大霧第7章機(jī)械波

1、第第7 7章章 機(jī)械波機(jī)械波7.1 7.1 機(jī)械波的幾個(gè)概念機(jī)械波的幾個(gè)概念7.1.1 7.1.1 機(jī)械波的形成機(jī)械波的形成7.1.2 7.1.2 橫波和縱波橫波和縱波 （介質(zhì)、波源）（介質(zhì)、波源）7.1.3 7.1.3 波面與波線(xiàn)波面與波線(xiàn) lS波面波前波線(xiàn)球面波l波面波前波線(xiàn).4 波長(zhǎng)波長(zhǎng)/ /頻率頻率/ /波速關(guān)系波速關(guān)系T1llTu例：例：某時(shí)刻繩上橫波波形如圖。求某時(shí)刻繩上橫波波形如圖。求P處質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)處質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的相位，分別用箭頭表明圖中刻的相位，分別用箭頭表明圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I 各質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向。各質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向。解解：根據(jù)波

2、的傳播方根據(jù)波的傳播方向知向知P點(diǎn)比點(diǎn)比A先振動(dòng)。先振動(dòng)。3lAP32)(-)(ttAp B、A的的振動(dòng)總落后于振動(dòng)總落后于C點(diǎn)，點(diǎn)，D、E、F、G、H、J 振動(dòng)總是超前于振動(dòng)總是超前于C點(diǎn)。點(diǎn)。 C點(diǎn)達(dá)到正最大位移時(shí)，點(diǎn)達(dá)到正最大位移時(shí)，B、A點(diǎn)都點(diǎn)都朝朝著正方著正方向運(yùn)動(dòng)，向著各自的正最大位移行進(jìn)。向運(yùn)動(dòng)，向著各自的正最大位移行進(jìn)。F、E、D都都已經(jīng)過(guò)了各自的正最大位移，而向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。已經(jīng)過(guò)了各自的正最大位移，而向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。 I、H兩點(diǎn)不僅兩點(diǎn)不僅已經(jīng)過(guò)了各自的正已經(jīng)過(guò)了各自的正的最大位移，而且的最大位移，而且還經(jīng)過(guò)了負(fù)的最大還經(jīng)過(guò)了負(fù)的最大位移，向正方向運(yùn)位移，向正方向運(yùn)動(dòng)了，動(dòng)了，

3、G點(diǎn)則處于點(diǎn)則處于負(fù)的最大位移處。負(fù)的最大位移處。7.2 7.2 平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波7.2.1 7.2.1 波函數(shù)波函數(shù) )cos(0tAyuxtAycoslxTtAyuxtAy2coscoslxTtAyuxtAy2coscos則相應(yīng)的波函數(shù)為：則相應(yīng)的波函數(shù)為： 如果以上所如果以上所說(shuō)的參考點(diǎn)不在說(shuō)的參考點(diǎn)不在O點(diǎn)，而是在距點(diǎn)，而是在距O點(diǎn)距離為點(diǎn)距離為 x0)cos(0tAyx 式中，減號(hào)對(duì)應(yīng)波沿式中，減號(hào)對(duì)應(yīng)波沿 Ox 軸正方向傳播，加軸正方向傳播，加號(hào)對(duì)應(yīng)波沿號(hào)對(duì)應(yīng)波沿 Ox 軸負(fù)方向傳播。軸負(fù)方向傳播。 uxxtAy0cosuxtAyxx00cosuxtAy0cos7.2.2 7.

