對張正友標定的理解

1、張正友標定算法解讀一直以來想寫篇相機標定方面的東西，最近組會上也要講標定方面東西，所以順便寫了。無論是OpenCVS是matlab標定箱，都是以張正友棋盤標定算法為核心實現(xiàn)的,這篇PAMI的文章<<AFlexibleNewTechniqueforCameraCalibration>>影響力極大，張正友是zju的機械系出身，貌似現(xiàn)在是微軟的終身教授了，有點牛的。我就簡單的介紹下算法的核心原理，公式的推理可能有點多。一基本問題描述：空間平面的三維點與相機平面二維點的映射假設(shè)空間平面中三維點：M=X,V.ZJj（齊次坐標，世界坐標系）相機平面二維點：（齊次坐標，相機坐標系）那

2、么空間中的點是如何映射到相機平面上去呢？我們用一個等式來表示兩者之問關(guān)系：仆7國sm=ARt|M,withA=0i3期,00（1）注：A為相機內(nèi)參矩陣，R,t分別為旋轉(zhuǎn)和平移矩陣，s為一個放縮因子標量。我們把等式（1）再簡化下：=HMwithH=A|r1門tk因為張正友算法選取的是平面標定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。H就是我們常說的單應(yīng)性矩陣，在這里描述的是空間中平面三維點和相機平面二維點之間的關(guān)系。因為相機平面中點的坐標可以通過圖像處理的方式（哈里斯角點，再基于梯度搜索的方式精確控制點位置）獲取，而空間平面中三維點可以通過事先做好的棋盤獲取。所以也就是說每張圖片都可以計算

3、出一個H矩陣。二內(nèi)參限制我們把H矩陣（3*3）寫成3個列向量形式，那么我們把H矩陣又可寫成：hih?%二四口r.t|注:lamda是個放縮因子標量，也是s的倒數(shù)。那么現(xiàn)在我們要用一個關(guān)鍵性的條件：ri和r2標準正交正交:h-AJAJhj=0單位向量（模相等）：(4)kiArA11,=hoAsAi>(5)這個兩個等式是非常優(yōu)美的，因為它完美的與絕對二次曲線理論聯(lián)系起來了，這里就不展開了。三相機內(nèi)參的求解我們令：Bu61?B=AtA_1=Bi?RnUl：|西（6）我們可知B矩陣是個對稱矩陣，所以可以寫成一個6維向量形式:b二|£?ii,Viia,Ba£?u,口密“卻我們把

4、H矩陣的列向量形式為：h,=化那么根據(jù)等式（8）我們把等式（4）改寫成:hfBh；=vb(9)huhfl4-兒i%】向2順立+八仆加h得h驟+h通八用星曲(10)最后根據(jù)內(nèi)參數(shù)限制條件（等式（4）（5）:(11)(12)V矩陣是2*6矩陣，也就是說每張照片可建立起兩個方程組，6個未知數(shù)。根據(jù)線性代數(shù)知識可知，解6個未知數(shù)需至少6個方程組，所以也就是說我們至少需要三張照片就求解未知數(shù)。b矩陣的解出，相機內(nèi)參矩陣A也就求解出，從而每張圖像的R,t也就根據(jù)等式（1）迎刃而解。四參數(shù)優(yōu)化因為初始的參數(shù)已經(jīng)求解，所以我們將每張圖像的控制點根據(jù)求解的參數(shù)重投影回三維空間，最小化與真實值的差異，其實就是建立非線性最小化模型：nm匯£Uniij-m(A(13)