)方程為輸入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2則輸出相應(yīng)圖形(圖1.2).圖1.2 (2) 畫出切平面的圖形. 輸入命令a=Dfx,y,x/.x->1,y-&

5、gt;1;b=Dfx,y,y/.x->1,y->1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,2,y,-2,2;則輸出切平面方程為及相應(yīng)圖形(圖1.3).圖1.3 (3) 畫出法線的圖形. 輸入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->-2.530,-1.025,2.000;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.4).圖1.4例1.6 (教材 例

6、1.4) 求曲面在點(diǎn)處的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一圖形里.輸入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定義函數(shù)k(x,y)*)kx=Dkx,y,x/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 并代入在指定點(diǎn)的值*)ky=Dkx,y,y/.x->1/4,y->1/2;(*求函數(shù)k(x,y)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù), 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定義在指定點(diǎn)的切平面函數(shù)*)再輸入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange->0,

7、4,BoxRatios->1,1,1,PlotPoints->30,DisplayFunction->Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;Showqm,qpm,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出所求曲面與切平面的圖形（圖1.5）.圖1.5多元函數(shù)的極值例1.7 (教材 例1.5) 求的極值.輸入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0則分

8、別輸出所求偏導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn):x->-3,y->0,x->-3,y->2,x->1,y->0,x->1,y->2再輸入求二階偏導(dǎo)數(shù)和定義判別式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2輸出為判別式函數(shù)的形式:(6+6x)(6-6y)再輸入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings->None, "x ", "y ", "fxx ",

9、 "disc ", "f "最后我們得到了四個(gè)駐點(diǎn)處的判別式與的值并以表格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易見,當(dāng)時(shí)判別式disc=72, 函數(shù)有極大值31;當(dāng)時(shí)判別式disc=72, 函數(shù)有極小值-5;當(dāng)和時(shí), 判別式disc=-72, 函數(shù)在這些點(diǎn)沒有極值.最后,把函數(shù)的等高線和四個(gè)極值點(diǎn)用圖形表示出來,輸入d2=x,y/.critpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity

10、;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours->40,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖1.6.圖1.6從上圖可見, 在兩個(gè)極值點(diǎn)附近, 函數(shù)的等高線為封閉的. 在非極值點(diǎn)附近, 等高線不封閉. 這也是從圖形上判斷極值點(diǎn)的方法.注:在項(xiàng)

11、目一的實(shí)驗(yàn)4中,我們?cè)妹頕indMinimum來求一元函數(shù)的極值, 實(shí)際上,也可以用它求多元函數(shù)的極值, 不過輸入的初值要在極值點(diǎn)的附近. 對(duì)本例,可以輸入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1則輸出-5.,x->1.,y->-2.36603×10-8從中看到在的附近函數(shù)有極小值-5, 但y的精度不夠好.例1.8 求函數(shù)在條件下的極值.輸入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,D

12、lax,y,r,r=0得到輸出再輸入fx,y/.extpts/Simplify得到兩個(gè)可能是條件極值的函數(shù)值但是否真的取到條件極值呢? 可利用等高線作圖來判斷.輸入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours->20,PlotPoints->60,ContourShading->False,Frame->False,A

13、xes->Automatic,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->60,Contours->0,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,ContourStyle->Dashing0.01,AxesOrigin->0,0,DisplayFunction->Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio->

14、;1,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為及圖1.7. 從圖可見，在極值可疑點(diǎn)處, 函數(shù)的等高線與曲線(虛線)相切. 函數(shù)的等高線是一系列同心圓, 由里向外, 函數(shù)值在增大, 在的附近觀察, 可以得出取條件極大的結(jié)論. 在 的附近觀察, 可以得出取條件極小的結(jié)論.圖1.7梯度場(chǎng)例1.9 畫出函數(shù)的梯度向量.解 輸入命令<<GraphicsContourPlot3D<<GraphicsPlotField3D<<CalculusVectorAnalysisSetCoordinatesCartesianx,y,z;f=z2

15、-x2-y2;cp3d=ContourPlot3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,Contours->1.0,Axes->True,AxesLabel->"x","y","z"vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints->3,VectorHeads->True;Showvecplot3d, cp3d;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.8)圖1.8例1.10 在同一坐標(biāo)面上作出 和 的等高線圖

