常用的地因式分解公式

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案常用的因式分解公式:（x+s）a+s）=/+（。+3）彳+而（a ±4）2 =dta± 2ab+b2（。±妁空/±3日+ 3就，±獷aa - A2 = （ai）（a+i）flB-ha =（"顏產(chǎn)+屋%+產(chǎn)皆+/4+尸）（并為正整數(shù)）/ 一方“ 二（口 + b）（jia-L - a */ + & '一號(hào) + 成產(chǎn)-b*'）（"為偶數(shù)）1+曠二（口+力池g-/方+廣川-初一，尸）（漢為奇教）（。+3 +。）？ = a2 -ht>2 +c2 + 2ab+2bc + 2caa3+i3 +c3

2、-3abc - （a +fi +c）（aa +63 +cJ -ab-bc-ca）待定系數(shù)法（因式分解）待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在 因式分解中的應(yīng)用.在因式分解時(shí)，一些 多項(xiàng)式經(jīng)過分析、可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式， 但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系 數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積， 根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng) 系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值， 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程 （或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.例 1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分析

3、由于(x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和x+y+n的形式, 應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n,使問題得到解決.解設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得m=3 n=1,所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).說明 本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.例 2 分解因式：x4-2x 3-27x2-44x+7 .分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的求根法,若原式有 有理根，則只可能是土 1,

4、 ±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以, 在有理數(shù)集內(nèi).原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解，只能分解為(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)的形式.解設(shè)原式=(x2+ax+b)(x 2+cx+d)=x4+(a+c)x 3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ,所以有由bd=7,先考慮b=1, d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x 2+5x+7).說明 由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1, d=-7等可以不加以考慮.本題 如果b=1, d=7代入方程組后，無法確定a, c的值，就必須將bd=7的其他解代 入方程組,直到求出待定系數(shù)為止.本題沒有一次因式，

5、因而無法運(yùn)用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使 我們找到了二次因式.由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.求根法(因式分解)我們把形如anxn+an-1xn- 1+- +a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x 的一元多項(xiàng)式，并用f(x) , g(x),等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2 ,g(x)=x5+x2+6 ,， 當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的信用f(a)表示.如對(duì)上面的 多項(xiàng)式 f(x)f(1)=12- 3X我們把形如anxn+an-i xn-1 + - +aix+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元 多項(xiàng)式，并用f(x) , g(x),等記號(hào)表示，如f(x

6、)=x 2-3x+2 , g(x)=x 5+x2+6,，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=1 2-3X 1+2=0;f(-2)=(-2)2-3 X (-2)+2=12 .若f(a)=0 ,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式 f(x)有一個(gè)因式x-a .根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的 根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x) 的系數(shù)都是整數(shù)時(shí).即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理定理

7、2的根，則必有p是a。的約數(shù),q是an的約數(shù).特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù) 多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng) 式進(jìn)行因式分解.例2分解因式：x3-4x2+6x-4 .分析 這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是 -4的約數(shù)，逐個(gè) 檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1, ±2, ±4,只有42)=2 3-4X22+6X2-4=0,即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2 .解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).原式=(x3-2x2)-(2x 2-4x)+(2x-4)=x2(x-

8、2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x 2-2x+2).解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),所以原式=(x-2)(x 2-2x+2).說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是 -4的約數(shù)，反 之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根.因此，必須對(duì) -4的約數(shù)逐個(gè)代入 多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.例 3 分解因式：9x4-3x 3+7x2-3x-2 .分析 因?yàn)?的約數(shù)有土 1, ±3, ±9; -2的約數(shù)有土 1,為：所以，原式有因式9x2-3x-2 .解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x 3-3x-2

9、)+9x 2-3x-2=(9x2-3x-2)(x 2+1)=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)說明 若整系數(shù)多項(xiàng)式有 分?jǐn)?shù)根,可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù) 因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2 ,這樣可以簡(jiǎn)化分解過程.總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到一個(gè)一次因式(x-a),那么f(x) 就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就 可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了.雙十字相乘法(因式分解)分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例

10、如，分解因式 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上 式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3), 可分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式 (ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式2x2-7xy-22y 2-5x+35y-3 .我們將上式按x降幕排列，并把y 當(dāng)作常數(shù)、于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y 2-35y+3),可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y 2+35

11、y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以原式=x+(2y-3) 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十字 相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y 2;(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ;(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3.這就是所謂的雙十字相乘法.用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy

