圓中最值問題的求解方法

1、圓中最值問題的求解方法有關(guān)圓的最值問題，往往知識(shí)面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，本文按知識(shí)點(diǎn)分類，以近幾年中考題為例，歸納總結(jié)此類試題的解題方法.一、直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短例1（2012寧波）如圖1,4ABC中，/BAC=60°,/ABC=45°,AB=272,D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫。O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,連結(jié)EF,則線段EF長(zhǎng)度的最小值為.分析由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為4ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短.圖I圖2解如圖2,連結(jié)OEOF,過O點(diǎn)作0代EF,垂足為H.在Rt

2、ADB中，ZABC=45°,AB=2右,AD=BD=2,即此時(shí)圓的直徑為2.由圓周角定理，可知，1一一。/EOH=/EOF=/BAC=60,2在RtEOH中，EH=OE-sin/EOH=1摟a22由垂徑定理，可知EF=2E+3點(diǎn)評(píng)本題是一道融垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形于一體的綜合應(yīng)用題.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓.二、兩點(diǎn)之間線段最短例2（2014三明）如圖3,在RtABC中，/ACB=90°,AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交AB于點(diǎn)D,P是CDCD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,則AP的最小值是.分析如圖4,取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,交半圓于點(diǎn)Pa,在半

3、圓上取點(diǎn)Pi,連結(jié)AP,ER,可得，AP+EP>AE即AR是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后減掉半徑即可.解如圖4,取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AEEP,可得，AP+EP>AE,AE.22125,P2E=1.AP2V51即AP2是AP的最小值.點(diǎn)評(píng)本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵.三、利用軸對(duì)稱，求直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的線段之和最短例3（2014張家界）如圖5,ARCD是半徑為5的。O的兩條弦，AB=8,CD=6,MN是直徑，AB!MNF點(diǎn)E,CDLMNF點(diǎn)F,P為EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值為.圖6分析AB兩點(diǎn)關(guān)于MN寸稱，因

4、而PA+PC=PB+PC,即當(dāng)B、CP在一條直線上時(shí),PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值.解如圖6,連接OAOB,OC彳CH垂直于AB于點(diǎn)H.根據(jù)垂徑定理，得到BE=4,CF=3,3OE=/萬研-砂=-4:=3.OF=/0?-CF1=J5M.3,=4,.CH=OE+OF=3+4=4+37,在RtBCH中，根據(jù)勾股定理得到BC=772,則PA+PC的最小值為7J2.點(diǎn)評(píng)正確理解BC的長(zhǎng)是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.例4（2014東營(yíng)）如圖7,在。O中，AB是。的直徑，AB=8cm,ACCDBD,M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則CMDM勺最小值是cm.圖K解析如圖8,作點(diǎn)C關(guān)于AB的

5、對(duì)稱點(diǎn)C',連結(jié)C'D與AB相交于點(diǎn)M根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)M為C也DM勺最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得ACAC',然后求出C'D為直徑，從而得解.，CMDM的最小值是8cm.點(diǎn)評(píng)本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CWDM的最小值等于圓的直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.四、利用切線的性質(zhì)求最小值例5（2010蘇州）如圖9,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,0）、（0,2）,OC的圓心坐標(biāo)為（1,0）,半徑為1.若D是OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E,則ABE解析根據(jù)三角形的面積公式,面積的最小值是（）ABE底邊BE上的

6、高AO不變，BE越小，則面積越小,可以判斷當(dāng)AD與。C相切時(shí)，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出AD的值，然后根據(jù)相似三角形求出OE的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.如圖10,由題意知道當(dāng)DA是圓C的切線時(shí)，OE最短，此時(shí)ABE面積最小.AC=2+1=3.CD=1.由勾股定理得HD=?3:-V=22.可以證明AAOEsA4DC,“AO-一DC-的那”&4日£的面枳為士yxXAi?=»（2一/）=2立故選C.點(diǎn)評(píng)本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.五、立體圖形上兩點(diǎn)之間最短距離

7、例6（2014蘭州）如圖11,有一個(gè)圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷口糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，求小貓經(jīng)過的最短路程.解析如圖12,先確定扇形的圓心角，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再確定起點(diǎn)和終點(diǎn),從而求解，.ABE正三角形.BC=6.根據(jù)底面積圓的周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)，得n66180故n=180°,則/B'AC=90°,.B'P=V36-93而（米）.答：小貓所經(jīng)過的最短路程是=3用米.點(diǎn)評(píng)本題考查平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵知道兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理求解.以圓為載體的最值問題在中考試題中通常以選擇、