數(shù)值分析知識點(diǎn)總結(jié)

1、數(shù)值分析知識點(diǎn)總結(jié)說明：本文只提供部分較好的例題，更多例題參考老師布置的作業(yè)題和課件相關(guān)例題。一、第1章數(shù)值分析與科學(xué)計算引論1.什么是絕對誤差與相對誤差？什么是近似數(shù)的有效數(shù)字？它與絕對誤差和相對誤差有何關(guān)系？答設(shè)上為準(zhǔn)確值.為H的一個近似值，稱丁上為近似值上.的絕對誤差，簡稱誤差.近假值的誤差父與準(zhǔn)確值才的比值1=匚/稱為近似值#,的相對誤差，記作M工通常我們無法知道誤理的準(zhǔn)確(tt.只能根據(jù)測城工具或計算情況估計出謖差絕對值的一個上界屋叫做近似值的誤差限.一.,、一、,i一*.x的第一位非零數(shù)相對誤差限：rer的一個上界。有效數(shù)字：如果近似值x的誤差限是某一位的半個單位，該位到字共有n位

2、，就說x*共有n位有效數(shù)字。即x*=±10mx(aOa一個比較好用的公式:*10-1+anx10-(n-1),其1中aw0,并且xx10mn1。其中m位該數(shù)字在科學(xué)計數(shù)法時的次方數(shù)。例如29.80的m值為0,n值為3,絕對誤差限2102。f(x)的誤差限_*f(x)_*f'(x)*(x)例題：5,計算球體程要使相對誤差限為問度量半徑K時允許的相府誤差限是多少？解球體體根公式為丫=會爐，體租計算的條件數(shù)kl7=十二-V-ZT=*|1苗所以，±丁卻(用)ur).又因?yàn)?(1一)一1%,所以度虱半程尺時允許的相對誤差限；X】%0.0032JrJf二、第2章插值法L什幺是拉

3、格朗日稻值幕函數(shù)它們是如何構(gòu)造的？枸何敢要性質(zhì)？答若巾次多項式J.m）在r+1個節(jié)點(diǎn)壬式乃V，上滿足條件1rkitijt.Xi）=（入+。0*1,*，孫i0天關(guān)”堪稱這北十1個再次霎項式I工出工）為節(jié)點(diǎn)心，以，工*上的n次拉格朗日播值基函敷.以奴工）為例，由小公所潤足的條件知4G）以工-曲Tf+1，用為零點(diǎn)，再考慮到人工）為時次多項式.故可設(shè)Z»（x）=Atr-xp?-+*（j-xj-t）（工一jh-i）*£*=二箕中A為常數(shù)，利用LQG-1得1A（37aJTq）.（上£Xt-1）（*-H什I卜一（符一W.）.故A1,5備）Q*Xi,-Jfji-h.7）Ch*-#

4、3即j.、_a一八）"，Cj互Mh二，e）g二L.iVk二k.1 XO4一由）工#q】乂工±一上1J（h*一招）總1*一匹,對于4Cf）（£=ai.用）,有£工皤（工=wa=o.】，口3特別當(dāng)a=-。時.有:&Q)=L，T例題:2.給出興工）=%工的敷值表Ijr0.i0.50.60.70,8Int-0.916291-0.693L17-0.510»«-d.mm-0.2J3144用緩性插值及二次插值計算In0.54附近似情.解線性插佰，由于=0.54,介于0.5和Q.E之間，故取-0.5,-0,6,這時桶值余項中的it（jJ=t.

5、i-oKhHj?_j71）的第對值最小.尸是y尸0»693147*=-0»5】0326.代人拉格朗日線性掐但多項式，得LiS.54)=JJ|2+二一乃Jn一為處一沏X(-0.693147)+2學(xué)二x(-0.510826)Ub6,53_D,54-0.6o.oTg%-0.62021S,所以InO.54七L/（L620219,當(dāng)然正可以按其他方式取工廠工但近似程度可能差其.4二次插值.由于了=654與。.500及G4的距離較近.故瞰迎-Gd,ML=Q.5,g=。,6,這時捕世余項中的st,t-r）fd一毛,Q,一e）（j"4）的絕對值最小.于是心一U.SJ6291*兇=

6、-0.693I".5-Q.51Q8部.代入拉格明日二次輔做多項式，得£0,54)=尹1工口）（工一工?(x-tt?)(jr一4)廠"至1百F*J*-jt/Cj為)*(jCi-Xn)CxjXj)”二黑有"壽X立91)04Q.5)(。.40.6)+三2二：；？；1:丁)X(-0.510826)(U+O0.4MU.6-CL5)w一凡61532。聽以InO.544(Q,54)也0.61532C.2 .什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式基口,?。┯泻尾煌柎鸱Q1,工一工口.（工一工*）,一與3，（工一）"""工一f1）;為節(jié)點(diǎn)工工上的牛幢基

7、函數(shù)，利用牛頓基函數(shù).節(jié)點(diǎn)工，工一，丸上函數(shù)”G的R次牛頓插值多闡式FJ上）可以表小為Pn（X）=%-4（工一%）T,，十區(qū).上-Hu（工Jtkj）*其中4=九0,心丹出（3。1,E）.與拉格朗日插值多項武不同，牛頓捕值基的效在增加節(jié)點(diǎn)時可以通過遞推逐步得到再次的插值多項式，例如Phi（H）=P.（工）十。（工一Ho），*工一工.1其中G，,是節(jié)點(diǎn)內(nèi)，8,爐人上的"1階差商,這一點(diǎn)要比使用單項式基（匕工,"”方（得多，3,什幺是函數(shù)的弊階均差？它有何富要性質(zhì)？誓稱兀4，由"匹"）三"冬）為函數(shù)八q關(guān)于點(diǎn)不血的一階均筵稱"事，芍卜兀英一

