“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值

1、僅供參考“定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值所謂“定區(qū)間動(dòng)軸法”，就是將自變量所在區(qū)間a,b(或(a,b)標(biāo)在數(shù)軸上，無論該區(qū)間是 動(dòng)的還是靜的，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，都將其看作“靜止”的，然后分對(duì)稱軸X0Ma、aWxoWb、Xo>b三種情況進(jìn)行討論，特別地，如果二次函數(shù)圖象開口向上求區(qū)間最大值或二次函數(shù)圖象開口向下求區(qū)間最小值時(shí)，只需分X。<a二藝和xoa¥兩種情況進(jìn)行討論.這樣讓區(qū)間標(biāo)在數(shù)軸上不動(dòng)，而 22讓二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸移動(dòng)，分類方法非常明確、思路清晰、條理性強(qiáng)，這樣可做到不重不漏， 并且簡捷易行.1.條件中給出區(qū)間，直接采用 “定區(qū)間動(dòng)軸法”求區(qū)間最值例1已知f(x)=x

2、2+4x+3,xw R,函數(shù)g(t)、h(t)表示函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上的最小值，最大值，求g(t)、h(t)表達(dá)式.分析：此題屬于區(qū)間最值問題，結(jié)合圖形，將區(qū)間t,t+1在數(shù)軸上相對(duì)固定，讓對(duì)稱軸x = -2的區(qū)間t,t+1內(nèi)外移動(dòng)，即分成-2 <t ； t< -2< t+1 ； -2At+1三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合圖形便可輕松求出函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上的最小值.而只需分2 W t十(t+1)與_2 > t十(t+1)兩種情況 22討論便可求出f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值.解：由f(x)=x2+4x+3 = (x+2)2-1,知圖象關(guān)于x = -2

3、對(duì)稱，結(jié)合圖象知，當(dāng)2<t,即 t>2 時(shí)，g(t) = f (t) =t2+4t+3;而當(dāng) t02&t+1,即30t&-2時(shí)，g(t) = f(2)= A J，當(dāng) t+1c2,即 tc3時(shí)，g(t)= f(t+1)=t2+6t+8.t2 6t 8,t (-:,-3)g(t) =-1,t-3,-2.t2 +4t +3”(-2,y)h(t) = f(th(t) = f(t)當(dāng)20 t *(t +1) ,即 t>-5 時(shí), 22當(dāng) _2>39,即 t<-5 時(shí)， 22 5t 6t 8,t -,二) .h(t)=2 5 .t2 4t 3,t -(-:,-

4、)2評(píng)注：本題采用了 “定區(qū)間動(dòng)軸法”，分-2<t; tw_2&t+1; 2>t+1三種情況和2Wt+(t +1)； -2>t+(t+1)兩種情況進(jìn)行討論,使本來因分類討論帶來的繁瑣、思維混亂，變得脈絡(luò) 22清晰、思維流暢、條理性強(qiáng)，降低了分類討論中因分類不清帶來的難度.此法是解決區(qū)間最值的一種非常有效的方法.該法是數(shù)形結(jié)合是重要體現(xiàn)，是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要手段，是解題的一個(gè)有效 途徑，用數(shù)形結(jié)合法解題，直觀、便于發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)思考，有助于培養(yǎng)我們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解 決問題的能力.應(yīng)用分類討論思想的前提是：審題準(zhǔn)確、切入方向正確、分類嚴(yán)謹(jǐn).引起分類討論的 原因主要有：字

5、母的符號(hào)、字母的大小、函數(shù)圖象對(duì)稱軸的位置等.有時(shí)分類討論思想應(yīng)用的很隱蔽，需要我們仔細(xì)發(fā)掘.在討論時(shí)，要做到盡量簡捷、不重不漏.當(dāng)然，有時(shí)也可采用轉(zhuǎn)化思想避開 分類討論，這需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與轉(zhuǎn)化意識(shí).例2已知二次函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镽, f=2且在x = t處(twR)取得最值，若y = g(x)為一次函數(shù)，且 f(x) g(x) =x2 2x -3(1)求y = f(x)的解析式(2)若xw_1,2時(shí)，f(x)1何成立，求t的取值范圍-I ，分析：(2)若xw1,2時(shí)，f(x)1何成立，條件的實(shí)質(zhì)即為：當(dāng)xw1,2時(shí)f(x)的最小值在于或等于-1 ,從而將問題歸結(jié)為區(qū)間最值問

6、題.作出函數(shù)的大致圖象，借助函數(shù)圖象的直觀性 讓區(qū)間定，對(duì)稱軸動(dòng)，分三種情況進(jìn)行討論. / ； j 1解：(1)設(shè) f (x)=a(xt)2+b, g(x)為一次函數(shù)，a=1又 f (1)=2, . (1t)2+b =2 , . b = t2+2t+1 , . f x ；=x2 -2tx 2t 1(2)即 fmin(x) > -1i| 3當(dāng) t < 1 時(shí)，f (x)m = f (-1)=2+4t > -1 ,得 9 _34當(dāng)-1<t< 2 時(shí)，f(x)min =f(t)=t2 +2t + 11 ,得 1J3Wt01+J3當(dāng) t >2時(shí)，f(x)min =

