概率論第一章1-2

1、12 nP eP eP e1 , 互不相容nkkkSee121 ,nP SP eP eP e4 4 古典概型古典概型檢驗：古典概型檢驗：古典概型若隨機試驗若隨機試驗E滿足滿足： 樣本空間樣本空間S 只含有有限個元素只含有有限個元素: : S=e1 1, , en n 試驗中，每個基本事件發(fā)生是等可能的試驗中，每個基本事件發(fā)生是等可能的. .1 ,1,2, .iP einn , 若事件包含個基本事件 即Ak 12kiiiAeee 則有 12 kiiiP APePePe kn 包含的基本事件數(shù)中的基本事件總數(shù)AS基本計數(shù)原理基本計數(shù)原理1. 加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m種方式，種

2、方式，第一種方式有第一種方式有n1種方法，種方法，第二種方式有第二種方式有n2種方法種方法,； 第第m種方式有種方式有nm種方法種方法,無論通過哪種方法都無論通過哪種方法都可以完成這件事，可以完成這件事，則完成這件事總共則完成這件事總共有有n1 + n2 + + nm 種方法種方法 .例如：從北京到上海可以坐火車也可以坐飛機，如果每日例如：從北京到上海可以坐火車也可以坐飛機，如果每日 火車有火車有3個班個班北京北京 上海上海 飛機有飛機有2個班次個班次則此人有則此人有3+2=5種方法從北京到上海。種方法從北京到上海。則完成這件事共有則完成這件事共有種不同的方法種不同的方法 .mnnn212.

3、乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有m個步驟，個步驟，第一個步驟有第一個步驟有n1種方法，種方法，第二個步驟有第二個步驟有n2種方法種方法,； 第第m個步驟有個步驟有nm種方法種方法,必須通過每一步驟必須通過每一步驟,才才算完成這件事，算完成這件事，例如例如:有一位女士有二件上衣和三條裙子有一位女士有二件上衣和三條裙子則該女士可以有幾種打扮方式。則該女士可以有幾種打扮方式。紅白蘭綠黑23=6種打扮種打扮3 3 有重復(fù)排列有重復(fù)排列 從含有從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k次，每次取次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)

4、果排成一列，共有共有nk種排列方式種排列方式. .nnnn12k4 4 無重復(fù)排列無重復(fù)排列 從含有從含有n個元素的集合中隨機抽取個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有排列方式共有排列方式: :n n-1-1n-2-2n- -k+1+112kk = n時稱全排列時稱全排列n個不同元素中任取個不同元素中任取k個元素的排列數(shù)個元素的排列數(shù)!(1)(2)(1)()!kknnnAPn nnnknk(1)(2)2 1! nnnnAPn nnn5 組合：組合：從從n個不同元素中任取個不同元素中任取k個元素并成一組個元素并

5、成一組（不考慮其間順序）稱為一個組合，此種組合總數(shù)為：（不考慮其間順序）稱為一個組合，此種組合總數(shù)為：l排列與組合關(guān)系式排列與組合關(guān)系式：!()! !kknnPnCknkk!kkknnnkknnAPCkPCk0011(1)2nkn knnnnnnnCCCknCCC6 分組分組：n個不同元素分為個不同元素分為k組，各組元素組，各組元素數(shù)目分別為數(shù)目分別為r1,r2,rk的分法總數(shù)為的分法總數(shù)為r1個個元素元素r2個個元素元素rk個個元素元素n個個元素元素因為因為1212!,! !kknrrrnr rr12112! !kkrrrnn rrknCCCr rr 例例 1 一口袋裝有一口袋裝有 6 只球

6、，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只紅只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只。考慮兩球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只。考慮兩種取球方式：種取球方式： (a)放回抽樣放回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，回袋中， 攪勻后再取一球。攪勻后再取一球。 (b)不放回抽樣不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球次從剩余的球 中再取一球。中再取一球。分別就上面兩種方式求：分別就上面兩種方式求： 1）取到的兩只都是白球的概率；）取到的兩只都是白球的概率； 2）取到的兩只球顏色相同的概率；）取到的兩只球顏色相同的概率