8、/.工=為八二）關(guān)于點(diǎn)備，為，小的二階均差.一般地，秫丸一Hi,rr”入*“，口3，工1一，配，Hl，"f/Lx（t，西”，事二一；，-為義工）關(guān)于點(diǎn)力，/,"*的rt階均趨.均差具宥如下基本性質(zhì)工“七）（1燈階均差可以表示為函數(shù)值”行.）的線性組合.即fLO出T4V_七3一（工，一巧L）巧一工/、）*（/-該性殖說明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān),即均差具有時你性.3一上0（3若/（力在“田二上存在枕階導(dǎo)效，旦節(jié)點(diǎn)后,與卜,心丘人句"則"階均差與神階-數(shù)的關(guān)系為”符必,/1二1：5)fEU同.J714 .寫出1個點(diǎn)的拉格期日插值多項式與牛頓均差捕值密困式.它

9、們有何異同?答給定區(qū)間育,初上制十】個點(diǎn)&V近VVh*<'上的函數(shù)位y=/（W乂£=0'"），則這/1+1個節(jié)點(diǎn)上的拉格朗日播值多項式為等L（h）=£娟*（工）*7其中這7|+1個節(jié)點(diǎn)上的牛頓插值多項式為P<h）=afl-baLtx.一工口）Cx-mt）,其中a*=，,骷）為，（工）在點(diǎn)Jr<31】，才*上的4階均差.由插值多項式的唯一性，心Q）與RGJ是相同的多項式其差別只是使用的感底不同,牛頓插值多項式具有承襲性當(dāng)增加節(jié)點(diǎn)時只需增加*項,前面的工作依然有效，因而牛甄捕值比較方便計算,而拉格朗H插值沒有這個優(yōu)點(diǎn).5 .給

10、出插值多項式的余項表達(dá)式，如何用其估計截斷誤差？答殳在八允上連續(xù)，在儲，占）內(nèi)存在,節(jié)點(diǎn)a<Xo<J1<.<iii<ftTLG）是滿足條件匚。,）=.。=0,】，1）的插值多項式，則對任何£|>51插位余項凡（宣）=f3-L”Q1=£舊心;如,5十這里F£（。中占）且與X有關(guān)事物十1（X）=（M-Hg）（=上1）（工一土.若有3乂|/叱”匕）戶時則L<4）逼近義工）的截斷誤差I(lǐng)RQ）1<（言&I叫日£幻L6 .三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？9三次樣條插值要求插值函數(shù)與工）

11、在整個區(qū)間上是一次連續(xù)可費(fèi)的即5瓦且在每個小區(qū)間跖，工”上是三次多項式,插值條件為S（JLt）三乃,J=0*1，E.Y次分段埃爾米特浦值多項式18是插值區(qū)間口5上的分段三次專項式In。工）在整個區(qū)間上是一次連續(xù)可燧的.即L（）ECL.k.強(qiáng)值柒件為L（*），（A）f；Q*）=/QAA=D*l，.n.分段二次埃爾米特插值多頂式不但要使用被播函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)侑，陽U還需要節(jié)點(diǎn)心的依他.R場值怎式在插值區(qū)間；次旌續(xù)可微的.二次憚條溫數(shù)只、需給噂節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值,但插值多項式的光滑性較高.在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微.所以相比之下三次祥條輔值更優(yōu)越一些（注意要添加邊界條件工7 .確定n+1個節(jié)點(diǎn)的三次樣條

12、插值函數(shù)需要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？答由于三次樣條函數(shù)5（幻在每個小區(qū)間上是三次多項N,其形式為口+以+爐/+d，,所以在每個小區(qū)間毛耳.JI:要確定4個待定畬數(shù)eT1個節(jié)點(diǎn)共有森個小區(qū)間,故應(yīng)嵋定輸個蓼教，而根生拙值條件巧）=字口=。.1.e）和-次連續(xù)可假所隱含的條件（再一1+2立一13共有4比一2個條件，因此還需要加上2個條件,通常可在區(qū)間的戰(zhàn)點(diǎn)口=%由=工.上善加一個邊界條件，常用的邊界條件有3種：（1）已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即SfCxo）八,（2）已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值.即9（/）=yl*s*（x«）=H，特殊情況為自然邊界條件=QfS*5）=dC3）當(dāng)是

13、以心一公為周期的周期函數(shù)時，要求SJ）也是周期函數(shù),這時邊界條件就滿足5（%+5=5（與-G.£&匕+6-卬（工.一算,廣（+0）=Se.一（D.這時6外稱為周期祥條函數(shù).8.三彎矩法：為了得到三次樣條表達(dá)式，我們需要求一些參數(shù):這里.AffjO.l，燈）是未知的.為編定這,1,，犀）,對§（上）求導(dǎo)得由此可求得一3十3=一&M-3ML十呼二空，類似地可求出文心在區(qū)間二了一3二上的表送式.世向?qū)?7上，-0）='jV_jrM+'*-'.£，31Mj利用Hr/+（0-5*（均一6可得+2M%M，74jtw11其中_比L._4內(nèi)

14、A,-1+元,*hj+A/a=g；二二!-t，）=仃，句片中-=1,2.同1,對于第一種邊界條件，可導(dǎo)出兩個方程：M.i+2Af,=7-（/H,rL3n=】應(yīng)=在£一通如果令焉=1"41nmf/了口=/；汽J矩陣形式：公式1對于第二種邊界條件，直接得端點(diǎn)方程：Mfl=/L=8,如果令北=辰=3&、=訂：&="：,則在這個條件下也可以寫成如上公式1的形式。對于第三種邊界條件，可得：M皿M,AnMi+產(chǎn)JWi+2M.=（,其中f二£1匕八1出也可以寫成如下矩陣形式:求解以上的矩陣可以使用追趕法求解。（追趕法詳見第五章）例題：數(shù)值分析第5版清華

