大學高等數(shù)學_12空間曲線及平面方程

1、 第七七章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影第四節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao機動 目錄 上頁

2、 下頁 返回 結束 zyxo二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時當bh2taxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222a

3、ayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求空間曲線 :)(tx)(ty)(tz)( t繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時的旋轉(zhuǎn)曲面方程 .解解:,)(, )(, )(1tttM任取點點 M1繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 轉(zhuǎn)過角度 后到點 , ),(zyxM則cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 這就是旋轉(zhuǎn)曲面滿足的參數(shù)方程 . 例如例如, 直線1xty tz2繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 , 得旋轉(zhuǎn)曲面方

4、程為4)(4222zyxxzoy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面 ( 即球面 ) 方程為 又如又如, xoz 面上的半圓周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz )0(200說明說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲

5、線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zyxC1o例如例如, ,在xoy 面上的投影曲線方程為002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 zxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域為:上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .機動 目錄 上頁 下頁

6、返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習 P324 題 1，2，7（展示空間圖形）P324 題1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3)zxyo oaoa222azx222ayx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P324 題2 (1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 yz2x3思考思考: :by 對平面交線情況如何?,3時當b交線情況如何?,3時當bP324 題2(2

7、)19422yx3y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P325 題 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P324 3，4，5，6, 8作業(yè)作業(yè)第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx備用題備用題求曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 1zyx解：解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 2yz 0 x,它與所給平面的機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第五節(jié)一、平面的點法式方

8、程平面的點法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 平面及其方程 第七七章 zyxo0Mn一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxM設一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 kji例例1.1.求過三點,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914z

9、yx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說明說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別特別, ,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0

10、 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁

11、下頁 返回 結束 特殊情形特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 求

12、通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy(P327 例4 , 自己練習) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 機動 目錄

13、 上頁 下頁 返回 結束 2特別有下列結論：特別有下列結論：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此有例例4. 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyB

14、xA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例5. 設222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解:設平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyzo0M例例6.解解: 設球心為求內(nèi)切于平面 x + y

15、+ z = 1 與三個坐標面所構成則它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM四面體的球面方程.從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0212121CCBB

16、AA212121CCBBAA2.平面與平面之間的關系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(1111CBAn 思考與練習思考與練習P330 題4 , 5, 8第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P330 2 , 6 , 7 , 9)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx備用題備用題求過點 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平

17、面的法向量為取所求平面的法向量 則所求平面方程為化簡得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第六節(jié)一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 空間直線及其方程 第七七章 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(0000zyxM2. 對稱式方程對稱式方程故有說明說明: 某些分母為零時, 其分子也理解為零

18、.mxx000yyxx設直線上的動點為 則),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程對稱式方程(也稱為點向式方程點向式方程)直線方程為s已知直線上一點),(0000zyxM),(zyxM例如, 當,0, 0時pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1 1.用對稱式及參數(shù)式表示直線解解:先在直線上找一點.043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,

19、得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: 先找直線上一點;再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2L1L二、線面間的位置關系二、線面間的位置關系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212

20、121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. . 求以下兩直線的夾角解解: 直線直線二直線夾角 的余弦為(參考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s20101

21、12kjis 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別有特別有:L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: 取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂

22、 ) 1,3,2(nn例例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關系線與線的關系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121c

23、osssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關系面與線間的關系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè)作業(yè)P335 3，4，5，7，9 P335 題2, 10習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習)1 ,2, 1(A,11231:1zyxLiL設直線解：解：,2上在因原點LO12:2zyxL相交,求此直線方程 .的方向向量為過 A 點及 的平2L面的法向量為則所求直線的方向向量方法方

24、法1 利用叉積. ),2, 1( isi, n,1nss所以OAsn2121112kjikji333一直線過點 且垂直于直線 又和直線備用題備用題nOA2L2s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設所求直線與的交點為512231zyx12000zyx0000,2yzyx待求直線的方向向量方法方法2 利用所求直線與L2 的交點 .即故所求直線方程為 2L),(000zyxB則有2L) 1 , 2 , 1 (Anss1333123kji)523(3kji),(000zyxB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 0) 1()2(2) 1(3000zyx78,716,78000zxy512231zyx0

25、000,2yzyx將代入上式 , 得由點法式得所求直線方程而) 1, 2, 1(000zyxAB)5,2,3(731L)715,76,79(AB2L) 1 , 2 , 1 (A),(000zyxB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 習題課一一、 內(nèi)容小結內(nèi)容小結 二、二、實實例分析例分析機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 空間解析幾何 第七七章 一一、內(nèi)容小結內(nèi)容小結 空間平面空間平面一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zy

26、x點0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點; 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 面與面的關系面與面的關系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:2. .線面之間的相互關系線面之間的相互關系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBx

27、A021nn021nn2121cosnnnn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關系線與線的關系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式：0CpBnAm面與線間的關系面與線間的關系直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機動 目錄 上頁 下頁 返回

28、 結束 3. 相關的幾個問題相關的幾個問題(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)點的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為(3) 點2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(000

29、0zyxML機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二二、實實例分析例分析例例1. 求與兩平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交線提示提示: 所求直線的方向向量可取為利用點向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點 (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21nnskji機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 241312zyx例例2. 求直線與平面062zyx的交點 . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點為（1，2，2）.tztytx2432t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 求過點( 2 , 1 ,

30、3 ) 且與直線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: 先求二直線交點 P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點),(7371372P最后利用兩點式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過已知點且垂直于已知直線, ) 1,2,3(P機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.提示提示：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 設一平面平行于已知直線0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的的方向余弦.提示提示: 已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量,513cos504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 417211