7、； 3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。 取球問題取球問題說明：取球問題中，球，產(chǎn)品，人等一般都認為是可辨的。說明：取球問題中，球，產(chǎn)品，人等一般都認為是可辨的。 解：解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。從袋中取兩球，每一種取法就是一個基本事件。 設(shè)設(shè) A= “ 取到的兩只都是白球取到的兩只都是白球 ”， B= “ 取到的兩只球顏色相同取到的兩只球顏色相同 ”， C= “ 取到的兩只球中至少有一只是白球取到的兩只球中至少有一只是白球”。 (a)有放回抽樣有放回抽樣:樣本空間中樣本點個數(shù)樣本空間中樣本點個數(shù) n=66=36 （是可重復(fù)排列）

8、（是可重復(fù)排列）2244( )0.44469P A222425( )0.55669P B2228( )1( )10.88969 P CP C22244 2( )()0.66766（ ）恰個白P CP AP24 22 44()69應(yīng)恰一次白 P (b) 無放回抽樣無放回抽樣:法一法一(排列）排列）：樣本空間：樣本空間S中樣本點的個數(shù)是中樣本點的個數(shù)是無重復(fù)排列無重復(fù)排列266 530nP24264 32( )6 55PP AP222627( )515PP BP22261141111515（ ）（ ） PP CP CP24 22 41456 515如果：（ ） （ ） （恰個白） P CP AP

9、(b) 無放回抽取無放回抽取: （所求事件中沒有順序的要求）（所求事件中沒有順序的要求）法二法二(組合）組合）：樣本空間：樣本空間S中樣本點的個數(shù)是中樣本點的個數(shù)是2615nC24264 32( )2 155CP AC222627( )515CP BC22261141111515（ ）（ ） CP CP CC22 41451515如果：（ ） （ ） （恰個白）P CP AP 例例 2 一口袋裝有一口袋裝有 6 只球，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只紅只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只?？紤]兩球。從袋中取球兩次，每次隨機的取一只?？紤]兩種取球方式：種取球方式： (a)放回抽樣放

10、回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，回袋中， 攪勻后再取一球。攪勻后再取一球。 (b)不放回抽樣不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球次從剩余的球 中再取一球。中再取一球。分別就上面兩種方式求：分別就上面兩種方式求： 第一次取紅球，第二次取白球的概率第一次取紅球，第二次取白球的概率 D= 第一次取紅球，第二次取白球第一次取紅球，第二次取白球 解解:樣本空間中樣本點個數(shù)樣本空間中樣本點個數(shù) n=66=36 （是可重復(fù)排列）（是可重復(fù)排列）(a)有放回抽樣有放回抽樣:D= 第一次取紅球，第二次取白球第一次取紅球，第二

11、次取白球(b)無無放回抽樣放回抽樣:(排列）：排列）：樣本空間樣本空間S中樣本點的個數(shù)是中樣本點的個數(shù)是無重復(fù)排列無重復(fù)排列22 42()69P D266 530nP2 44()3015P D注：試驗不同樣本空間不同，注：試驗不同樣本空間不同，A中所含樣本中所含樣本 點數(shù)不同。點數(shù)不同。 例例3 設(shè)有設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有件產(chǎn)品，其中有 D 件次品，今從中任件次品，今從中任取取 n 件，問其中恰有件，問其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少件次品的概率是多少?（不放回抽樣和放回抽樣兩種方式（不放回抽樣和放回抽樣兩種方式)又又 在在 D 件次品中取件次品中取 k 件，所有可能的取法有

12、件，所有可能的取法有 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 所有可能的取法有所有可能的取法有 解：解：在在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽樣不放回抽樣1）由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品中取件產(chǎn)品中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 種，nNC種，kDC種，n kN DC種，kn kDNDC C 于是所求的概率為：于是所求的概率為：此式即為此式即為超幾何分布超幾何分布的概率公式的概率公式。2） 有放回抽樣有放回抽樣從從N件產(chǎn)品中有放回地抽取件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進行排列，可件產(chǎn)品進行排列，可能

