導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系

1、導(dǎo)體表面電荷分布與導(dǎo)體表面曲率的關(guān)系(1)靜電平衡條件下導(dǎo)體表面的電荷分布是一個(gè)復(fù)雜的靜電學(xué)問題。它不僅與導(dǎo)體表面的曲率有關(guān)。而且與導(dǎo)體本身的形狀、周圍導(dǎo)體和介質(zhì)的分布及帶電狀態(tài)有關(guān)。一般情況下對孤立導(dǎo)體它也不是與曲率有簡單正比關(guān)系。下面我們通過帶電旋轉(zhuǎn)橢球形導(dǎo)體的例子加以說明。橢球面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是比較簡單的，當(dāng)它的三個(gè)半軸相等時(shí)，它就變成球；細(xì)長的橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球就相當(dāng)于細(xì)長棒；細(xì)長橢圓繞短鈾旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的橢球就相當(dāng)于平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無論什么形狀的導(dǎo)體決定電荷平衡分布的唯一條件是導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)的場強(qiáng)必須為零。凡是能滿足這個(gè)條件的分布，便是實(shí)際存在的分布。

2、根據(jù)這個(gè)條件，以及靜電場的基本性質(zhì)求解橢球上的電荷分布，是一個(gè)典型的電磁學(xué)問題要用到較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具，本書不嚴(yán)格處理這一問題。這里用一個(gè)不夠嚴(yán)格的方法導(dǎo)出其結(jié)果。假沒我們考慮的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球如圖9.8所示，它有兩個(gè)焦點(diǎn)O和Q。表面電荷的分布使橢球內(nèi)任一點(diǎn)的合場強(qiáng)為零。一般說來，這是表面所有的電荷綜合抵消的結(jié)果。但是對于焦點(diǎn)O和Q,很巧，這種抵消是一對一的。過焦點(diǎn)O作一個(gè)小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面dS和dS2,嚴(yán)格的理論證明，dS上的電荷在O產(chǎn)生的場強(qiáng)與O上的電荷在O產(chǎn)生的場強(qiáng)恰恰抵消，因此整個(gè)橢球面上的電荷在O產(chǎn)生的場強(qiáng)之和為零。循著這一途徑，便可找出表面電荷分布的規(guī)律。設(shè)dS處電荷

3、密度為(ti,距O的距離為ri,dS上的電量dqi=dS山，這部分電荷在O產(chǎn)生的場強(qiáng)dEi應(yīng)為：而dS=dS/cos11oai是ri與dS2表面法線ni間的夾角。同時(shí)dS=4您，dQi是dSi對O所張的立體角。因此有：用同樣的方法，可以得到dS2在O產(chǎn)生的場強(qiáng)dE2為:a2是d”與dS2表面法線n2間的夾角。dS2對O所張的立體角仍然為dQio由于在焦點(diǎn)上對應(yīng)電荷產(chǎn)生的場相互抵消，故有dEi=dE,從而得到:8S%COS%,也就是說：o-0c這就是橢球表面電荷分布的具體規(guī)律。運(yùn)用微積分和基本的矢量分析，由焦點(diǎn)為原點(diǎn)的橢圓方程：r=-l+5cospcosa1+伊(1+5。25cos這里P是焦點(diǎn)參

4、數(shù)，6是橢圓偏心率。可以求出r,小處的cosa為:從而可以求出任何兩點(diǎn)(即小1和小2)的表面電荷密度之比圖9.9中，如在橢圓最尖銳的一端A,(M=0,cosaa=1。在最平的一點(diǎn)B,cos=-=-8cosas=h?=-f=fa，可見與忒-5。而在a與b之間的其它的點(diǎn)，cosa的值介于1與J匚尹之間，電荷的面密度是逐漸由1向4一相過渡的。當(dāng)6趨向于1,橢球逐漸向細(xì)長桿過渡；當(dāng)6很接近于1時(shí)，焦點(diǎn)密企常一O和Q趨向兩瑞，橢球上很大一部分面積的2,因而cosa-0,故電荷分布集中于桿的兩端很小的區(qū)域內(nèi)，桿身絕大部分基本上沒有電荷分布。搞清楚了橢球上電荷分布的具體規(guī)律以后，再來看面電荷密度與表面曲率的

5、關(guān)系。定性地看一下，可以說，表面曲率大的地方，a角小，cosa的值大；表面曲率小的地方，a角大，cosa的值小。因此曲率大的地方電荷密度大于曲率小的地方，這是正確的。但(T是不是一定與表面曲率K成正比呢？這就要用數(shù)學(xué)方法把橢圓各處的曲率求出來。按平面曲線曲率的定義:dacosodcrK-=dJrddl是橢圓上的一段弧長，經(jīng)過計(jì)算可知K并不簡單地與cosa成正比，因此，a也不是簡單地與K成正比，它們之間是一個(gè)很復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。曲率大的地方電荷密度大只能說是一個(gè)大致的、定性的規(guī)律，不能簡單地依據(jù)兩處的曲率來比較它們的電荷密度。(2)狐立導(dǎo)體表面能否出現(xiàn)電荷異號面一個(gè)孤立導(dǎo)體的表面會不會出現(xiàn)異號的面電荷分布呢？例如，如圖9.10所示導(dǎo)體中凹陷進(jìn)去的地方的曲率為負(fù)值，會不會出現(xiàn)異號面荷分布。結(jié)論是不可能。對此可以借助電力線用反證法證明。設(shè)圖中導(dǎo)體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現(xiàn)負(fù)面電荷分布，則該處要會聚電力線。會聚于凹陷處的電力線只有兩個(gè)可能的來源：一種可能是來自無窮遠(yuǎn)處，一種可能來自導(dǎo)體上的正電荷。假設(shè)無窮遠(yuǎn)處為零電勢點(diǎn)，對來自無窮遠(yuǎn)處的電力線，則沿此電力線求場強(qiáng)的線積分會得出導(dǎo)體的電勢是負(fù)值，這與沿導(dǎo)體表面帶正電處發(fā)出的電力線到無窮遠(yuǎn)處的線積分應(yīng)得導(dǎo)體的電勢是正值的結(jié)論產(chǎn)生矛盾(靜電