16、(), 并給出它們之間的關(guān)系.解 輸入命令<<CalculusVectorAnalysis<<GraphicsPlotFieldSetCoordinatesCartesianx,y,z;checku_,v_:=Gradu1-Gradv2,Gradv1+Gradu2u=x(1+1/(x2+y2);v=y(1-1/(x2+y2);checku,v/Simplifyugradplot=PlotGradientFieldu,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,Co

17、ntourStyle->GrayLevel0,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;vgradplot=PlotGradientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction->Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle->Gray

18、Level0.7,ContourShading->False,DisplayFunction->Identity,Contours->40,PlotPoints->40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;g4=Showugradplot,vgradplot,DisplayFunction->$DisplayFunction;則輸出相應(yīng)圖形(圖1.9)，其中(a) 的梯度

19、與等高線圖;(b) 的梯度與等高線圖;(c) 與的等高線圖;(d) 與的梯度圖. (a) (b) (c) (d)圖1.9從上述圖中可以看出它們的等高線為一族正交曲線. 事實(shí)上, 有且它們滿足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 設(shè)作出的圖形和等高線, 再作出它的梯度向量gradf的圖形. 把上述等高線和梯度向量的圖形疊加在一起, 觀察它們之間的關(guān)系.輸入調(diào)用作向量場(chǎng)圖形的軟件包命令<<GraphicsPlotField.m再輸入Clearf;fx_,y_=x*Exp-x2-y2;dgx=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints->

20、60, Contours->25,ContourShading->False,Frame->False,Axes->Automatic,AxesOrigin->0,0td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame->FalseShowdgx,td輸出為圖1.10. 從圖可以看到平面上過每一點(diǎn)的等高線和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函數(shù)值增大的方向.圖1.10例1.12 求出函數(shù)的極值, 并畫出函數(shù)的等高線、駐點(diǎn)以及的梯度向量的圖形.輸入命令<<GraphicsPlotFieldf=x4-4*x*y

21、+y2;FindMinimumf,x,1,y,1conplot=ContourPlotf,x,-2,2,y,-3,3,ContourShading->False,PlotPoints->100,Contours->-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,ScaleFunction->(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle->PointSize0.03;Showconp

22、lot,fieldplot,critptplot;則得到的最小值以及函數(shù)的圖形(圖1.11).圖1.11 實(shí)驗(yàn)2 多元函數(shù)積分學(xué)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆沼肕athematica計(jì)算二重積分與三重積分的方法; 深入理解曲線積分、曲面積分的概念和計(jì)算方法. 提高應(yīng)用重積分和曲線、曲面積分解決各種問題的能力. 計(jì)算重積分 例2.1 (教材 例2.1) 計(jì)算 其中為由 所圍成的有界區(qū)域.先作出區(qū)域的草圖, 易直接確定積分限,且應(yīng)先對(duì)積分, 因此, 輸入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty則輸出所求二重積分的計(jì)算結(jié)果 例2.2 (教材 例2.2) 計(jì)算 其中為 如果用直角坐標(biāo)

23、計(jì)算, 輸入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2則輸出為 其中Erf是誤差函數(shù). 顯然積分遇到了困難. 如果改用極坐標(biāo)來計(jì)算, 也可用手工確定積分限. 輸入 Integrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出所求二重積分的計(jì)算結(jié)果 如果輸入 NIntegrate(fx,y/.x->r*Cost,y->r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 則輸出積分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3)

24、 計(jì)算, 其中由曲面與圍成. 先作出區(qū)域的圖形. 輸入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint->1.3,-2.4,1.0則分別輸出三個(gè)圖形（圖2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 圖2.1考察上述圖形, 可用手工確定積分限. 如果用直角坐標(biāo)計(jì)算, 輸入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrate

25、gx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2執(zhí)行后計(jì)算時(shí)間很長(zhǎng), 且未得到明確結(jié)果.現(xiàn)在改用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計(jì)算. 如果用柱坐標(biāo)計(jì)算,輸入 Integrate(gx,y,z/.x->r*Coss,y->r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2則輸出 如果用球面坐標(biāo)計(jì)算,輸入Integrate(gx,y,z/.x->r*Sinfi*Cost,y->r*Sinfi*Sint,z->r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,

26、0,Sqrt2則輸出 這與柱面坐標(biāo)的結(jié)果相同.重積分的應(yīng)用 例2.4 求由曲面與所圍成的空間區(qū)域的體積. 輸入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2Show%,%一共輸出三個(gè)圖形, 最后一個(gè)圖形是圖2.1.圖2.2首先觀察到的形狀. 為了確定積分限, 要把兩曲面的交線投影到平面上輸入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到輸出 為了取出這兩條曲線方程, 輸入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2輸出為 再輸入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotS

27、tyle->Dashing0.02,DisplayFunction->Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction->Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio->1, DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.2, 由此可見,是下半圓(虛線),是上半圓,因此投影區(qū)域是一個(gè)圓.圖2.2設(shè)的解為與,則為的積分限. 輸入 xvals=Solvey1=y2,x輸出為 為了取出, 輸入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2輸出為 這時(shí)可以作最后的計(jì)算了. 輸入

28、Volume=Integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify輸出結(jié)果為 例2.5 (教材 例2.4) 求旋轉(zhuǎn)拋物面在平面上部的面積 先調(diào)用軟件包, 輸入 <<GraphicsParametricPlot3D 再輸入 CylindricalPlot3D4-r2,r,0,2,t,0,2 Pi則輸出圖2.3.圖2.3 利用計(jì)算曲面面積的公式, 輸入 Clearz,z1; z=4-x2-y2; z=SqrtDz,x2+Dz,y2+1輸出為, 因此,利用極坐標(biāo)計(jì)算. 再輸入z1=Simplifyz/.x->r*Cost,y->r*Sint;

29、Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify則輸出所求曲面的面積 例2.6 在平面內(nèi)有一個(gè)半徑為2的圓, 它與軸在原點(diǎn)相切, 求它繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積.先作出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的圖形. 因?yàn)閳A的方程是它繞軸旋轉(zhuǎn)所得的圓環(huán)面的方程為, 所以圓環(huán)面的球坐標(biāo)方程是 輸入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints->30,ViewPoint->4.0,0.54,2.0輸出為圖2.4. 圖2.4這是一個(gè)環(huán)面, 它的體積可以用三重積分計(jì)算(用球坐標(biāo)). 輸入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t

30、,0,Pi,r,0,4 Sint得到這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為計(jì)算曲線積分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中積分路徑為: 注意到,弧長(zhǎng)微元, 將曲線積分化為定積分,輸入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t則輸出對(duì)的導(dǎo)數(shù) 再輸入 ds=SqrtDluj,t.Dluj,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x->t, y->t2,z->3t2)*ds,t,0,2則輸出所求曲線積分的結(jié)果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 輸入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integ

31、rate(vecf.Dvecr,t)/.x->2Cost,y->Sint, t,0,2 Pi則輸出所求積分的結(jié)果12 例2.9 求錐面與柱面的交線的長(zhǎng)度. 先畫出錐面和柱面的交線的圖形. 輸入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction->Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction->Identity;Showg1,g2,ViewPoint->1

32、,-1,2,DisplayFunction->$DisplayFunction輸出為圖2.5.圖2.5輸入直接作曲線的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint->1,-1,2,Ticks->False輸出為圖2.6.圖2.6為了用線積分計(jì)算曲線的弧長(zhǎng), 必須把曲線用參數(shù)方程表示出來. 因?yàn)榭臻g曲線的投影曲線的方程為, 它可以化成,再代入錐面方程, 得 因?yàn)榭臻g曲線的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式是, 因此輸入Clearx,y,z;x=Cost2;y=Cost*Sint;z=Cost;qx=x,y,z;Inte

33、grateSqrtDqx,t. Dqx,t/Simplify,t,-Pi/2,Pi/2輸出為 2Elliptice-1這是橢圓積分函數(shù). 換算成近似值. 輸入 %/N輸出為 3.8202 計(jì)算曲面積分例2.10 (教材 例2.7) 計(jì)算曲面積分, 其中為錐面被柱面所截得的有限部分.注意到,面積微元, 投影曲線的極坐標(biāo)方程為將曲面積分化作二重積分,并采用極坐標(biāo)計(jì)算重積分.輸入Clearf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=Sqrtx2+y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.