15、大學(xué)出版社第44頁例7三、第3章函數(shù)逼近與快速傅里葉變換l設(shè)同，寫出三種常用范數(shù)ll/llitll/L答若人工)£C明小則il/'I1=J/(z)dr，II/IIj(|/(x)|d.r)I匹Hp2f<2）奇偶性p“（一金）=（一1）叩小工1（3）遞推關(guān)系（tj+IK'N工）=f2昂十1）aPnGr）nP1（工，制=WPJ切在區(qū)間一,口內(nèi)有社個不同的實(shí)軍點(diǎn).,rli/II«=max|/(je)|.2 .八££6看,口，它們的內(nèi)積是什么？如何判斷函數(shù)族的，評,，/JWCL*瓦在%&上線性無關(guān)？答若八工34匚>同,屋#是而上

16、給定的權(quán)函數(shù)定義f與月的內(nèi)積為CfC丁3xt)=Iptr)f(x)g(j")dxiJ特別常用的是我0)三l的情形I即/(x)雇工)di.a設(shè)屈加呼JFC人方3定義其格拉姆近陣為爭（押，?。〤砂，獨(dú)）（甲I，於）（初，料）*（白，廬（協(xié)/3*（尸,中仲執(zhí)1*，+#在"I/上戴性無關(guān)的充要條件是delG（秒評】+,外）q，3 .什么是a,b上帶權(quán)（x）的正交多項式？什么是卜1,1上的勒讓德多項式？它有什么重要性質(zhì)?管設(shè)咨（工）是。田上苜項系數(shù)的制次多項式*產(chǎn)工）為一次包上的極函數(shù)，如果多項式序列弛（了）厚滿足電中）_地口珈14>0一=K則稱多項式序列（工）在應(yīng)，切上帶權(quán)p

17、（G正交*稱物（3為。加1匕帶板隊工）的r次正交多項式.當(dāng)區(qū)間叫以為-1,1權(quán)函數(shù)p（»=】時由門7,，工J-）11交化得到的第項式稱為勒讓德多璞式，通常用式工），用工）<6,*表示,其性質(zhì)如下（1）正交性4 .什么是切比雪夫多項式？它有什么重要性質(zhì)?答當(dāng)權(quán)函數(shù)p=r±=.區(qū)同為-1時，由序列行行,，上。正交化得到的1/1一/正交第項式稱為切比雪夫多項武可表示為Th）=coslnrccosx）»工|<*其重要性質(zhì)如下：<1）遞推關(guān)系T式）-11Ti（x）工，il+l（T）=2hT.5）T,l*h），n-1,2,，（2>正交性0.療金硒.彳P

18、H-W0；TT»網(wǎng)=M-仇（3）T/工）只含工的偶次解，吐«1）只含金的布次寨，丁在區(qū)間-*口上有m個零點(diǎn)2k1Xi=CO*T7T,*L,2.,IT.2n丁丁用的首項系數(shù)為乎-乜*：,，）.（6）設(shè)%Q）是苜項系數(shù)為1的切比韋夫多項式,比為首項系數(shù)為I的次數(shù)不超過制次當(dāng)朝式構(gòu)成的集合，則m«丁.（力|4max|P（j）|»-WEI7d】rnax|frt（T）=/T/f1.£5 .用切比雪夫多項式零點(diǎn)做插值點(diǎn)得到的插值多項式與拉格朗日插值有何不同？魯切比雪夫多項式零點(diǎn)（切比雪大點(diǎn)）是單位圓周上等距分布點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這些點(diǎn)的橫坐你在接近區(qū)間一1的端點(diǎn)

19、處是密集的,利用切比雷夫點(diǎn)做插值.可使插值區(qū)間最大誤差最小化，同時還可式避免高次拉格朗日插值所出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，在一定條件F可以保證插值多項式在整個區(qū)間上收斂于被瓶值函數(shù)，6 .什么是最小二乘擬合的法方程？用多項式做擬合曲線時，當(dāng)次數(shù)n較大時，為什么不直接求解法方程？I一«在最小二票擬臺中,利用求方元函數(shù)報值的總要條件癡Im:（佻，溝）=£電工：）6（品）*f/r強(qiáng)）=晶）/G。軸£斯山*QJ*皿則苒關(guān)于。=%1的雄性方程蛆Xf弛中乩，*白，】,*,而為法方程,也可以寫成矩陣出式Ga-d,其中口=儡小.<?3.Lfdaid”）。際）（仍*仲）55L當(dāng)擬合定項式

20、的次數(shù)網(wǎng)較大時，法方程的系數(shù)矩陣。股是病態(tài)的，數(shù)值求解法方程不穩(wěn)定，因此不克接求解法方程.例題請參考第3章書上的作業(yè)題和課件上的例題。四、第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1 .給出計靠枳分的佛形公式及中矩形公式.說明它fl的幾何意義.答橫脛公式寧訪）1,其幾何意義是用上底為八G,手底為"63裔為A一。的梯形面枳近似曲邊梯形的面積（積分值）.中矩陣公式皿（£盧，其幾何意義是用長為口”竟為不咒與的矩形面根近似曲邊梯形面積（積分值）.2 .什么是求積公式的代數(shù)精硬度？掾形公式及中矩形公式的代數(shù)精確攫是多少？署著某個求積公式對于次數(shù)不超Em的多項式均能寇瑜成立，但對于審+1次多項式不準(zhǔn)確成

21、立，則稱該求積公式具宥m次代數(shù)精度.梯形公式的代數(shù)精度為1,中矩形公式的代數(shù)精度也為L3 .對給定求積公式的皆點(diǎn),給出兩種計算求積系數(shù)的方法.答紿定求積公式的節(jié)點(diǎn)5+1個）,可取代敷精度m=心令求積公式對人二）=】，工,工,都精確成立然后求斛關(guān)于皿十】個求積系數(shù)的線性方程組，確定求枳系數(shù).也可以利用求和節(jié)點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于被積函數(shù)的描值多項式，用插值多項式的積分作為枳分的近似值，從而構(gòu)造出持值瑁求積公式,事實(shí)上這種方法中的求積系數(shù)就是插值茶函數(shù)的積分.4什么是牛頓一軻特斯求積？它的求租節(jié)點(diǎn)如何分布？它的代數(shù)精確度是零少？答將積分區(qū)間作等分，由等即節(jié)點(diǎn)構(gòu)造出的捕值型求積公式稱為牛頓柯特斯公式,由于是播值

