全等三角形的綜合應(yīng)用

1、全等三角形的綜合應(yīng)用(學(xué)案)一、基礎(chǔ)知識回顧1、全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的，對頂角常是對應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵2、全

2、等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS):三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4)角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在證明的過程中，注意有時(shí)會添加輔助線拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證 明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分

3、相等是幾何證明的基礎(chǔ) 知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖r全等形工能等完全重合的兩個(gè)圖形卜1）定義、能弊冗全重合的兩個(gè)三角形（2）性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等皿SSS”定理全等三角形，“SAS”定理（3）判定，“ASA妙定理“AAS"定理全等三角形V角的平分線（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等（2）判定工角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上對于直角三角形還有“Hl J定理已知三邊作三角形已知兩邊和夾角作三角形尺規(guī)作圖巳知兩角和夾邊作三角形作一個(gè)角等于已知角已知直角邊和斜邊作直角三角形作角的平分線（包括平角）二、本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)【本章重點(diǎn)】1 .全等三角形的性質(zhì)及各種判定三角形

4、全等的方法.2 .角平分線的性質(zhì)及判定.3 .理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式.【本章難點(diǎn)】1 .根據(jù)不同的條件合理選用三角形全等的判定方法，特別是對于“SSA不能判定三角形全等的認(rèn)識.2 .角平分線的性質(zhì)和判定的正確運(yùn)用.3 .用綜合法證明的格式.三、學(xué)法指導(dǎo)1 .注意在探究中掌握結(jié)論.2 .三角形全等的判定方法較多，注重在對比中掌握這些結(jié)論.3 .注重推理能力的培養(yǎng)，推理時(shí)前因后果寫清楚，過程書寫要嚴(yán)密，有理有據(jù).4 .注重聯(lián)系實(shí)際.5 .注意分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模思想等的應(yīng)用，掌握作輔助線的技巧.四、知識點(diǎn)講與練專題1三角形全等的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【專題解讀】三角形

5、的全等的判定要根據(jù)題目的具體情況確定采用SAS, ASA, AAS, SSS,HL中的哪個(gè)定理，而且這幾個(gè)判定方法往往要結(jié)合其性質(zhì)綜合解題.例1如圖11-113所示，BD, CE分別是 ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的 延線上，BP=AC,點(diǎn)Q在CE上，CQ = AB.(1)求證 AP = AQ;i(2)求證 APXAQ.我二丁”m j - ns例2、如圖11-115所示，已知四邊形紙片 ABCD中，AD / BC,將/ ABC , / DAB分別 對折，如果兩條折痕恰好相交于 DC上一點(diǎn)巳點(diǎn)C, D都落在AB邊上的F處，你能獲得 哪些結(jié)論？AII - IIS專題2全等三角形的性質(zhì)及判

6、定的實(shí)際應(yīng)用【專題解讀】全等三角形的知識在實(shí)際問題中的應(yīng)用是常見的一種類型題，解題的是鍵是將實(shí)際問題抽象成幾何問題來解決，一般難度不大.例3、如圖11-116所示，太陽光線 AC與A' C'是平行的，同一時(shí)刻兩根高度相同的木桿 在太陽光照射下的影子一樣長嗎？說說你的理由.圖 U - 116專題3角平分線的性質(zhì)及判定的應(yīng)用【專題解讀】此部分內(nèi)容單獨(dú)考查時(shí)難度不大，要注意角平分線的性質(zhì)及判定的區(qū)別與聯(lián)系.例4、如圖11-118所示，在 ABC中，AD平分/ BAC, DGLBC且平分 BC,交BCABD于G, DELAB于 E, DF，AC交AC的延長線于 F.(1)說明BE= C

7、F的理由；(2)如果 AB=a, AC = b,求 AE. BE 的長.專題4、全等與角度例5、如圖，在 MBC中，ZBAC=60°, AD是ZBAC的平分線，且AC=AB + BD ,求/ABC 的度數(shù).例6、在等腰ZABC中，AB = AC,頂角ZA=20，在邊AB上取點(diǎn)D，使AD = BC，求/BDC .AB C專題5、綜合分析例7、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC的中點(diǎn)./AEF =90 ,且EF交正方形外角/DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF .經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC

8、,易證 AME ECF，所以 AE = EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn) E是邊BC上(除B, C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論" AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上（除 C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不 變，結(jié)論" AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果 不正確，請說明理由.五、當(dāng)堂測試（40分鐘）一、選擇題（共8小題）1、已知。是銳角 ABC三邊中垂線的

9、交點(diǎn)，/A、90°B、 95°C、 100°A=50。，則/ BOC的度數(shù)是（D、 105°2、下列判斷中錯(cuò)誤的是（A、有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B、有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C、有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等3、如圖， ABC中，AD平分/ BAC, DEXAB , DF ± AC , E、F為垂足，則下列四個(gè)結(jié) 論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）/ DEF=/DFE;AE=AF ;AD垂直平分 EF;EF垂直平分 ADA、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)3題圖5題圖6