4、2.2 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義xtAytttl2cos000)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y)(sinuxtAtyv)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y 上兩式表明：上兩式表明：1).1).在不同時(shí)在不同時(shí)刻刻 t1 和和 t1+t 同一同一 x 處質(zhì)元的位移是不相同的。處質(zhì)元的位移是不相同的。 2). 2). t1 時(shí)刻的時(shí)刻的 x1點(diǎn)和點(diǎn)和 t1 +t 時(shí)刻的時(shí)刻的 x + ut點(diǎn)的位移相等點(diǎn)的位移相等。)(sinuxtAtyv例：例：已知波動(dòng)方程已知波動(dòng)方程y =1.210-3cos(105t-220 x)(SI)。求

5、求：1)1)該波的振幅、頻率、波速與波長(zhǎng)；該波的振幅、頻率、波速與波長(zhǎng)；2)2)距原距原點(diǎn)點(diǎn)8.00m處的質(zhì)點(diǎn)在處的質(zhì)點(diǎn)在 t =10-5s 時(shí)間間隔內(nèi)的相位時(shí)間間隔內(nèi)的相位差差；3)3)在波傳播方向上相位差為在波傳播方向上相位差為 /3 的兩點(diǎn)間的的兩點(diǎn)間的距離。距離。A = 1.210-3 (m)；T = 210-5 (s)；=2.8510-2 (m)解：解：11021022cos102 . 153xty)Hz(105214T)m/s(1043. 13lu2)2)距原點(diǎn)距原點(diǎn)8.00m處的質(zhì)點(diǎn)在處的質(zhì)點(diǎn)在 t=10-5s時(shí)間間隔內(nèi)時(shí)間間隔內(nèi)的相位差的相位差tT23)3)在波傳播方向上相位差

6、為在波傳播方向上相位差為 /3 的兩點(diǎn)間的距離的兩點(diǎn)間的距離3220)11021022(-)11021022(2515xxtxt)m(1075. 46603x例：例：一平面波以速度一平面波以速度u =20m/s沿直線(xiàn)傳播。已知沿直線(xiàn)傳播。已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程 yA=3cos4t。1)1)以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波函數(shù)，寫(xiě)出出波函數(shù)，寫(xiě)出CD兩點(diǎn)振動(dòng)方程；兩點(diǎn)振動(dòng)方程；2)2)以以B點(diǎn)為坐點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波函數(shù)，寫(xiě)出標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波函數(shù)，寫(xiě)出CD兩點(diǎn)振動(dòng)方程。兩點(diǎn)振動(dòng)方程。解：解：4) s (5 . 02T)m(10 uTltyyAcos430)54cos(3)20(4cos3

7、),(xt-xt-txy以以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：5134cos3)(13tytyxC)54cos(3),(xt-txy594cos3)(9tytyxD2)2)B 比比 A 超前超前：) s (25. 0205)4cos(3)41(4cos30ttyyB5-43cos20-43cos),(xtxttxy51343cos8Ctyyx59t43cos14xDyy例：例：一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿Ox軸正向傳播，振幅軸正向傳播，振幅 A =2m，周期周期T =2s，波長(zhǎng)，波長(zhǎng) =2m。在。在 t = 0時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)處的時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡沿質(zhì)點(diǎn)位

8、于平衡沿 y 軸的正方向運(yùn)動(dòng)。求：軸的正方向運(yùn)動(dòng)。求：1)1)波動(dòng)方波動(dòng)方程；程；2)2)t =1s時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移分布，并畫(huà)出該時(shí)刻的時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移分布，并畫(huà)出該時(shí)刻的波形圖；波形圖；3)3)x = 0.5m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律，并畫(huà)出該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律，并畫(huà)出該質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn)。質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn)。解：解：lxTtAy2cos22-2212cos2xty1)1)波動(dòng)方程波動(dòng)方程:2)2)t1s時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移分布時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的位移分布2-2212cos2xtyxy-2cos2) s ( 1t3)3)x0.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律2-2212cos2xty)m(5 . 0