7、f (2) = 42t +11 ,得 t 0 3由，得：173wtW3.評(píng)注：給定自變量區(qū)間求解最值問題時(shí)， 最重要的策略就是結(jié)合二次函數(shù)圖象， 利用對(duì)稱軸與 區(qū)間的位置關(guān)系，可直觀顯示相應(yīng)的最值.2.通過化歸轉(zhuǎn)化將問題歸結(jié)為區(qū)間最值問題，再采用“定區(qū)間動(dòng)軸法”求解例 3 設(shè)函數(shù) f (x) = x2- 4x- 5 .當(dāng)k>2時(shí)，求證：在區(qū)間-1, 5上，y = kx+3k的圖像位于函數(shù)f (x)圖像的上方.分析：通過轉(zhuǎn)化思想，將文字語言y= kx+3k的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言 g(x)= k(x+ 3)- (- x2+ 4x+ 5)> 0 ,當(dāng) x? 1,

8、 5時(shí)恒成立.而當(dāng) x? 1, 5時(shí),g(x)=k(x+3)- (- x2+ 4x+ 5)> 0恒成立只需g(x)min >0,所以，本題的實(shí)質(zhì)為區(qū)間最值問題.解：當(dāng) x? 1,5時(shí),f (x) = - x2 + 4x + 5.羅 4- k： k2- 20k + 36額 2 ；44- kk> 2 , . < 1.又-1 #x 5,24- k2，4- k當(dāng)-1? 1 ,即2< k? 6時(shí)，取x =22_g(x)min =-k - 20k + 36 _4V 16? (k 10)2< 64,(k- 10)2- 64< 0 ,則 g(x)min > 0

9、.4- k 當(dāng)< -1 ,即 k> 6時(shí)，取 x= - 1, g(x)min = 2k> 0.2由 、可知，當(dāng)k> 2時(shí)，g(x)> 0, x? 1, 5.因此，在區(qū)間-1, 5上，y = k(x+ 3)的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.評(píng)注：因?yàn)閗> 2條件的限制，降低了問題的難度，使討論的情況減少.很多問題通過轉(zhuǎn)化思想 都可以達(dá)到化生為熟、化未知為已知、化繁雜為簡單的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性.本題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個(gè)典型，通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到區(qū)間最值的求解， 讓我們有一種豁然 開朗的感覺.例4設(shè)a為實(shí)數(shù)，,1記函數(shù)f (x) =aJ1 -

10、x2 + J1 +x + J1 -x的最大值為g(a).(I)設(shè)t = J1 +x +11 -x ,求t的取值范圍，并把f (x)表示為t的函數(shù)m(t),求m(t)和表達(dá)式及t的取值范圍.(H)求 g(a).分析：本題看似與區(qū)間最值無關(guān)，但通過換元、轉(zhuǎn)化思想，可將問題化歸為區(qū)間最值解：(I ) ； t = Ji +x + Ji - x ,要使t有意義，必須1+x>0且1-x>0,即-1&x01.；t2 =2+24 -x2 w 12,4 , t0,.t的取值范圍是 W，2.mt = a i 1t2-1 )+t =gat匚,0 I,則 g(a)=m(2)=a 2 . a :二2

11、評(píng)注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問題時(shí)，可采用化歸、轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為 熟知的問題、簡單的問題，從“數(shù)”方面難以入手時(shí)，可考慮借助形來說理.例5求函數(shù)y = sin2 x + psin x+q的最值.分析：由已知條件的形式特點(diǎn)，可采用配方法，從而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題， 但 要注意-1Wsinx01的條件限制，在此條件限制下，其實(shí)質(zhì)即為區(qū)間最值問題，采用“定”區(qū)間“動(dòng)” 軸法，結(jié)合圖形便可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,1上的最值. +t a , t w V?2 I.1(II )由題息知g(a腳為函數(shù)m(t )=at +t-a , t w V2,2 I的最大化11汪息到直線t

12、 =(a #0)是拋物線m(t ) = (at2+t-a的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論.(1)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y =m(t ), t w 點(diǎn),2的圖像是開口向上的拋物線的一段，由t = 1(。知m(t班立2 I上單調(diào)遞增，g(a)= m(2)=a+2 .(2)當(dāng) a = 0時(shí)，m(t ) = t , t w 砂,2 I, . g(a )=2.(3)當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y = m(t ), t w3叵21的圖像是開口向下的拋物線的一段.1=(0,揚(yáng)，即 a <-,貝U g(a 尸m(T2 )=72 . a2_工三百2,即 a ",-1,貝U g (a 尸 m _'=_a1一匚(2, +笛)，即a ag(a日-a 一一，2aa22, a2a解： y = sin2 x psin x q = (sin x )24q - p24(1)若-1<-p<1, IP -2 < p < 2 ,則當(dāng) sinx = R 時(shí)，ym. = 4q - p ;最大值在 sinx = 1 或 224sin x = 1時(shí)取得.(2)若B < 1 ,即 p >2 ,則當(dāng) si