在響應(yīng)曲面方法中三類中心復(fù)合設(shè)計的比較研究分享資料

1、1響應(yīng)曲面方法(RSM)基于中心復(fù)合設(shè)計（Central Composite Designs, CCDs）2CCDs得以最廣泛應(yīng)用的原因CCDs的序貫本質(zhì),它自然地將因子點劃分為兩個子集,第一個子集估計線性和兩因子交互效應(yīng),第二個子集估計曲性效應(yīng).CCDs很有效,以最少的試驗循環(huán)提供了關(guān)于實驗變量和實驗誤差的諸多信息.CCDs很靈活,其設(shè)計類型可以應(yīng)用于不同的操作域和設(shè)計域.3經(jīng)典的RSM模型經(jīng)典的RSM模型是建立在方差一致性假設(shè)基礎(chǔ)之上,首先是擬合一階模型,運用脊分析,找到優(yōu)化域,再擬合二階響應(yīng)曲面模型:此模型包含1+ 2k+ k(k -1) /2個參數(shù),因此必須至少有1+ 2k+ k(k

2、-1) /2個不同的設(shè)計點,而且至少每個設(shè)計變量是三個水平的.2011kkiiijijiiiiijiyxx xx4主要的概念操作域(Operability Region):在安全性允許的條件下,加工設(shè)備和生產(chǎn)過程的加工操作范圍所定義的研究變量的上下界限的幾何區(qū)域。設(shè)計域(Region of Interest):由設(shè)計變量的各個水平集合的上下界限所定義的幾何區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi),真實的函數(shù)關(guān)系能夠由一個多項式模型很好地近似,每個試驗各自的設(shè)計域或相同或不同,但都在操作域之內(nèi)。5評價CCDs的一個重要指標-預(yù)測方差對于一個二階設(shè)計,在設(shè)計域上擁有一個（N表示樣本量,X是設(shè)計變量的矩陣）的合理穩(wěn)定的分布

3、是重要的。因為一開始設(shè)計者并不知道設(shè)計空間的準確范圍或者預(yù)測方向以及在設(shè)計空間中優(yōu)化值的位置,而一個合理穩(wěn)定的 分布就保證了未來響應(yīng)預(yù)測值 的質(zhì)量。 2mmNVary XNXX X X2NVary X y X6旋轉(zhuǎn)性一個可旋轉(zhuǎn)的設(shè)計就是與中心點距離相同的任意兩點的 相等,即預(yù)測方差的一致性.當實驗者在實驗之前不知道設(shè)計域內(nèi)優(yōu)化點的位置時,旋轉(zhuǎn)性使得設(shè)計目標清晰.在CCDs中,通過恰當?shù)剡x擇可滿足旋轉(zhuǎn)性要求, 就得到旋轉(zhuǎn)性,F是2k析因設(shè)計點的數(shù)目(k是所研究變量的數(shù)目)。旋轉(zhuǎn)性本身雖然不能保證 在整個設(shè)計域上的穩(wěn)定性,但它對設(shè)計參數(shù)的選擇提供了指導(dǎo)原則,像對軸向距離和中心點數(shù)目 的選擇。2NV

4、ary X4= F y Xcn7以三因子為例經(jīng)典的CCDs包括:析因部分:一個立方體的2k頂點或者這些析因點的一部分(圖1中立方體各個頂點)。帶有參數(shù)的2k個軸向點(圖1中各個“星”點),這些點實際上擴展了設(shè)計區(qū)域,提供了對二階響應(yīng)曲面模型純平方項 的估計.一系列中心點(圖1中位于各個圖形中心的點).ii8CCC、CCI和CCF簡介所有設(shè)計變量均以編碼單位來表示,從設(shè)計矩陣的中心點到因子的高低水平的距離是 1,軸向點或者“星”點到中心的距離是. 時軸向點一般在球體上, = 1. 0時軸向點在立方面上.軸向點在立方體的外面,比因子的高低水平 1更高或更低,這種設(shè)計稱之為外切中心復(fù)合設(shè)計(CCC)

5、.對于CCC設(shè)計,每個因子有五個水平:,0, 1.當受到條件的制約時,可減少因子集合的范圍,使得軸向點落在每個因子的設(shè)計域內(nèi)部,即將的值設(shè)在因子設(shè)計域的最大和最小界限上,這樣得到的設(shè)計稱之為嵌套(內(nèi)接)中心復(fù)合設(shè)計CCI. CCI具有CCC的所有特性,CCI也是每個因子有五個水平:0.7,0,1.當五個水平難以滿足或者受到條件的制約時,就將軸向點放在設(shè)計空間每個面的中心上,稱之為面心復(fù)合設(shè)計CCF.CCF僅需要每個因子三個水平: 1,0。= k9軸向距離和中心點數(shù)目的作用CCDs的優(yōu)點來自于其靈活性和作為序貫試驗設(shè)計的有用性,靈活性來自于對軸向距離和中心點數(shù)目 的選擇。其中的選擇涉及到設(shè)計的旋