9、t)-cos(2ty 例：例：圖圖(a)(a)為為 t =0時(shí)刻的波形；圖時(shí)刻的波形；圖(b)(b)為為原點(diǎn)原點(diǎn) x = 0處處質(zhì)元的振動(dòng)曲線(xiàn)，求此波的波函數(shù)，畫(huà)出質(zhì)元的振動(dòng)曲線(xiàn)，求此波的波函數(shù)，畫(huà)出 x = 2m處處質(zhì)元的振動(dòng)曲線(xiàn)。質(zhì)元的振動(dòng)曲線(xiàn)。解：解： =4(m)，T =2(s)；(m/s)224TulA =2(cm)，t =0時(shí)，時(shí)，x =0處質(zhì)元位處質(zhì)元位移移 yo=0，v00，該質(zhì)元的初相位：，該質(zhì)元的初相位：2(a)(a)(b)(b) x = 0處的質(zhì)元的振動(dòng)方程為：處的質(zhì)元的振動(dòng)方程為： )2cos(2)2cos(20ttTy從圖從圖(a)知波知波沿沿 x 軸軸負(fù)向傳播。負(fù)向傳

10、播。2-)2(cos2xtyx = 2m處質(zhì)元的振動(dòng)方程為：處質(zhì)元的振動(dòng)方程為：212cos22tyyx7.3 7.3 機(jī)械波的能量機(jī)械波的能量.1 彈性體的形變規(guī)律彈性體的形變規(guī)律線(xiàn)變線(xiàn)變 llESFlkllESF22)(21)(21llElkEP應(yīng)力：應(yīng)力：F/S 線(xiàn)應(yīng)變：線(xiàn)應(yīng)變：l/l 楊氏模量楊氏模量彈性勢(shì)能：彈性勢(shì)能：胡克定律：胡克定律：勁度系數(shù)勁度系數(shù)剪切形變剪切形變 剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：F/S ，剪應(yīng)變：剪應(yīng)變： = d/D ，胡克定律：胡克定律： G 稱(chēng)為稱(chēng)為剪切模量。剪切模量。彈性勢(shì)能：彈性勢(shì)能：DdGGSF22)(2121DdGGEP體變體變 壓強(qiáng)變化壓強(qiáng)變化：

11、p，體應(yīng)變：體應(yīng)變：V/V ，胡克定律：胡克定律： K 稱(chēng)為稱(chēng)為體彈模量。體彈模量。壓縮系數(shù)壓縮系數(shù)：VVKPpVVKk3.2 彈性介質(zhì)中的波速?gòu)椥越橘|(zhì)中的波速 彈性介質(zhì)中的波是靠介質(zhì)各質(zhì)元間的彈力作彈性介質(zhì)中的波是靠介質(zhì)各質(zhì)元間的彈力作用而形成的。因此，彈性越強(qiáng)的介質(zhì)，在其中形用而形成的。因此，彈性越強(qiáng)的介質(zhì)，在其中形成波的傳播速度也越大；或者說(shuō)，成波的傳播速度也越大；或者說(shuō)，彈性模量越大彈性模量越大的介質(zhì)，波的傳播速度就越大。的介質(zhì)，波的傳播速度就越大。 波的傳播速度還與介質(zhì)的密度有關(guān)。因?yàn)槊懿ǖ膫鞑ニ俣冗€與介質(zhì)的密度有關(guān)。因?yàn)槊芏仍酱螅|(zhì)元的質(zhì)量就越大，其慣性就越大，前

12、度越大，質(zhì)元的質(zhì)量就越大，其慣性就越大，前方的質(zhì)元就越不容易被其后緊接著的質(zhì)元的彈力方的質(zhì)元就越不容易被其后緊接著的質(zhì)元的彈力帶動(dòng)。這將延緩擾動(dòng)的傳播速度。因此，帶動(dòng)。這將延緩擾動(dòng)的傳播速度。因此，密度越密度越大的介質(zhì)，其中波的傳播速度就越小大的介質(zhì)，其中波的傳播速度就越小。xSmxDydddxxySGF)(1xxxySGF)(2 質(zhì)元受到的質(zhì)元受到的合力：合力：xxxxyxySGF)()(xxyxSG)(ddxxyxSGF)(ddxxySG22由牛頓第二定律由牛頓第二定律：2222tyxSxxySG2222tyGxyGu 棒中橫波的速度棒中橫波的速度：222221tyuxyEu 棒中縱波的速