12、2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十 字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于 原式中的dx.例1分解因式：(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2 ;(2)x 2-y 2+5x+3y+4;(3)xy+y 2+x-y-2 ;(4)6x 2-7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2.解原式=(x-5y+2)(x+2y-1).(2)原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解.原式二(y+1)(x+y-2).(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)

13、說明（4）中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似.筆算開平方對(duì)于一個(gè)數(shù)的開方，可以不用計(jì)算機(jī)，也不用查表，直接筆算出來，下面通 過一個(gè)例子來說明如何筆算開平方，對(duì)于其它數(shù)只需模仿即可例 求316.4841的平方根.第一步，先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗號(hào)，分段，如把數(shù) 316.4841 分段成 3,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加 1 的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為 3,初商為1,因?yàn)?2=1<3,而 （1+1）2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在 本例中第一余

14、數(shù)為216.第四步，找出試商，使（20 X初商+試商）X試商不超過第一余數(shù)，而【20X初商 +（試商+1）】X（試商+1）則大于第一余數(shù).第五步，把第一余數(shù)減去（20X初商+試商）X試商，并移下第三段數(shù)字，組成第 二余數(shù)，本例中試商為7,第二余數(shù)為2748.依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有 的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運(yùn)算告結(jié)束.若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零，則只能取某 一精度的近似值.第六步，定小數(shù)點(diǎn)位置，平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下：17.793,16 .48,41220 X 1 =20 2 16十727 1 89第一余數(shù)27X720X17 = 340 2748第二余數(shù)

15、+ 7347 2429&7X720X177 = 3540 31941簞三余數(shù)+93549 319413549X9根式的概念【方根與根式】 數(shù)a的n次方根是指求一個(gè) 數(shù)，它的n次方恰好等于a.a的n 次方根記為 訴（n為大于1的自然數(shù)）.作為代數(shù)式.您稱為根式.n稱為根指數(shù)、 a稱為根底數(shù).在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)、負(fù)數(shù)不能開偶次方，一個(gè)正數(shù)開偶次方有兩個(gè)方 根，其絕對(duì)值相同、符號(hào)相反.【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為塞.【基本性質(zhì)】由方根的定義，有商根式運(yùn)算【乘積的方根】 乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過來，同次方根的 乘積等于乘積的同次方根，即蘇=強(qiáng)亞心0,20）【分式

16、的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即>0,b>0)【根式的乘方】 函丁 =行3 >0)【根式化簡(jiǎn)】=® g>o) a a/c + yfd G 而 + "四)+ A石+ 巧)1/ Jb- r岳_gg>°由 >°*R 匕*)0,d)o)!c + -/d _ G自 + /火苗冊(cè))_ (& +- -Jb)+ct b g 二。也> o,口 k”匚 >o,d >o)【同類根式及其加減運(yùn)算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運(yùn)算加以合并.囹進(jìn)位制的基與數(shù)字任一正數(shù)可

17、表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù)， 各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位 置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右移一位時(shí)其值擴(kuò)大 10倍，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左 移一位時(shí)其值縮小io倍.例如173.246 = lxlOa+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-a+6xl04一般地，任一正數(shù)a可表為1 "=與 乂10* +%. 乂10'" + +"1)<10 +即+ X10 l+RqX10 ' +這就是10進(jìn)數(shù)，記作a(10),數(shù)10稱為進(jìn)位制的基，式中ai在0,1,2,L,9中 取值，稱為10進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由說進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在 取q為任意大于

18、1的正整數(shù)當(dāng)作進(jìn)位制的基,于是就得到 q進(jìn)數(shù)表示%)= %, %幻/ =+ 曾”+*十% + %產(chǎn)+(1)式中數(shù)字ai在0,1,2，,q-1中取值，anan-1a1a°稱為q進(jìn)數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作a(q)；a-1a-2 .稱為a(q)的分?jǐn)?shù)部分，記作a(q).常用進(jìn)位制，除10進(jìn)制外，還 有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等，其數(shù)字如下2進(jìn)制0, 18 進(jìn)制 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 716 進(jìn)制 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90,12,3,4,5各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換1 q- 10轉(zhuǎn)換 適用通常的10講數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則、根據(jù)公式(1),可以把q進(jìn) 數(shù)a