6、轉(zhuǎn)性、模型不符合規(guī)格限的穩(wěn)健性、參數(shù)估計對外推的穩(wěn)健性等方面。旋轉(zhuǎn)特性與中心點的數(shù)目無關(guān),僅依賴于的值。中心點數(shù)目的選擇控制了RSM的某些特性:中心點的加入不改變正交性的特點,但卻不再是一個方差優(yōu)化條件,也就是說,在每個試驗點上,回歸系數(shù)的方差不再最小;在某些情況下,中心點的數(shù)目使得設(shè)計具有“一致精度”(Uniform Precision),一致精度保證了在所定義的單位距離的區(qū)域內(nèi)所預(yù)測的優(yōu)化值具有相同的方差。中心點數(shù)目是CCDs的關(guān)鍵成分,其正確選擇是達到一致精度的決定因素。因為中心點個數(shù)決定著 的大小,這兩者成反比關(guān)系,因而球形設(shè)計需要3 -5個中心點以避免 的嚴重失衡。cn2NVary

7、X2NVary X10設(shè)計的評價、比較和應(yīng)用選擇在RSM設(shè)計進行評價比較時,應(yīng)該根據(jù)以下三個方面的標準來衡量:首先是Box and Wilson(1951)在其文章中引入了復(fù)合設(shè)計的概念從而能夠有效地估計二階模型的平方項,利用預(yù)測方差在其設(shè)計域上的分布來評價一個設(shè)計,得出了旋轉(zhuǎn)性這一特性.預(yù)測方差應(yīng)具有穩(wěn)定性這一特點,因為很多設(shè)計在其設(shè)計邊界上的方差是不穩(wěn)定的,從而得出了一致精度的概念.RSM設(shè)計對模型不符合規(guī)格限(Model Misspecification)的穩(wěn)健性概念,不僅由于模型不符合規(guī)格限所造成的偏移應(yīng)該考慮,即使是中等程度的不符合,使用者也必須在設(shè)計選擇中認真考慮.11從設(shè)計域及其

8、復(fù)雜性上比較為了成功地運行任一安排的試驗,操作域必須包括設(shè)計域.這意味著過程必須能夠在設(shè)計域上具有可操作性,因此,正確的選擇CCDs的第一步就是將設(shè)計域與操作域相比較.如果實驗者能夠充分推測出優(yōu)化目標存在于所研究的變量區(qū)域內(nèi),一般采用球形域.在許多實際情況下,當過程不能夠在設(shè)計域的一個或者多個邊界點上操作時,設(shè)計域與操作域相同,這時設(shè)計域是個立方體.如果過程不能在區(qū)域的一個或者多個立方體的頂點上操作,那么CCF是不合適的,這就留給實驗者兩個選擇:減少變量的區(qū)域產(chǎn)生一個新的CF,或者產(chǎn)生一個CCI.由于將軸向點放在變量范圍的上下界,析因點就落在了設(shè)計空間的內(nèi)部,CCI限制了由變量所定義的區(qū)域的真

9、實設(shè)計空間.12從設(shè)計域及其復(fù)雜性上比較考慮軸向距離與設(shè)計域和操作域的關(guān)系:設(shè)計域經(jīng)常表示出的值,一般取1. 0到 ,在取值上這三個設(shè)計是不同的,如果是球形域CCC,的上界就是k;在CCI中,的上界就是1;在立方域CCF,= 1. 0是恰當?shù)倪x擇。因此的選擇依賴于操作域和設(shè)計域.各設(shè)計中軸向點相對于因子點的位置:CCC、CCI使所有設(shè)計點(不包括中心點)與中心等距,這些設(shè)計點就形成了一個圓;CCF將軸向點放在立方體的表面中心,析因點在立方體的頂點,因而它是不可旋轉(zhuǎn)的。將設(shè)為k就將一個可旋轉(zhuǎn)CCD轉(zhuǎn)換為一個球形CCD,在球形CCD中,所有的設(shè)計點都在同一個幾何球體上,這些設(shè)計不是準確地可旋轉(zhuǎn)的,

10、但它們是近似旋轉(zhuǎn)的。k13從設(shè)計域及其復(fù)雜性上比較考慮設(shè)計的復(fù)雜性:在應(yīng)用CCC時,延伸所定義的變量界限得到軸向點,這就需要操作過程中的每個變量具有五個水平(對于CCI同樣)。相反,對于CCF,僅需要每個變量的三個水平,使之成為一個更簡單的設(shè)計.實驗者應(yīng)該充分重視由于設(shè)計水平的增加而增加的復(fù)雜性,即使一個重新裝配過程的成本不高且不費時間,但這會引起更多的實誤差變異來源。根據(jù)經(jīng)驗,在應(yīng)用實驗設(shè)計時,最常見的失效原因是由于無法預(yù)期的較大的實驗誤差所引起的,因此選擇誤差來源少的設(shè)計是有道理的,因為在多數(shù)情況下,可旋轉(zhuǎn)性設(shè)計的優(yōu)勢不能夠補償所增加的復(fù)雜性和相關(guān)的風(fēng)險.14從設(shè)計的穩(wěn)健性方面進行比較穩(wěn)健