13、度棒中縱波的速度：液體和氣體中縱波的速度液體和氣體中縱波的速度：細(xì)繩中橫波的速度細(xì)繩中橫波的速度：氣體中縱波的速度氣體中縱波的速度：Ku lFupu 7.7.4 4 波的能量波的能量)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv221VvWk)(sin21222uxtAV 任一質(zhì)元：任一質(zhì)元：VxyGWp2)(21)(sin21222uxtVAWppkWWW)(sin222uxtVA)(sinuxtuAxy)(cosuxtAy能量密度能量密度( (單位體積內(nèi)的能量單位體積內(nèi)的能量) )(sin222uxtAVW22222221AA 平均能量密度平均能量密度( (一個(gè)周期內(nèi)能量密度平均值一個(gè)周期內(nèi)

14、能量密度平均值) )(sin222uxtVAW能流能流-通過(guò)面積通過(guò)面積 S 能量：能量：)(sin222uxtSAudtudtSPuSPIuA2221波的強(qiáng)度：波的強(qiáng)度：在在 dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)時(shí)間內(nèi)通過(guò) S 能量：能量：tSud對(duì)球面波：對(duì)球面波：22222121rArA2211rArA)(cos1urtrAy2211SISI21AA 設(shè)介質(zhì)不吸收波能量：設(shè)介質(zhì)不吸收波能量：平面波：平面波：球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtu7.7.5 5 惠更斯原理與波的反射和折射惠更斯原理與波的反射和折射 介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射介質(zhì)中波動(dòng)

15、傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的子波的波源，而在其后的任意時(shí)刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前。包絡(luò)就是新的波前。 波的衍射：波的衍射：波在傳播過(guò)程中遇到障波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，能繞過(guò)障礙物的邊緣，在障礙礙物時(shí)，能繞過(guò)障礙物的邊緣，在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播。物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播。i i i A1A2A3B2B3B1NNAId時(shí)刻時(shí)刻 tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii時(shí)刻時(shí)刻 t +ti i i A1A2A3B2B3B1NNAId時(shí)刻時(shí)刻 t時(shí)刻時(shí)刻 t +ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133

16、sinsinuuABBAri7.7.6 6 波的疊加波的疊加 幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻特征（頻、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其并按照原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其他波一樣。他波一樣。 在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)在相遇區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和。存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)位移的矢量和。1s2sP*1r2r 波源振動(dòng)：波源振動(dòng)：)cos(111tAy)cos(222tAy 波的相干條件波的相干條件1 1) )

17、頻率相同頻率相同2 2) )振動(dòng)方向平行振動(dòng)方向平行3 3) )相位差恒相位差恒定定)2cos()2cos(22221111llrtAyrtAypp1s2sP*1r2r)22()(1212rr)(2)(1212rr)2()2(1122rr)2()2(1122rtrtr20)cos(21tAyyyppp1s2sP*1r2r)2cos(1111lrtAyp)2cos(2222lrtAyp)cos(21tAyyyppp)2cos()2cos()2sin()2sin(tan122111222111llllrArArArAcos2212221AAAAArr12122)(=常量常量1) ) 合振動(dòng)的振幅在

18、空間各點(diǎn)的分布隨位置合振動(dòng)的振幅在空間各點(diǎn)的分布隨位置 而變，但是穩(wěn)定的。而變，但是穩(wěn)定的。)(2)(cos21212212221rrAAAAA2121,2, 1 ,0)12(,2, 1 ,02AAAkkAAAkk2) ) 例：例：圖為聲音干涉儀。聲波從入口圖為聲音干涉儀。聲波從入口E進(jìn)入，分進(jìn)入，分BC兩兩路在管中傳播，至喇叭口路在管中傳播，至喇叭口A會(huì)合傳出。彎管會(huì)合傳出。彎管C可伸縮，可伸縮，當(dāng)它漸漸伸長(zhǎng)時(shí)，從喇叭口發(fā)出的聲音周期性地增強(qiáng)當(dāng)它漸漸伸長(zhǎng)時(shí)，從喇叭口發(fā)出的聲音周期性地增強(qiáng)或減弱。若或減弱。若C管每伸長(zhǎng)管每伸長(zhǎng)8cm聲音減弱一次，求此聲波聲音減弱一次，求此聲波的頻率的頻率( (

