空間直角坐標(biāo)系與空間向量典型例題

1、實(shí)用文案文案大全空間直角坐標(biāo)系與空間向量、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法 構(gòu)建原則: 遵循對(duì)稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系.類型舉例如下：（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1 已知直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2 ,底面ABCD是直角梯形，/A為直角，AB / CD , AB = 4, AD = 2 , DC = i ,求異面直線 BC i與DC所成角的余弦 值.解析：如圖i,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 DA、DC、DDi所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 Ci(O, i,2)>

2、B(2, 4,0),. BC* = (-2,3,2), CD = (0,10).設(shè)BC*與CD所成的角為6,BCi CDi7Ji/ BCCi= 一，3（二）利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系 例2 如圖2,在三棱柱 ABCAiBiCi中，AB，側(cè)面BBiCiC, E為棱CCi上異于C、Ci 的一點(diǎn)，EA ±EBi .已知 AB =72, BBi = 2, BC = i , / BCCi=-.求二3面角A - EBi - Ai的平面角的正切值.解析：如圖2,以B為原點(diǎn)，分別以 BBi、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面 ABi的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于 BC = i, B

3、Bi=2, AB= 72,在三棱柱 ABC AiBiCi中，有B(0, 0, 0)、A(0, 0, 72)、B1（。，2,°）、c,0、石3 ' 1百'C1 ,-,0 .設(shè) E , a,0 且12 2l 2由 EA ± EB1 ,得 EAEB1=0,，a a.團(tuán)匚立,2a ,0V 2=3 a(a -2)42 c 3 c=a 2a+-=0,4口 r1 一即a =或a =23(舍去E侔L2l 2 2T由已知有EA _L EB1 , 4 A _LEB1，故二面角AEBl A1的平面角日的大小為向量eX與wA的夾角.因京= BA = (0,0,物，EA =呼叫故 c

4、os1 二E，即tan 2（三）利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3 如圖3,在四棱錐 VABCD中，底面 ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面 VAD，底面ABCD .72圖3（1）證明AB，平面VAD ；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.解析：（1 ）取AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖 3所示的空間直角坐標(biāo)系.0)、D(- 1,0,0)、B(1,2,0)、V(0,0,73),. AB =( o , 2,0),VA= (1, 0, - V3).由AB1VA = (0,2,0出1,0,一 點(diǎn))=0 ,得AB ± VA.又AB LAD,從而 AB與平面 VAD內(nèi)兩條相交

5、直線 VA、AD都垂直,AB，平面 VAD ；(2)設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則Ef,0,顯2 22 JEA3。2一直 i，EB/32 一2 2一L,DV = (1,0,V3) .EB晟聿2 一回I22)ji,o,V3)=0，EB ± DV .又EALDV,因此/ AEB是所求二面角的平面角. cos： EA,EBEA EB_、，,21故所求二面角的余弦值為 7(四)利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4 已知正四棱錐 V ABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 2a,高為h.(1)求/ DEB的余弦值；(2)若BEXVC ,求/ DEB的余弦值.解析：(1)如圖4,以V在平面

6、AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其圖4中 Ox/ BC, Oy/ AB,則由 AB = 2a, OV = h，有 B (a, a, 0)、 C (-a, a, 0)、 D (-a, -a, 0)、 V(0, 0, h)DE 二. . cos(BE,DE) =rBEDE-:BE DE-6a2 +h210a2 h2 '即cos/DEB_ -6a2 h210a2 h2(2)因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BEX VC,所以 BEVC = 0,即'-a!, -,- j(-a, a, h)=0, 22 2 一3a2 - - =0 ,h =42a .222這時(shí) cos . BE,DE_ 2

7、2- 6ah122-二10ah3引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算， 使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一.下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑.（五）利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱性可建立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個(gè)正四棱錐 P-ABCD與Q ABCD的高都為2, AB = 4 .（1 ）證明：PQL平面 ABCD ；（2 ）求異面直線 AQ與PB所成的角；（3）求點(diǎn)P到面QAD的距離.簡(jiǎn)解：（1

8、）略；（2）由題設(shè)知， ABCD是正方形，且 ACLBD .由（1） , PQ，平面 ABCD ,故可分別以直線 CA, DB, QP為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖 1）,易得AQ = (2 拒0, -2),PB =(0,2 我-2),cos : AQ,PB 石1所求異面直線所成的角是arccos-.3(3)由(2)知，點(diǎn) D(0, 2j2,0)AD =AD = (-2<2!, -2<2>,0) PQ=(0,0, -4)設(shè) n =x, y, z）是平面 QAD的一個(gè)n UAQ =0,、2x z = 0,法向量，則 得4取x=1n UAD =0,x y=0,得n =