34、x->r*Cost,y->r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost則輸出所求曲面積分的計(jì)算結(jié)果 例2.11 計(jì)算曲面積分 其中為球面的外側(cè). 可以利用兩類曲面積分的關(guān)系, 化作對(duì)曲面面積的曲面積分. 這里. 因?yàn)榍蜃鴺?biāo)的體積元素注意到在球面上, 取后得到面積元素的表示式: 把對(duì)面積的曲面即直接化作對(duì)的二重積分. 輸入ClearA,fa,ds;A=x3,y3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*Sinu;Integrate(A.fa/.x->a*Sinu*Cosv,y->a*Sinu*Sinv, z->a*Cosu)*ds/Simpli

35、fy,u,0,Pi,v,0,2Pi輸出為 如果用高斯公式計(jì)算, 則化為三重積分, 其中為. 采用球坐標(biāo)計(jì)算, 輸入 <<CalculusVectorAnalysis執(zhí)行后再輸入SetCoordinatesCartesianx,y,z; (*設(shè)定坐標(biāo)系*)diva=DivA; (*求向量場(chǎng)的散度*)Integrate(diva/.x->r*Sinu*Cosv,y->r*Sinu*Sinv,z->r*Cosu)*r2Sinu,v,0,2Pi,u,0,Pi,r,0,a輸出結(jié)果相同.實(shí)驗(yàn)3 最小二乘擬合（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解曲線擬合問題與最小二乘擬合原理. 學(xué)會(huì)觀察給

36、定數(shù)表的散點(diǎn)圖, 選擇恰當(dāng)?shù)那€擬合該數(shù)表.最小二乘擬合原理給定平面上的一組點(diǎn)尋求一條曲線使它較好的近似這組數(shù)據(jù), 這就是曲線擬合. 最小二乘法是進(jìn)行曲線擬合的常用方法.最小二乘擬合的原理是, 求使達(dá)到最小. 擬合時(shí), 選取適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)形式其中稱為擬合函數(shù)的基底函數(shù).為使取到極小值, 將的表達(dá)式代入, 對(duì)變量求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 令其等于零, 就得到由個(gè)方程組成的方程組, 從中可解出曲線擬合例3.1 (教材 例3.1) 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中溫度對(duì)產(chǎn)品得率的影響, 測(cè)得數(shù)據(jù)如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589試求其擬合曲

37、線.輸入點(diǎn)的坐標(biāo), 作散點(diǎn)圖, 即輸入b2=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2則輸出題設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.通過觀察發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)基本位于一條直線附近, 可用直線擬合. 輸入Fitb2,1,x,x (*用Fit作擬合, 這里是線性擬合*)則輸出擬合直線-2.73939+0.48303x作圖觀察擬合效果. 輸入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0,DisplayFunction->Identity; (*作擬合曲線的

38、圖形*)Showfp,gp,DisplayFunction->$DisplayFunction (*顯示數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合曲線*)則輸出平面上的點(diǎn)與擬合拋物線的圖形（圖3.1）. 圖3.1例3.2 (教材 例3.2) 給定平面上點(diǎn)的坐標(biāo)如下表:試求其擬合曲線.輸入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;則輸出題設(shè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.觀察發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)位于一條拋物線附近. 用拋物線擬合, 即取基底函數(shù) 輸

39、入f=Fitdata,1,x,x2,x則輸出5.30661-1.83196x+8.17149x2再輸入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction->Identity;Showpd,fd,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出平面上的點(diǎn)與擬合拋物線的圖形（圖3.2）. 圖3.2下面的例子說明Fit的第二個(gè)參數(shù)中可以使用復(fù)雜的函數(shù), 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函數(shù)的組合進(jìn)行擬合的例子.先計(jì)算一個(gè)數(shù)表. 輸入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10則輸出2.43306,2.02683,1.73576,1.

40、52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用基函數(shù)來做曲線擬合. 輸入Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x則輸出擬合函數(shù)其中有些基函數(shù)的系數(shù)非常小, 可將它們刪除. 輸入Chop%則輸出實(shí)際上,我們正是用這個(gè)函數(shù)做的數(shù)表. 注:命令Chop的基本格式為Chopexpr,其含義是去掉表達(dá)式expr的系數(shù)中絕對(duì)值小于的項(xiàng),的默認(rèn)值為.實(shí)驗(yàn)4 水箱的流量問題（綜合實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握應(yīng)用最小二乘擬合原理分析和解決實(shí)際問題的思想和方法,能通過觀察測(cè)試數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,并用所學(xué)知識(shí)分析和解決所給問題.