19、(q)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示.例如743陰=7 *"+4父8 + 3= 448+32 +3 = 483 的1011 101=1x2* +0x2* +1x2 + 1 + 1x27 +0x2二 +1*2+二11 625岫2 10一q轉(zhuǎn)換 轉(zhuǎn)換時(shí)必須分為整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分講行.對(duì)于整數(shù)部分其步驟是： 用q去除a(10)，得至I面和余數(shù).(2)記下余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字.(3)用商替換a(10)的位置重復(fù)(1)和(2)兩步，直到商等于零為止.對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：用 q 去|a(10).(2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.(3)用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換a(10)的位置，重復(fù)

20、(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎?數(shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324(8)整數(shù)部分的草式分?jǐn)?shù)部分的草式J 18 89448 | 103 | 717,5524.4163.3282*244 .5923 pq轉(zhuǎn)換 通常情況下其步驟是：a(p) 一a(10) 一a(q).如果p,q是同一數(shù)s 的不同次其步驟是：a(p) 一a(s) 一a(q).例如，8進(jìn)數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16 進(jìn)數(shù)時(shí)，由于8=23, 16=24,所以s=2,其步驟是：首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字根 據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)127.653(8)=001 010 111.

21、110 101 011(2)然后把2進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起(左和右)每四位一組分組，從16-2轉(zhuǎn)換表 中逐個(gè)記下對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即127653=0101 0111 1101 0101 lOOOp)= 57,358(lo)正多邊形各量換算公式n為邊數(shù) R為外接圓半徑a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑為圓心角 S為多邊形面 積重心G與外接圓心。重合正多邊形各量換算公式表各量 正三角形n為邊數(shù) R為外接圓半徑 a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑(3601C =值為圓心角(一 S為多邊形面積重心G與外接圓心。重合正多邊形各量換算公式表所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖.若使用尺規(guī) 有限次能作出幾何

22、圖形，則稱為作圖可能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否 則稱為作圖不可能.很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊 形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、 正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作 圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問題， 即給出一個(gè) 關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則：作圖可能的充分必要條件是，這個(gè)作圖問題中必需 求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過有限次有理運(yùn)算及開平方運(yùn)算而算出.幾千年來許多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”：10 立方倍積問題，即作一個(gè)立方體，使

23、它的體積二倍于一已知立方體的體積2口 三等分角問題，即三等分一已知角.3口 化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.后來已嚴(yán)格證明了這三個(gè)問題不能用尺規(guī)作圖精彩文檔代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題， 往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根 的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、求值中的方法技巧主要是 代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法.下面結(jié)合例 題逐一介紹.1 .利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)包等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用.分析x的值是通過一個(gè)一元二次方程給出的，若解出 x后，再求

24、值，將會(huì) 很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件.解已知條件可變形為3x2+3x-1=0,所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x 3+9x2-3x)+(3x 2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z 2+3x+1)+1=0+1=1.說明 在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式的值，這時(shí)要盡可 能避免解方程(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù) 式的值整體代入，會(huì)使問題得到簡(jiǎn)捷的解答.例2已知a, b, c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解將式因式分解變形如下所以a+b+c=0 或 b

25、c+ac+ab=0.若 bc+ac+ab=0,(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,所以a+b+c=± 1.所以a+b+c的值為0, 1,-1.說明本題也可以用如下方法對(duì)式變形：前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將3拆成1+1+1,最終都是將式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形式.2 .利用乘法公式求值例 3 已知 x+y=m x3+y3=n,0,求 x2+y2 的值.解因?yàn)閤+y=m)所以m3=(x+y) 3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m - xy,所以求 x2+6xy+y2 的值.分析 將x, y的值直接代入計(jì)算較繁，觀察發(fā)

26、現(xiàn)，已知中 x, y的值正好是 一對(duì)共知無理數(shù),所以很容易計(jì)算出x+y與xy的值，由此得到以下解法.解 x 2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y) 2+4xy3 .設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也 叫輔助未知數(shù))、以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法.有時(shí)也可把代數(shù)式中某 一部分式子，用另外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法.分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù) k,用它表示連比的 比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式.x = (a-b)k , y = (b-c)k , z = (c-a)k 所以x+y+z=(a-b)k + (b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1,由有把兩邊平方得u2+v2+W+2(uv+vw+wu)=1,所以 u2+v2+W=1,即兩邊平方有所以4 .利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零