19、空氣中聲速為空氣中聲速為340m/s) )。 解：解：DCA與與DBA兩路聲波干兩路聲波干涉減弱條件：涉減弱條件：2) 12 (12lkrr2 1) 1(22212lkxrrxlx2(Hz)21250802340.lu例：例：AB 為同一介質(zhì)中兩相干波源。其振幅皆為為同一介質(zhì)中兩相干波源。其振幅皆為5cm，頻率皆為頻率皆為100Hz，A為波峰時(shí)，為波峰時(shí)，B為波谷。設(shè)波速為為波谷。設(shè)波速為10m/s，寫(xiě)出由，寫(xiě)出由AB發(fā)出的兩列波傳到發(fā)出的兩列波傳到P的干涉結(jié)果。的干涉結(jié)果。解：解：15m20mABPm25BPm10. 0lurAB2)(設(shè)：設(shè)： BA021AAA201APBPr7.7 7.7

20、 駐波駐波7.7.1 7.7.1 駐波的產(chǎn)生駐波的產(chǎn)生 振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線(xiàn)上沿波，在同一直線(xiàn)上沿相反方向相反方向傳播時(shí)疊加而形傳播時(shí)疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。txAl2cos2cos221yyy)(2cos)(2cosllxtAxtA7.7.2 7.7.2 駐波的方程駐波的方程)/(2cos)/(2cos21llxtAyxtAytxAyl2cos2cos2 駐波方程：駐波方程：1 1).).振幅隨振幅隨 x 而異，與時(shí)間無(wú)關(guān)。而異，與時(shí)間無(wú)關(guān)。012coslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2

21、 , 1 , 0)21(2kkxl012coslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2 , 1 , 0)21(2kkxl0, 1 , 0;2)21(2, 1 , 0;2minmaxAkkAAkkxll波節(jié)波節(jié)波腹波腹txAyl2cos2cos2lx2cos,44, 0llxtxAy2cos2cos2)2(cos2cos2txAyl,434, 0llxlx2cosxyo2l2l4lx為為波節(jié)波節(jié)例例2 2) )相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)同相位，任一波節(jié)兩側(cè)相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)同相位，任一波節(jié)兩側(cè)振動(dòng)相位相反，在振動(dòng)相位相反，在波節(jié)波節(jié)處產(chǎn)處產(chǎn)生生 的的相位躍變。相位躍變。7.7.3 7.7.3

22、半波損失半波損失 當(dāng)波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，被反當(dāng)波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，被反射到波疏介質(zhì)時(shí)形成波節(jié)。入射波與反射波在此射到波疏介質(zhì)時(shí)形成波節(jié)。入射波與反射波在此處的相位處的相位時(shí)時(shí)相反時(shí)時(shí)相反，即反射波在分界處產(chǎn)，即反射波在分界處產(chǎn)生生 的相的相位躍變，相當(dāng)于出現(xiàn)了半個(gè)波長(zhǎng)的波程差。位躍變，相當(dāng)于出現(xiàn)了半個(gè)波長(zhǎng)的波程差。 當(dāng)波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反當(dāng)波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反射到波密介質(zhì)時(shí)形成波腹。入射波與反射波在此射到波密介質(zhì)時(shí)形成波腹。入射波與反射波在此處的相位處的相位時(shí)時(shí)相同時(shí)時(shí)相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生相，即反射波在分界處不產(chǎn)生相位躍變。位躍變。21ll222ll233ll41ll432ll453ll, 2 , 12nnlnl, 2 , 12)21(nnlnl7.7.4 7.7.4 弦線(xiàn)振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式弦線(xiàn)振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式, 2 , 1;2nnll解：解：弦兩端固定為弦兩端固定