22、型的,所以我階牛鉞一軻特斯公火至少具有時次代數(shù)精度.但實(shí)際匕當(dāng)我為偶數(shù)時,牛頓柯特斯公式至少具有蒞卜1次代數(shù)精度.5 .什么是辛普森求積公式？它的余項是什么？它的代數(shù)精確度是多少？答常=2時的牛頓-柯特斯公式為辛普森公式，即其余項m=一需（寧）'r"5）qm辛普森求租公式的代數(shù)精度為3.6 .什么是復(fù)合求積法？給出復(fù)合梯形公式及其余項表達(dá)式.答為了提高精度，通?？砂逊e分區(qū)間分成若干子區(qū)間（通常是等分），在每個子區(qū)間上用低階求租公式,這種方法稱為品合求積法.若將積分區(qū)問分朧«個小區(qū)間.在每個小區(qū)向上使用梆形公式則為友合梯形公式.即rn-/），1-1余項乩3=一，耽小射

23、,qEA給出更合辛普森公式及其余磔表達(dá)式.如何估計它的處妍諛差？答復(fù)合辛普森公式,ir1hI£=彌卜刀上）+z'/（工。一/余項表達(dá)式用/1=-*件1r05"歹6s，若0£仃訪切,則復(fù)合辛普森公式的截斷誤差I(lǐng)/（T）rl.r-s,<mflI尸，hL44530m7A*g.什么是龍貝格求枳？它有什么優(yōu)點(diǎn)？答龍貝格求枳是從郡形公式出發(fā)，將區(qū)間逐次二分.通過外推算法，逐步提高求職公式的精度,其優(yōu)點(diǎn)在F通過一次次的加工，用階數(shù)較低的求根公式得到高精度的結(jié)果，便于編程計算.軋什么嵬高斯型求租公式？它的求軌節(jié)點(diǎn)是如何確定的？它的代數(shù)精確度是多少？為何稱它是具有最高

24、代數(shù)精確度的求機(jī)公式？答高斯型求積公式牯適當(dāng)選取求積書點(diǎn)和求積系數(shù)=-46=0,1,，幻*使求枳公式具有2門丁1次代數(shù)精度,育斯求積公式的求枳帶點(diǎn)稱為高斯點(diǎn).在點(diǎn)5.4.,網(wǎng)班高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項式處小Q）一（XNJ）（工一H）+.G工/與任何次數(shù)不超過"的軍唄式*CQ帶極展公正交即PCz）叫h（Q.=0.J41所以通常將求積節(jié)點(diǎn)取為»11次帶權(quán)正交多項式的零點(diǎn).10.什么叫高斯-勒讓德求積公式？什么叫做高斯-切比雪夫求積公式？在高斯求積公式中，若取權(quán)函數(shù)（X）1,區(qū)間為-1,1,則得公式:/(r)dz)：八JGe).公式3勒讓德多項式的零點(diǎn)就是公式

25、3的高斯點(diǎn)。形如公式3的高斯公式特別地稱為高斯-勒讓德求積公式。若取Pi。）一的零點(diǎn)八-0做節(jié)點(diǎn)構(gòu)造求租公式J,4口03令它對方-1準(zhǔn)確成立即可定出小=2.這樣構(gòu)造出的一點(diǎn)高斯勒讓德求積公式是中矩形公式.標(biāo)取巳工）=3工工一口的祖?zhèn)€零點(diǎn)上L構(gòu)造求樹公式243J"M-升"（去卜在例8中已經(jīng)得到A“=A=1.因此求稅公式為"I/（,r）dx=5?J-i三點(diǎn)高斯勒讓曹公式的形式是/(去4-7列出高斯鞫比德求積公式（6.11的節(jié)點(diǎn)和系數(shù).表示7高斯能讓彼乘積公式的節(jié)點(diǎn)和系依nX.4n力400.OOOODO02.000O0C03±0.861136,0.339981

26、0n：S47X5；S0.652U521±0.5773S03!LOUO0000:±0T9061798±0,53B4653fl.00000000.23692fi90.47862B70.5688889z±0.7745967(J.00000000.55555560.8888BH95士d9324695十0.6612094士0,238G1920.17132450.3607ftl60.4679139若i=-1,6=1且取權(quán)函數(shù)補(bǔ)公=一，-/I一則所建、工的高斯公式1F"=£AJ5)，S11)稱為高斯切比夫求租公式.由于區(qū)間一1J1上關(guān)于權(quán)隨數(shù).J的

27、正交多項式是機(jī)/I比胃夫多項式（見3.2節(jié)）.因此求柢公式（6.14：的高斯點(diǎn)是，,+1次切比雪大多項式的零點(diǎn)，即為cos(2+2”卜0t1T*,71*通過計算（見文獻(xiàn)打）可知（6.141式的系數(shù)4舟，使用時將門+。個節(jié)點(diǎn)公式改為«個節(jié)點(diǎn)于是高斯切比雪夫求積公式弓或71(6,15)JVT-rV(2A1-1)=CO5：2ft公式余項由（6.I。）式可算得,即帚權(quán)的茍斯求枳公式可用于計算奇異積分.11 .什么叫做中點(diǎn)方法？數(shù)也微分就是內(nèi)函數(shù)俏的斑性組合近似南觸在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)信.按導(dǎo)故定義可以簡單地用差商近似爭敵.這桿立即將到幾種數(shù)值域分公式其中*為增信，稱為步長*后一科數(shù)值跟分方法棟為中點(diǎn)