10、題圖7題圖4、（2010吐明）如圖，在 RtAABC中，/ C=90°, Z B=30° . AB的垂直平分線 DE交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)巳則下列結(jié)論不正確的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DE D、/ CAE= / B5、（2007?乎倫貝爾）如圖，在 RtAAEB和RtAAFC中，BE與AC相交于點(diǎn) M ,與CF相 交于點(diǎn)D, AB與CF相交于 N, / E=/F=90° , / EAC= / FAB, AE=AF .給出下列結(jié)論： / B= / C; CD=DN ; BE=CF ; ACN ABM .其中正確的結(jié)論是（A、6、（2009?臨沂）

11、如圖, 中不一定成立的是（A、 PA=PB7、（2011?衢州）如圖,）B、C、D、OP平分/AOB, PAXOA , PBXOB,垂足分別為 A, B.下列結(jié)論 ）B、PO 平分/ APBC、 OA=OBD、AB垂直平分OPOP平分/若PA=2,則PQ的最小值為（MON , PAX ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), ）A、1B、2C、3 D、4二、填空題（共6小題）的高BD、CE相交于點(diǎn)0.請你添加一對相等的線段或一8、（2011砒丹江）如圖， ABC對相等的角的條件，使 BD=CE .你所添加的條件是9、（2005以津）如圖，OA=OB , OC=OD, Z O=60°

12、, / C=25°,貝U/ BED 等于度.10、（2005?寧德）如圖，已知： AC=AB , AE=AD ,請寫出一個(gè)與點(diǎn)D有關(guān)的正確結(jié)論：.（例如：/ ADO+ ZODB=180° , DB=EC等，除此之外再填一個(gè)）.11、（2004?四川）如圖，已知點(diǎn) C是/ AOB平分線上的點(diǎn)，點(diǎn) P、P'分別在 OA、OB上， 如果要得到OP=OP',需要添加以下條件中的某一個(gè)即可： /OCP=/OCP'/OPC二 /OP' C;PC=P' C;PP' ± OC.請你寫出所有可能的結(jié)果的序號： 12、（2003?廣州）

13、如圖，/ E=/F=90°, / B=/C, AE=AF ,給出下列結(jié)論：（1） / 1 = /2;（2） BE=CF; （3） ACNABM ; （4） CD=DN ,其中正確的結(jié)論是 （注：將你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上）.13、（2011?岳陽）如圖，AD/BC, / ABC的角平分線 BP與/ BAD的角平分線 AP相交于 點(diǎn)P,作PEXAB于點(diǎn)E,若PE=2,則兩平行線 AD與BC間的距離為 .三、解答題（共15小題）15、(2011?德州)如圖 AB=AC , CDAB 于 D, BEAC 于 E, BE 與 CD 相交于點(diǎn) O. (1)求證 AD=AE ;（2）連接OA, B

14、C,試判斷直線 OA, BC的關(guān)系并說明理由.9題圖13題圖14題圖14、（2011?1津區(qū)）在 ABC 中，AB=CB , / ABC=90° , F 為 AB 延長線上一點(diǎn)，點(diǎn) E 在BC 上，且 AE=CF .(1)求證：RtAABERtACBF;(2)若/ CAE=30 ,求/ ACF 的度數(shù).10題圖11題圖12題圖A16、（2009冊陽）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中/ ACB= /DEB=90° , / A= / D=30° ,點(diǎn)E落在AB上,DE所在直線交 AC所在直線于點(diǎn) F.（1）求證：AF+EF=DE ;（2）若將圖中

15、的 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 “，且0°< “V 60°,其它條件不變，請?jiān)趫D中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖中的 DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角3,且60° v “V 180°,其它條件不變，如圖.你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出 AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說明理由.六、課后作業(yè)1、（2008?可北）如圖1 , ABC的邊BC在直線l 上，AC LBC,且 AC=BC ; EFP 的邊FP也在直線l,邊EF與邊 AC重合，且 EF=FP.(1)在圖1中

16、，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將 EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接AP, BQ.猜想 并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將 EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn) Q,連 接AP, BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立， 給出證明；若不成立，請說明理由.圖1圖2C2、(2006阪陽)如圖 ADF 和4BCE 中，/ A= / B, 下三個(gè)關(guān)系式： AD=BC ;DE=CF ;BE / AF .(1)請用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條

17、件，另一個(gè)作為結(jié)論，號寫出命題書寫形式，如：如果、，那么)(2)選擇(1)中你寫出的一個(gè)命題，說明它正確的理由.點(diǎn)D、E、F、C在同一直線上，有如寫出所有你認(rèn)為正確的命題.3、(2005明州)在 ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C,且 AD，MN 于 D, BEX MN 于 E.(1)當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCA CEB;DE=AD+BE ;（2）當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證： DE=AD - BE;（3）當(dāng)直線 MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問 DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系? 請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.14.如圖， ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DELDF,試判斷 BE+CF與EF的大小關(guān) 系，并證明你的結(jié)論.A（第19題）5、已知 RtABC 中，AC = BC, /C=90 口，D 為 AB 邊的中點(diǎn)，/EDF=90°, /EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC、CB （或它們的延長線）于 E、F.1當(dāng)/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE_LAC于E時(shí)（如圖