13、的排列數(shù)為能的排列數(shù)為 個，個，(樣本總數(shù)）樣本總數(shù)） 。而在而在 N 件產(chǎn)品件產(chǎn)品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的排列數(shù)共有的排列數(shù)共有 于是所求的概率為：于是所求的概率為：此式即為此式即為二項分布二項分布的的概率公式。概率公式。kn kDNDnNC CpCnN()() (1)kkn kkkn knnnC DNDDDPCNNN()kkn knC DND例例4 袋中有袋中有a只白球和只白球和b只紅球?，F(xiàn)在把球一只只隨只紅球?，F(xiàn)在把球一只只隨機的取出來不放回，機的取出來不放回， 求第求第k 次取出次取出的一只球是白球的概率的一只球是白球的概率解法解法1：E：把：把a只白

14、球和只白球和b只紅球都編上不同的號碼，只紅球都編上不同的號碼，把取出的球依次放在把取出的球依次放在a+b個位置上。（如圖）個位置上。（如圖）1ka+bS中基本事件總數(shù)中基本事件總數(shù):（a+b）?。?！A包含的基本事件個數(shù)，包含的基本事件個數(shù)，此結(jié)果與此結(jié)果與k無關(guān)，無關(guān)，這與日常生活的經(jīng)驗是一致的。這與日常生活的經(jīng)驗是一致的。(1)kab(1)!()!aabaPabab(1)!aab解法解法2：把把a只白球和只白球和b只紅球編上不同的號碼，只紅球編上不同的號碼，我們只考慮前我們只考慮前k只球。即把取出的前只球。即把取出的前k只球依次放只球依次放在在k個位置上，如圖個位置上，如圖kS中基本事件中基

15、本事件 總數(shù)總數(shù):A包含的基本事件個數(shù)包含的基本事件個數(shù):ka bP11 ka baP11 ka bka baPaPPab3、試驗、試驗E是從是從n件產(chǎn)品中任取件產(chǎn)品中任取m件，可視為一次件，可視為一次從中取從中取m件，可用組合計數(shù)。也可看作每次取一件，件，可用組合計數(shù)。也可看作每次取一件，取后不放回連取取后不放回連取m次?？捎门帕杏洈?shù)，次。可用排列記數(shù)，要由所求問題而定。要由所求問題而定。小結(jié)小結(jié)1、試驗、試驗E是無放回抽取，是無放回抽取，當(dāng)事件當(dāng)事件A無次序要求可用組合，也可用排列計數(shù)，例無次序要求可用組合，也可用排列計數(shù)，例1(b)當(dāng)當(dāng)A有次序要求時，必須要用排列計數(shù)。（例有次序要求時，

16、必須要用排列計數(shù)。（例2）2、試驗、試驗E是有放回抽取是有放回抽取，可重復(fù)排列問題，例，可重復(fù)排列問題，例1，2，34、古典概率、古典概率 ，其分子與分母的計數(shù)方法要一致。，其分子與分母的計數(shù)方法要一致。 例例 1 將將 m 只球（可分辨）隨機的放入只球（可分辨）隨機的放入 N (N m) 個個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的設(shè)盒子的容量不限）。容量不限）。解：解： 將將 m 只球放入只球放入 N 個盒子中去個盒子中去, 共有共有而每個盒子中至多放一只球而每個盒子中至多放一只球, 共有共有分球入盒問題分球入盒問題,種放法nNNNN(1)(1

17、),種放法mNNNNmP(1)(1).故mNmmPNNNnpNN例例2、將將n只球隨機地放入只球隨機地放入N（ N n）個盒子中去）個盒子中去（設(shè)盒子的容量不限），試求下列事件的概率。（設(shè)盒子的容量不限），試求下列事件的概率。A=某指定的一個盒子中沒有球某指定的一個盒子中沒有球B=某指定的某指定的n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球C=恰有恰有n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球D=某指定的一個盒子中恰有某指定的一個盒子中恰有m個球個球(mn)解解 把把n個球隨機地分配到個球隨機地分配到N個盒子中去個盒子中去(nN),基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為:事件事件A：指定的盒子中不能放球，因此，：