28、方法.它其寞是前而種方法的算術(shù)平均，但它的誤差階卻由日（人提高哥6產(chǎn)）.上面給出的三個公式是很實(shí)用的.尤其是中點(diǎn)公式更為常用,中點(diǎn)公式：C（A）=/（口上仙二公2h12 .插值型的求導(dǎo)公式：13 ）兩點(diǎn)公式：設(shè)已給出的個黃點(diǎn)上1T以上的函數(shù)值/（J1.做線性插值得公式巳Q）=三江八心）十三二亙/（T1）.工亞4時_L式兩端求建，記皿一工口一人，有；工），一八工。）+/XH1）,flr是有下列求導(dǎo)公式：尸；（工口）二/UE）-fF：*1）a內(nèi)J內(nèi)而利用余項公式（&5知*帶余壩的網(wǎng)點(diǎn)公式是/?。┮?；"（工1）/：口），飛人h甚（2）三點(diǎn)公式:殳已蛤出三個竹點(diǎn)上,為一工34工|十外

29、工他函數(shù)值，版二次期值口.、Cx白乂一ft,-y"h)3，工)fir?<T>=-r-、；rf3)十T/5(j-j-i)(j-p-.rJO|-令i=,r+".卜忒可我不為卜出門=!口1)(/2)/(x6)-Z(/-2)/(.r,)+卜"-l)f啊L兩端府/求易.有)心+tii)=-U(2f-3)"航)(4f4>/(.r,)+(力一HP7；).(亂5士h這里撇爾一表小時交比1求導(dǎo)數(shù)式分別取i=U,2.得到二用：總公衣士P,U=13/(+4/(j-15/<j-j>JtP'=?：L*/<Jd)+/CxjtF；(x>

30、;)=it/Q9)-4f(xi)+3f5汀而帶余項的三點(diǎn)求畀公式皿Ft/<x5>=5I1/(rt)"r"!(&)；Ml3fQC-十門Hi廠一%0)t(8.6)，但)=)4/(ji)+3/()+4-/*Cfir七九J其中的公式仃是我們所熟悉的中點(diǎn)公式，布三點(diǎn)公式中，它由于少用了個函數(shù)值。汨)而引人注目，用插值多項式HU>作為JLC的近似函數(shù)，還可以建立高階數(shù)值徽分公尺：尸"工)k=I*2.例如,秘電5)式再對，求導(dǎo)一次.有(+M)=*匚。工J2/(為)+/(jrs)»于是有匕此)=1/一'一2/(工j)+jXx+A)|,而

31、帶余瑛的二階三點(diǎn)公式如下:0rl.*-3】+/(X1+川一1-.相關(guān)例題在教材第4章作業(yè)題和課件中。五、第5章解線性方程組的直接方法L用高新消去法為什么要選主元。哪在方程組可以不選主元？答因?yàn)楦咚瓜ミ^程中需要用主元素n#,/=八2,E一】）作除教，所以如果出現(xiàn)山，工口,那么消去過程都無悵進(jìn)行.而且即使主元素口£壬0,但其值很小,那么如果用其他作除數(shù).也會導(dǎo)致其他元常數(shù)最級的嚴(yán)重靖長和舍人誤差的擴(kuò)散，最后導(dǎo)致計算解不可靠，因此用高斯消去法需要選主元.當(dāng)線性方程組的系數(shù)矩陣月正定對稱時,高斯消去法不需要選主元，2 .高斯消去這與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程維力上一6有何不同？小

32、要嘀是什么條件？答當(dāng)不需要選主元時高斯前去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個將小分解為兩個三角炬陣相乘的因式分解，即LU分解,“=LV.且這種分解是唯一的.當(dāng)書要進(jìn)行選主元£到主元）時，有即消去法相當(dāng)于先對.*進(jìn)行系列行交換，然后再逆行一般的高斯消去法即存在排列陣P,使F4=LU能遒行LU分解的條件是A非奇界.3 .楚列斯基分制與LU分解相比t有什么優(yōu)點(diǎn)？答當(dāng)力為對稱正定矩陣時，町以進(jìn)行楚列斯基分解，與LU分解相比，楚列斯基分解具有數(shù)值穩(wěn)定，汁算屬、存儲量小的優(yōu)點(diǎn).4 .膘種線性方程組可用平方用法求解？為什幺說平方根法計算穩(wěn)定？5 當(dāng)線性方程組*一b的系數(shù)矩陣4為對稱正定矩陣時，可以使用平方根法進(jìn)行

33、求解，由于在川的葩列斯翦分解兒=LU中摘足口力j=1,2,*1-1即分解過程中元素益的數(shù)品級不會增長旦粕珀元素八恒為正數(shù)，所以不選主元的平方根法是一個數(shù)值穩(wěn)定的方法.5 .什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計算穩(wěn)定？答當(dāng)來數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角矩陣時，可以用追趕法求解.由追趕法的計算公式可以存十算過程不會出現(xiàn)中阿納奧數(shù)鼠級的巨大增長和舍人誤差的嚴(yán)重枳累*所以追趕法是敏通穩(wěn)定的.6 .何謂向最息數(shù)？給出三種常用的同盤的數(shù).答如果向或的柒個實(shí)例函數(shù)N（r）-|4|,滿足條件（1） IIjcII2且IIxII=必（2）|必|=周*iuiitVaeR（jaec）f|x+j|<I*IH-|

34、jr|,則徐NS）是RY或C"）上的一個向量池數(shù)（或模L常用的向切胞數(shù)有Ix|加=max|x,（2-范數(shù)3必tXIIt-2IX,|0-范教J,IIXII,-產(chǎn)（2-粒數(shù)）,何謂矩陣皰敢？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A=1%）的三種范數(shù)IA|T|Af|aJ）AUUD，與IA%哪個更容易計算？為什么？答如果矩陣AW飛j的某個排負(fù)值函數(shù)N"）=II滿足條件：IIA|130旦IA|kDu4*O*（2） i|3|=M-|A|"為實(shí)數(shù),U+B|<|A|+）|B|tW'IAB|C|A|'I®.則秫Z（八）是附小上的一個矩降用數(shù)設(shè)xE/*W費(fèi)門，給