11、性是指實驗設(shè)計對規(guī)格限不符合的穩(wěn)健性,從誤差的角度看就是同時考慮了模型的兩類誤差:隨機誤差即前面所述的 和系統(tǒng)誤差即偏倚.當偏倚存在于擬合之中時,擬合模型就不可能很好地代表真實模型,擬合不良檢驗應(yīng)該是顯著的.僅用方差作為標準,實際上是假定模型是正確的.對于某一特定的擬合值 ,這兩類誤差實際上就是損失函數(shù)標準.實驗設(shè)計的選擇應(yīng)該基于兩類誤差:方差誤差和偏倚誤差,這樣設(shè)計的實驗才能夠保證RSM設(shè)計不僅達到預(yù)測方差在設(shè)計域上分布的穩(wěn)健性,而且達到了對模型不適合情況下的穩(wěn)健性,這也顯著地提高了設(shè)計的外推能力. Var y y X15案例分析三個設(shè)計所擬合的模型都是顯著的(p 0. 05),即模型是充分

12、代表了真實函數(shù)的,沒有偏倚誤差。從調(diào)整的可決系數(shù) 看出,而且三個設(shè)計所達到的擬合程度基本一致.從均方誤差(RMSE)來看,CCI最小,CCC最大,這是由于預(yù)測誤差的大小是隨著設(shè)計點與設(shè)計域之外的距離呈幾何增長的緣故,而在這三種設(shè)計中,CCC的設(shè)計域最大;相對于CCC而言,CCI和CCF對預(yù)測響應(yīng)的外推的穩(wěn)健性要好,由此說明軸向距離的選擇(設(shè)計域)極大地影響了設(shè)計外推的穩(wěn)健性.從模型系數(shù)的估計精度可看出,CCC的估計精度最高,尤其是平方效應(yīng)的估計,CCI最差,CCI明顯地不如CCC有效,這表明設(shè)計空間對模型參數(shù)的估計精度有影響.而從優(yōu)化點的坐標值可推斷出,設(shè)計域同時極大地影響著優(yōu)化點的位置.2R

13、16案例分析從設(shè)計點的預(yù)測誤差來看,CCC、CCI的軸向點和析因點性能相似;CCF軸向點要顯著地好于析因設(shè)計點,這說明球形設(shè)計的一致精度比立方域要好。對于被CCI排除但仍然在CCF的操作域之內(nèi)的各個頂點而言,意味著預(yù)測誤差增加了27%(36. 1575435 /28. 3826518 -1)。從中心點的預(yù)測方差來看,CCF具有最高的精度,誤差小,這說明CCF設(shè)計對中心點的數(shù)目是穩(wěn)健的.17CCC、CCI和CCF異同點的比較和總結(jié)各個設(shè)計的析因部分都是 個頂點或者這些析因點的一部分,用于估計一階項和交互作用項,對于5 6個因子,CCD設(shè)計的因子部分必須是一個具有最小分辨率為V級的分式析因設(shè)計;但

14、各個設(shè)計點的位置不同.軸向點用于估計二階響應(yīng)曲面模型的純平方項.軸向距離依賴于操作域和定義域,它決定著設(shè)計的旋轉(zhuǎn)性,影響到設(shè)計外推的穩(wěn)健性和參數(shù)的估計精度, 同時優(yōu)化點的位置隨設(shè)計域的不同而不同.對于球形域CCC,2 6個因子時推薦使用 = 1. 42. 8,上界為 = k,對于立方域, = 1. 0.中心點用于提供一致精度和純誤差的估計.在不同形狀的設(shè)計域中,中心點所起的作用顯著不同,在球形設(shè)計中,為了達到 的合理分布中心點是必需的,但在CCF,僅2個中心點就可得到 的合理穩(wěn)定性.球形設(shè)計對中心點的數(shù)目是敏感的,而CCF對中心點的數(shù)目是穩(wěn)健的,增加中心點或者重復(fù)外部點是為了得到純的估計.2k

15、2NVary X2NVary X18在模型的擬合程度方面這三種設(shè)計同樣有效,但在模型的估計精度、方差的穩(wěn)定性和一致精度以及模型外推的穩(wěn)健性方面都不同.對于CCC和CCI,每個試驗變量有五個水平,CCF僅需要三個水平,這使得它成為CCD最簡單的類型,同時也是最不易于受到實驗誤差來源影響而失效的設(shè)計,但它是不可旋轉(zhuǎn)的,這是它的一個缺點.與CCF相比,CCC的預(yù)測誤差精度一性好而且改進了平方(曲性)效應(yīng)的估計.然而,給定一個合理的試驗誤差,這些優(yōu)勢可能不能補償每個變量五個水平所增加的復(fù)雜性.從方差角度來看,如果設(shè)計域是球形的, CCD最有效的設(shè)計是用 = k以及3 5個中心點.近于可旋轉(zhuǎn)性時其旋轉(zhuǎn)性上的損失并不大,有時設(shè)計更可取。19選擇CCDs的指導(dǎo)原則基于可利用的資源和因子集合的限制來選擇經(jīng)典C