18、指定的盒子中不能放球，因此， n個球中的個球中的每一個球可以并且只可以放入其余的每一個球可以并且只可以放入其余的N-1個盒子中。個盒子中?？偣灿锌偣灿?種放法。因此種放法。因此 nN)1( ,種放法nNNNN(1)( )nnNP AN事件事件B：指定的：指定的n個盒子中，每個盒子中各放一球，個盒子中，每個盒子中各放一球，共有共有n!種放法，因此種放法，因此 事件事件C：恰有：恰有n個盒子，其中各有一球，即個盒子，其中各有一球，即N個盒子個盒子中任選出中任選出n個，選取的種數(shù)為個，選取的種數(shù)為在這在這n個盒子中各分配一個球，個盒子中各分配一個球，n個盒中各有個盒中各有1球球(同上同上)，n!種放

19、法；事件種放法；事件C的樣本點總數(shù)為的樣本點總數(shù)為事件事件D：指定的一個盒子中，恰好有：指定的一個盒子中，恰好有m個球，這個球，這m個球可從個球可從n個個球中任意選取，共有球中任意選取，共有Cnm種選法，而其余種選法，而其余n- -m個球可以任意分個球可以任意分配到其余的配到其余的N-1-1個盒子中去，共有個盒子中去，共有( (N-1)-1)n-m種，所以事件種，所以事件D所所包含的樣本點總數(shù)為包含的樣本點總數(shù)為Cnm( (N-1)-1)n-m!( ) nnP BN!( )()nnNNnnCnPP CNN(1)11()(1) mn mmn mmnnnCNP DCNNNnNC!nNCn分球入盒問

20、題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以分球入盒問題，或稱球在盒中的分布問題。有些實際問題可以歸結(jié)為分球入盒問題，只是須分清問題中的歸結(jié)為分球入盒問題，只是須分清問題中的“球球”與與“盒盒”，不可弄錯。不可弄錯。(1)(1)生日問題：生日問題：n n個人的生日的可能情況（個人的生日的可能情況（每個人生日是每個人生日是365天之天之一）一），相當(dāng)于，相當(dāng)于n n個球放入個球放入N=365N=365個盒子中的可能情況個盒子中的可能情況( (設(shè)一年設(shè)一年365365天天) )；(2)(2)旅客下車問題旅客下車問題( (電梯問題電梯問題) )：一列火車中有：一列火車中有n n名旅客，它在名旅客，它

21、在N N個個站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當(dāng)于站上都停車，旅客下車的各種可能場合，相當(dāng)于n n個球分到個球分到N N個個盒子：旅客：盒子：旅客：“球球”，站：，站：“盒子盒子”；(3)(3)住房分配問題：住房分配問題：n n個人被分配到個人被分配到N N個房間中；個房間中；(4)(4)印刷錯誤問題：印刷錯誤問題：n n個印刷錯誤可能出現(xiàn)在一本具有個印刷錯誤可能出現(xiàn)在一本具有N N頁書的任頁書的任何一頁，錯誤何一頁，錯誤球，頁球，頁盒子。盒子。 （5）有）有n封信隨機的投放在封信隨機的投放在N個信筒中（筒內(nèi)信數(shù)不限）；個信筒中（筒內(nèi)信數(shù)不限）； 設(shè)每個人在一年設(shè)每個人在一年( (按按36

22、5365天計天計) )內(nèi)每天出生的可內(nèi)每天出生的可能性都相同能性都相同, , 相當(dāng)于相當(dāng)于n個球放入個球放入N=365個盒子中個盒子中, ,則則他們生日各不相同的概率（他們生日各不相同的概率（恰有恰有n個盒子中各有一個個盒子中各有一個球球）為）為 于是于是, , n n個人中至少有兩人生日相同的概率為個人中至少有兩人生日相同的概率為 例例3(生日問題生日問題): 某人群有某人群有n個人，他們中至少有個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？兩人生日相同的概率有多大？!( )()nnNNnnCnPP CNN1nNnPN 人數(shù)人數(shù) 至少有兩人同生日的概率至少有兩人同生日的概率 20 0.411

23、21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 例例4、將將n只球（可分辨）隨機地放入只球（可分辨）隨機地放入N（ N n）個盒子）個盒子中去（設(shè)盒子至多容納一個球），試求下列事件的概率。中去（設(shè)盒子至多容納一個球），試求下列事件的概率。B=某指定的某指定的n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球C=恰有恰有n個盒子中各有一個球個盒子中各有一個球解解 把把n個球隨機地分配到個球隨機地分配到N個盒子中去個盒子中去(nN),基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為:事件事件B：指定的：指定的n個盒子中，每個盒子中各放