35、出一種向量也數(shù)IIxk,相應(yīng)地定義一個矩陣的非負(fù)函數(shù)則IMII.為Rhk”上的一個雨陣范數(shù).我們稱|八|。為的算子范數(shù),也稱從屬范數(shù).常用的死陣整數(shù)由7"3=I/I（稱為A的列范數(shù)3底j*>IIIAH.=4174團(tuán)（榔為A的2范數(shù)人A鼠=mnx£I期I（稱為A的行范數(shù)），仁與1八打相比"MIt和II力M更容易計算，岡為|以心寤集求47的技模最大的特征值.比較困難，而II。1和IIA|.則不梯8,什么也矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程地是病態(tài)的？答設(shè).4為非奇異矩陣,稱數(shù)8同熊）、=|AUL|A|/o=1,2或8）為矩陣4的條fftt.首兒的條件數(shù)相對較大，即m

36、mKA兀1時，然性方程組Ar=A是病態(tài)的.當(dāng)4的條件數(shù)相對較小時.級性方程組/了二占是任意的，&的條件數(shù)越大，線性方程組的病態(tài)程度愈產(chǎn)氧附:1.LU矩陣的推導(dǎo)過程4一試推導(dǎo)矩陣力的Cnmi分解A=LU的計算公式.其中L為下三角矩陣也為單位上二角矩陣.解設(shè)包的Crcnit分解為力LU.即1UnM1J%A?1uitr4=,，* *喟7-i仆口1Ajua,i=】*2，i*,L",=產(chǎn)*，=2*3,*由* *，由矩陣乘法，知設(shè)已得到L的前4-1列和U的前4一1行.則I口信九加圜就*=e=*"+1廣辱.“111=1、-IjqL因而L的第E列Q=a*££*隨

37、&ti=rL又由”(I5二2=XL也百=X必“寸4%我，j=*+T/+2.，*立三土.二i.1=1所以U的第&行j-3，制.就此得到計算Craut分解的計笥公式為j=A+l"+2*皿例題:民用直接三角分解<杜利特爾分解）求線性方程維的解.解設(shè)則由對應(yīng)元素相等.有4=切|，4=為1加=>&=。*：=跖式11=>%=2,4J3£存=如，=贄,T，iUnIu；3->ut32=ji«13IIUis-u)j1315故八的杜利特爾分解為解L,一心得解Ux=y,得_1_11n-i00TTTA=W=*100_±_j_T60

38、i5_2-361_0013設(shè)a-g.塾=41541X,-177.69tJj-476.92，工227.OH.9.用追且法鼾三對角方程蛆b，其中o000at一144-1島1兩I解設(shè)乂有分解'2-1121-12-1-12-1由公式=T。-23夕4+5.-a#.1-23*4其中%3=1.2.5）,*（*=】，2,，4）分別是系數(shù)矩降的主對角元素及其下邊和上邊的次對角線元索.具體計算，可得=2，ag34=至，ai=l艮二一系&.=一T-rro0Oj1"T112171TL5工T六、第6章解線性方程組的迭代法1.寫出求解線性方程組Ar=b的迭代法的一般形式.并給出它收黃的充處必要條

39、件.答求解線性方程組4x二4的迭代法的一般形式為工"”=如如+八k=。,2,一，理代收斂的充分必瞿條件是之給出送代法三叫+/收斂的充分條件、誤差估計及其收斂速度.答對于迭代法工的+/R口果B的某種算子范數(shù)l!BL=qVl$迭代法收斂.且有誤差估計|1-一¥同1|匯川|式一,II父工出II二丁4一|上陽父一,|,1Q選代法的收破速座R(H】=一ln"HL3.什么是矩陣4的分裂？由總的分裂構(gòu)造解森上-占的迭代法，綸出雅可比迭代矩陣與高斯-塞德爾迭代矩陣.答稱4=A4NC其中deiMWJ為A的一個分裂，利用A的分裂4=MN可以構(gòu)造迭代法/hu=m】必,”+M/涓=0C.

40、若將A分裂為4=。工一U,Jt中卜”"1TiJ-o-I一做i°L=；I|>一&1/_*：,20_1一口-0.ro0一*31-*V=:05_0_則推可比迭代法的迭代矩滸為納=/J7（L卜。），高斯塞德爾遇代法的迭代矩陣為樂一（口一上）”.1.寫出解線性方程組的雅可比法代法與高斯塞德爾迭代法的計莫公式,它們的基本區(qū)別是什久？管雅可比迭代法的if算公式為?”=（，工”，M：r“=S-?。?b。$-I*2產(chǎn)*計滑=。.1，;二；高斯一塞也爾迭代法的計算公43上"力=Ch-工即dWV,I«工/1，=（瓦一2Mll-24：*）*.，i=1.2”n比=0

41、,1,兩種迭代法的基本區(qū)別4于雅可比送花在計算時沒有使用變量的最新信息,而高斯一塞德爾迭代在計算的第i個變量幻E時.利用了已經(jīng)計兌出的地新分量無*S（，=L2,，:一13所以高斯一窿德爾迭代法可以看作是稚可比迭代法的一種改迸.5,何謂矩陣A嚴(yán)格對角占優(yōu)？何沿從不可約？等設(shè)A=（%）r，如果A的元崇滿足HI*"I>SlaI*i=l,2，”明/-i則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣.”當(dāng)門>2時,如果存在置換矩陣P使-A”Aji"PT.IP=,-0A!3J箕中Au為，階方陣,4必為M-r階方陣ClrO3則稱A為町豺隹陣.否則，如果不存在這樣的置換矩陣P使上式成立，則稱A為不可