41、問題 (1991年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題. 問題中使用的長(zhǎng)度單位為E(英尺, 1 E=30.24cm), 容積單位是G(加侖, 1 G=3.785L).某些州的用水管理機(jī)構(gòu)需估計(jì)公眾的用水速度(單位:G/h)和每天的總用水量. 許多供水單位由于沒有測(cè)量流入或流出量的設(shè)備, 而只能測(cè)量水箱中的水位(誤差不超過5%). 當(dāng)水箱水位低于水位L時(shí), 水泵開始工作將水灌入水箱, 直至水位達(dá)到最高水位H為止. 但是依然無法測(cè)量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作時(shí)無法立即將水箱中的水位和水量聯(lián)系起來. 水泵一天灌水12次, 每次約2h. 試估計(jì)在任一時(shí)刻(包括水泵灌水期間) t流出水箱的流量并估計(jì)一天

42、的總用水量.表1給出了某鎮(zhèn)某一天的真實(shí)用水?dāng)?shù)據(jù). 水箱是直徑為57E, 高為40E的正圓柱體. 當(dāng)水位落到27E以下, 水泵自動(dòng)啟動(dòng)把水灌入水箱; 當(dāng)水位回升至35.5E時(shí), 水泵停止工作.表1 時(shí)間/s水位E時(shí)間/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水35503445466364995353936572546057464554685357185475021792548264985968899539327033

43、5032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假設(shè)(1) 影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)公眾對(duì)水的普通需求. 所給數(shù)據(jù)反映該鎮(zhèn)在通常情況下一天的用水量, 不包括任何非常情況, 如水泵故障、水管破裂、自然災(zāi)害等. 并且認(rèn)為水位高度、大氣情況、溫度變化等物理因素對(duì)水的流速均無直接影響;(2) 水泵的灌水速度為常數(shù);(3) 從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 為了滿足公眾的用水需求不讓水箱中的水用盡, 這是顯然的要求;(4) 因?yàn)楣妼?duì)水的消耗量是以全天的活動(dòng)(諸如洗澡、做飯、洗衣服等)為基礎(chǔ)的, 所以,可以認(rèn)為每天的用水量分布都是相

44、似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲線來近似.問題分析與模型建立為方便起見,記V表示水的容積;表示時(shí)刻 (單位:h)水的容積;表示流出水箱的水的流速(單位;G/h),它是時(shí)間的函數(shù);p表示水泵的灌水速度(G/h).先將表1中數(shù)據(jù)作變換, 時(shí)間單位用小時(shí)(h), 水位高轉(zhuǎn)換成水的體積(單位: ). 輸入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649

45、,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N則輸出下表.表2 時(shí)間/h水量/G時(shí)間/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9

46、811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.36764

47、8.477637.593由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系, 因此須由表2的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(區(qū)間左端點(diǎn)的水量-區(qū)間右端點(diǎn)的水量)/時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度輸入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27則輸出下表表3 時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值/h平均水流量/G/h時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911

48、.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.489748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解為了作出時(shí)間tt1

49、與平均水流量vv1之間的散點(diǎn)圖, 先輸入調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟件包的命令 <<StatisticsDataManipulation.m執(zhí)行以后再輸入ClearL;L=TransposeDropNonNumericColumntt1,vv1*103(*命令中vv1*103,使平均水流量vv1的單位變?yōu)镚/h*)g1=ListPlotL則輸出圖4.1圖4.1圖中空白區(qū)域?yàn)楸盟畷r(shí)間. 從中可以看出數(shù)據(jù)分布不均勻. 我們采用8階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合. 輸入 ft=FitL,Tableti,i,0,8,t則輸出這就是流出水箱的水的流速關(guān)于時(shí)間t的函數(shù). 為作出其擬合曲線圖, 輸入fg=Plotft,t,0,2

50、6,DisplayFunction->Identity;Showg1,fg,DisplayFunction->$DisplayFunction則輸出圖4.2.圖4.2求解結(jié)果將h和h代入到水的流速擬合函數(shù)我們得到這兩時(shí)刻的流速分別近似為13532.5G/h和13196.1G/h,相差僅2.48587%, 從而可以認(rèn)為能近似表達(dá)一天的用水流量.于是, 一天里的用水總量近似地等于函數(shù)在24小時(shí)周期內(nèi)的積分. 輸入Integrateft,t,0.46,24.46則輸出336013.G若按常規(guī)每1000人的用水量為105000G/d, 因此估計(jì)出這個(gè)地區(qū)大約有3200人.模型評(píng)價(jià)該模型數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單, 并且容易實(shí)現(xiàn), 任意時(shí)刻從水箱中流出水的速度都可通過該模型