24、一球，個盒子中，每個盒子中各放一球，共有共有n!種放法，因此種放法，因此 事件事件C：恰有：恰有n個盒子，其中各有一球，即個盒子，其中各有一球，即N個盒個盒子子中任選出中任選出n個，選取的種數(shù)為個，選取的種數(shù)為在這在這n個盒子中各分配一個球，個盒子中各分配一個球，n個盒中各有個盒中各有1球球(同上同上)，n!種放法；事件種放法；事件C的樣本點總數(shù)為的樣本點總數(shù)為,)1()1(種放法種放法nNPnNNN !( ) nNnP BPnNC!nNCn( )1P C 例例 1 將將 15 名新生隨機地平均分配到名新生隨機地平均分配到 3 個班中去，這個班中去，這 15 名新生中有名新生中有 3 名是優(yōu)秀

25、生。問：名是優(yōu)秀生。問： (1) 每個班各分配到一每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的概率是多少？名優(yōu)秀生的概率是多少？ (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平均分配到 3 個班級中去的分法總數(shù)為：個班級中去的分法總數(shù)為：,!5!5!5!15!512345!5678910!51112131415 分組問題分組問題55515105CCC(1)每個班各分配到一每個班各分配到一 名優(yōu)秀生名優(yōu)秀生=A：將：將 3 名優(yōu)名優(yōu)秀生分配到秀生分配到 3 個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀個班級，使每個班級都有一名優(yōu)秀生的分法共有生的分

26、法共有 3! 種。其余種。其余 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 個班級中的分法共有個班級中的分法共有每個班各分配到一每個班各分配到一 名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：于是所求的概率為：于是所求的概率為：444128412!/ (4!4!4!)種，CCC3! 12!/(4!4!4!)3! 12 !15 !3! 12 ! 4!4!4!25( )/0.2747.4!4!4!5!5!5!15 ! 5!5!5!91p A三名優(yōu)秀生分配三名優(yōu)秀生分配在同一班級內(nèi)在同一班級內(nèi)其余其余12名新生，一個班級分名新生，一個班級分2名，名，另外兩班各分另外兩班各分5名名(2) 3 名優(yōu)秀生分

27、配到同一個班級的概率為：名優(yōu)秀生分配到同一個班級的概率為：212 !15 !3 12 ! 5!63/0.0659.2!5!5! 5!5!5!2! 15 !91p25512105CCC例例: : 某公司生產(chǎn)的某公司生產(chǎn)的1515件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, ,有有1212件是正品件是正品,3,3件是次件是次品?，F(xiàn)將它們隨機地分裝在品?，F(xiàn)將它們隨機地分裝在3 3個箱中個箱中, ,每箱裝每箱裝5 5件，件，設(shè)設(shè):A=:A=每箱中恰有一件次品每箱中恰有一件次品, B=, B=三件次品都在同一三件次品都在同一箱中箱中 。求求: P(A): P(A)和和P(B)P(B)。例例 3030名學(xué)生中有名學(xué)生中有3 3名運

28、動員，將這名運動員，將這3030名學(xué)生平均分成名學(xué)生平均分成3 3組，求：組，求：（1 1）每組有一名運動員的概率；）每組有一名運動員的概率；（2 2）3 3名運動員集中在一個組的概率。名運動員集中在一個組的概率。例例1 在在12000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問問1)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被6整除的概率整除的概率(2)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被8整除的概率整除的概率(3)求取到的數(shù)既不能被求取到的數(shù)既不能被6整除也不能被整除也不能被8整除的概率整除的概率 設(shè)設(shè) A 為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被6整除整除”, B為事件為事件“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被8整除整除”，解解隨機取數(shù)問題隨機取數(shù)問題( )().P CP AB2000333334,6因為333( ),2000所以P A2000250,8由于250( ).2000故得P B()()P ABP AB1() P AB1 ( )( )(). P AP BP AB于是所求概率為于是所求概率為20008384,24由于83().2000得P AB()P AB1 (