42、約矩陣.6.給出解線性方程組的SOR迭代法計算公式，其松弛叁數(shù)切范圍一般是多少？A為對旗正定三對角矩陣時最優(yōu)松池參敝山噸?答求解線性方程組Am卜的SOR方法的計算公式為戶-一2巴”，帚°>.工戶”=上產(chǎn)+加（&-X/*廣"一22"）/人,i01Sv,曰;*0,1,.Ll17+4松弛因子但的就圍一般為只有在這T范朋內(nèi)取松他因子mSOR方法才可能收斂.當(dāng),為時稱IE定三對角矩陣時，最優(yōu)松弛參數(shù)箕中“J）為解4H=占的雅可比送代法迭代用陣的普半徑.工將推可比法代、高斯一寒德爾迭代和具布最優(yōu)松弛套數(shù)的SOR迭代，按收斂快慢排列.答雅可比迭代、高新一客希爾迭代

43、和具有最優(yōu)松弛參數(shù)的SOR迭代的倏做速度從慢到快依次為:雅可比迭代、高斯-寒德爾迭代、具有癇優(yōu)松強(qiáng)參數(shù)的SOR選代.例題：L設(shè)線性方程期j5Hl+2xt+h»12,一1i+4工n+=20,12Hl-3z2+306=3.U）考察用雅可比迭代法.高斯一塞布爾達(dá)代法解此方程組的收斂性；用麻叮比送代法及高斯塞德爾迭代法解此方程組，要求當(dāng)1|r<10T時迭代終止，解（L）因系數(shù)矩陣產(chǎn)格對珀占優(yōu).故雅可比他代、高斯一塞鎏爾迭代均收斂.雅可比迭代格式為。產(chǎn)”】_2_ot_1r«i_121 -52百，廿工產(chǎn)口=；工產(chǎn)Jh產(chǎn)+5.TTM_1_*）I'I3+而給十五，取V二門/，

44、】）'則迭代17次可達(dá)到幅度要求,即/»>=（4.00001gS«2t9999915,2.000QO121高斯塞德爾達(dá)代格式為=2常，產(chǎn)15田12H：-J.='”_±_1公磊+51了產(chǎn)一卷"口11+3j3記小十歷.?。炕枚T.1，則迭代8次可達(dá)到精度要求，即工=（-4.0030186,249gg9915."口OOOC121.1 .tl+2,r：-2,rj1.(2)“a1+3工+工3=1.-2j:j4上尸1.九設(shè)理性方程組M-rd.+0,Izi=1Cl)=G.4工：+*z+0.Sj7,i2fQ.4箝-r0.Sj(+jti3；

45、試考賽解此線性方程組的稚可比迭代法及高斯塞鐫爾迭代法的收斂性.解“)措用比迭代法的迭代矩陣0一仇40.4R：-D(LtU一-0,40-0.80.40,B0IAI-Bj|=(A-O.S)U1-0r8A-0.H2),o(BJ)=1.092股M3】，斯以雅可比迭代法不收斂.高斯-塞德爾迭代法的送代矩陣0-0.4-0.4Rs=-00.16-0.6400.0320.673研公)&|%IIb=。評<1,故高斯塞德爾連代法收斂.(2)雅可比迭代法的迭代蛆陣f0-22，H-DLfL+S=-1。-1，220,IJJ-第I=*5(B)=Q<1.所以雅可比迭代法收斂,高斯一塞德爾迭代法的迭代來陣

46、。一22-<D-L)_1C=023,002lH-%=*a2)、P(EG=2>I,故高斯塞德爾迭代法不收斂.批注：判斷迭代法是否收斂的條件如下:定理7設(shè)息h-B,其中一。-LU為非奇異矩陣，旦對陽矩陣。也非奇異，眠門)部線性方程用的雅可比送代法收斂的充要條件是爪J1<3,其中J=1>'m一).(2)第線性方程組的高斯塞德爾迭代法收斂的充要條件是球C：<t,其中。=(uiJ，S由定理6還可得到雅叫比送代法收斂的充分條件是|J|<1,高斯塞意爾迭代法典點(diǎn)的充分條件是IGO<1.2.7.用號。H方法解線性方程粗【分別取松弛國子a=L03m=l,妙=1.

47、L)4才I-工£=】,t一為4-4,x3=4t一工？-4j：i3+精確解*'=(y,l,-1)要求當(dāng)|丁一苒川|<5、1。7時迭代終止,并且對每一個皿值確定迭代次敗.岸SQR方雀迭代公式為工”一產(chǎn)一“十一H產(chǎn)+為科卜,工廣”=工產(chǎn)+(1+十60-工產(chǎn)+:工拜卜了嚴(yán)卜=淄十"_|_十去工產(chǎn)-工產(chǎn)).當(dāng)取w=1Z3i剪值一)=心儲。A時,迭代5次可達(dá)到精度要求./=(0,5000044,1.fJOOOOl6,-4.99399尸產(chǎn)當(dāng)取小一1,初值戶-M"C)T時.送代6次可達(dá)到精度要求.3"W500COS&r1,0000019,-4.99

48、9995)當(dāng)取出LL材值產(chǎn)=S40)T時t迭代&次可達(dá)到精度要求，H"=(0,500003«,699399H5,0500000(1)1七、第7章非線性方程與方程組的數(shù)值解法什么是方程的有根區(qū)間？它與求根有何關(guān)系？答若“工】匚,見旦/5）/他）0,則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)網(wǎng)知八*）=0在Q內(nèi)至少有個實(shí)根.這時稱N高二為方程汽工）=。的有根區(qū)間，方程求根應(yīng)在有根區(qū)間內(nèi)進(jìn)行.2,什么是二分法？用二分法求人"=0的根J要滿足什么條件？答若八行三匚信同且八口）八八口，根更連虢函數(shù)的性質(zhì)可知八4一C在內(nèi)至少青一個實(shí)根.這晡稱“通二為方程的有根尺間.在有根區(qū)間內(nèi)用以使用二分