9、 (1, 1, J2) .點(diǎn)P到平面QAD的距離-2,2.點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出.第（3）問也可用“等體積法”求距離.二、向量法解立體幾何（一）知識(shí)點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算»a ffe- fa,b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為 日，則數(shù)| a | '| b | cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a b ,即5 b =| a| | b | cose.其幾何意義是 5的長(zhǎng)度與b在3的方向上的投影的乘積.其坐標(biāo)運(yùn)算是：-I!-若 a =（xi, yi,zi）,b =（X2, y2, Z2）,則 a b =x1x2 +y1

10、y2 +Z|Z2 ； | a |= vxi2 +y：十乙2 ,| b |= v'X22 + '2 +Z22 ； a b =x1x2y1y 2 z1z2xzy1 y2Z1Z2cos ： a,b :222222x1 ” ，z1x2 ，y2 ，Z2（二）例題講解題型：求角度相關(guān)1 .異面直線m,n所成的角分別在直線 m,n上取定向量a,b,則異面直線 m,n所成的角日等于向量a,b所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），貝|J COSF = 1 a b |- |a| |b|2 .直線L與平面a所成的角一|AB n|在L上取定 AB ,求平面a的法向量n （如圖2所示），再求cos日=-=4I

11、 AB| |n|6為所求的角.r R 兀 則-=一23 .二面角方法一：構(gòu)造二面角 a 1 一 0的兩個(gè)半平面 a、口的法向量n1、n2 （都取向上的方n11 n2向，如圖3所示），則D若二面角a _| _P是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量, 一 、一, n1n2的夾角的補(bǔ)角，即 cos| ni | | n； |ni 若二面角a -l -P是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量 ni、n；的- 一ni n；夾角，即cos =|ni | |n2 |方法二：在二面角的棱 l上確定兩個(gè)點(diǎn) A、B,過A、B分別在平面a、P內(nèi)求出與l垂直的向量n1、n2 （如圖4所示），則

12、二面角a _| _P的大小等于向量 n1、n2-. n1 n2的夾角，即 cosu =-1 |ni | |n； |題型：求距離相關(guān)i.異面直線m、n的距離分別在直線 m、n上取定向量a,b,求與向量a、b都垂直的向量n,分別在m、n上各取一個(gè)定點(diǎn) A、B，則異面直線,| AB n|射影長(zhǎng)，即d =m、n的距離d等于AB在n上的|n|證明：設(shè)CD為公垂線段，取 CA = a, DBCD =CA AB BD.CD n =(CA AB BD) n.|CD n|=| AB n| AB n | .d 弓 CD | =|n I設(shè)直線m,n所成的角為9 ,顯然cos = |_a bL|a| |b|2.平面外

13、一點(diǎn)p到平面色的距離求平面«的法向量n ,在面內(nèi)任取一定點(diǎn) A ,點(diǎn)p到平面a的距離d等于AP在n上的射影長(zhǎng)，即I n|三、法向量例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角I設(shè)平面a的法向量為n= (x, y, 1),則直線AB和平面a所成的角。的正弦值為JIsin 0= cos( - 0)=|cos< AB , n >| =T T月，n2 是所求角。|AB*n|n|2、運(yùn)用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為n1,n2 ,則 n1,n2 或冗- n1, n2 是所求角。這時(shí)要借助圖形來判斷所求角為 銳角還是鈍角，來決定 必，叱 是所求，還是冗- 題型：求

14、空間距離1、求兩條異面直線間的距離設(shè)異面直線a、b的公共法向量為n = (x, y, z),在a、b上任取一點(diǎn) A、B,則異面直線 a、b的距離：d =AB - cos / BAA略證：如圖，EF為a、b的公垂線段,a'為過F與a平行的直線,在a、b上任取一點(diǎn) A、B ,過A作AA /EF ,交a于A ,則 AA? / n ,n> (或其補(bǔ)角)所以/ BAA =<.異面直線 a、b的距離d =AB - cos / BAA|AB*n|n|其中，n的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量a,b (或圖中的tE,BF),及n的定義得o o - - * a 4b解方程組可得n。 2、求點(diǎn)到面的距離.求A點(diǎn)到平面a的距離，設(shè)平面a的法向量法為 n = (x, y,1),在a內(nèi)任取一點(diǎn) B ,則A點(diǎn)到平面a的距離：T 4d=LAB| |n|n的坐標(biāo)由n與平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組(類似于前面所述，若方程組無解，則法向量與xoy平面平行，此時(shí)可改設(shè) n = (1,y,0),下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面a的距離