49、法.考蒙有根區(qū)間八打,取中點(diǎn)或一Q+冷/2將它分為兩半，敘設(shè)中點(diǎn)心不是人上）的零，點(diǎn)，然后詵行根的搏縈即椅/”上3與八。）是否同號,如果確是聞號，說明朋求的根，在右的古珠,這時令E=4辰=6三否則廣必在4的左側(cè)，這時令a：=fl,=xo.不管出現(xiàn)哪種情況新的有根區(qū)間明,機(jī)的長度僅為&,比長度的一半.對壓縮的有根區(qū)同叫也又可施行同樣的手續(xù)，即用中點(diǎn)回=Q：I由此特區(qū)間41再分為兩華，然后誦過根的搜索判定所求的根在力的哪側(cè)，從而又胸定一個新的有根區(qū)間9，瓦，其長度是可出長度的一半.如此反兄二分下士，即可得出一系列的有根區(qū)間X包D的*品'n的出una,/瓦n,其中號個區(qū)間都是前一個區(qū)

50、間的一華，因此當(dāng)上一時的長度九一G=£6-a）/2"趨于零，就是說.如果二分過程無隔地進(jìn)行下去，這些區(qū)間最箕必收聘于一點(diǎn)二.該點(diǎn)就是所求的根，這就是二分法.3 .寸必是函數(shù)中（工）的不動點(diǎn)？如何確定/工）使它的不動點(diǎn)等價于八小的零點(diǎn)？答若'、1J'.=：+而數(shù)1”，的丁士上，一-；：T；G，一，小|我示上$j（h，的必須滿足/（?。?口，此時求6工）的不動點(diǎn)與求fQ的零點(diǎn)等價.4 .什幺是不動點(diǎn)迭代法？職工）滿足什么條件才能保肝不動點(diǎn)存在和不動點(diǎn)送代序列收斂于手（工）的不動點(diǎn)？答詵擇,個初始近似值或*將它代人工二賦了）的右端，求得不一干（工），如此反復(fù)計算.

51、有工”|=即13在=（hl,如果對任何A£明打，由L述送代班得到的序列石有極限lirnH：=x't+wU則稱迭代方程/-i=M5）收斂，且工.為以工）的不動點(diǎn),諫港代稱為不動點(diǎn)法代法.設(shè)pCOWCL,切，若滿足工1）對任宜£曰小,右心£個（工）&ii.存在正常數(shù)L1使前任意乃丫£明獷都TT“工）一步（iqLIxy,則/工）在白$上存在嘀一的不動點(diǎn)上”.若孤幻6CJ,刈滿足上述條件3）利0）,則對任意卷三*幻，由&a=N力）得到送枇序列工力必收斂到日了）晌不就點(diǎn)，.一_*.5.什么是求解f（x）0的牛頓法？它是否總是收斂的？若f（x

52、）0,x是單根，f光滑，證明牛頓法是局部二階收斂的。答過已知方程f5）=0有近似根丁乂假定rair。,將函數(shù)八外在點(diǎn)八展開,有/（r）/（工1）+f一工”卜門m=0近似地表示為f（JTt）+5乂工一a=Of記其根為我則與u的計算公式為這就是牛蟆法,亦林切黑法.當(dāng)一是八公的,個單根時,中朝法總是收斂的.且為平方收斂.事實(shí)上山牛顛法的迭代函敬時公"工一gS'有q*、.#工）/1（工）當(dāng)主是/"卜的一個單糧.即穴廣）=0/（十）羊。時，有/（一）=0,所以牛頓技收斂，又因與L??；，故）二?二'由奉勒展開八工）TjHLu孑（x*）=+（JT*十中'fH.）&

53、#163;*工）+寧干”（¥）.'!一）*在*與H*之間.£a即編+】=1*+3中%E（h+一="¥,工HIH一1C5工工一ff?!于是配藍(lán)二7=獷=%與即牛頓法是局部二次收斂的，7.什幺是弦域法”試從收斂階及每小漢代計其量號牛頓法比較其差別.答設(shè)工八工是"幻=0的近似根.利用/“0.八4】）構(gòu)造一次播值多項式部行），用內(nèi)（工）=0蚪根作為八一二0的新的近似根父，汁真公式為_/g】H什1-M-7Fixk.1/?f（工*Jr（Xt-i）這就是弦截法.從收斂的上香，牛頓法的收斂階為2,而弦能法的收斂階均為Ltil8,牛頓法優(yōu)于弦般法，但在牛

54、頓法中，每步除計算，（辦）外，還要計算/5C,音函數(shù)人編比較宓雜時，計藥/"）往往較困難.計算量也比較大，而技戡法劃利用已求得的函數(shù)值“及）回避了導(dǎo)致/（MJ的計算，所限從計算量上看.弦覷法優(yōu)于牛頓法一牛頓法與弦截法有著本質(zhì)的區(qū)別，牛艷法屬于，步法，弦截法屬于兩步法.&什么是解方程的拋物段法？在求娶項式全部零點(diǎn)中是否優(yōu)于牛頓送？警改已知方程“工）=。的三個近似根47,以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)是二次輔造窗項式上J）并適當(dāng)選取色Q）的一個零點(diǎn)國力作為新的近似根，這樣硬定的迭代過程稱為批物蛾法.岫物線法是超然性收斂的，收斂速度不如牛鐐法快.9.什么是方程的李根？躍根對牛幀泣收斂階有何的??？M給出具有二階收斂的計聲直根方法，答若f（）=（TTr尸目（工）*整數(shù)制2,科1工）,則族w*為方程f（n）-。的用電根，用牛頓法求里根只能達(dá)到線性收效.對于m重根的情形，若取叭工）=上一嵇斃則/Q'）=o,此時用迭代法加空M，A=o,l，計算具有一野收斂性.當(dāng)然事先得要知道根工的m重數(shù).注：由于埃特金加速方法和斯特芬森加速方法是否考察尚且未知，所以暫不列出。有需要復(fù)習(xí)的同學(xué)請到對應(yīng)章節(jié)查看。附：簡化牛頓法與牛頓下山法牛蚓技的優(yōu)點(diǎn)是收斂快，缺點(diǎn)一是好做迭代要計算及，（北）計算量較大且藥時計尊較因法；一是初始近似t只在根小附近才能保證收斂如心給的不合是可能不收斂.為克服這阿個缺點(diǎn)，