高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)【知識網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制1、將沿x軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角 逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為 負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為 二 kJ360 一； k三Zx 軸上角：匸二 k|j80： ； k Zy 軸上角：匸=90 k|j80” ； k Z3、 第一象限角：1 0 k360 ： ： ： 90： k_360 ? k Z第二象限角：I】90 k60 ： ： ：180) k360 1 k Z第三象限角： 1 - 180； k360 <CL < 270； kj360 ? k Z第四象限角： 270 k360 ： : &l

2、t;360 k衛(wèi)60 ? k Z4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于 90的角第一象限角：J 0 kb60 ： ： ： 90 k_360)k Z銳角：ot 0"£90小于90的角：叫口 £90仆5、若為第二象限角，那么 二為第幾象限角？2jijian2k： _ ： - 二 2kkk二24225 二3'：k =0,k =1,4242所以在第一、三象限26、 弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為1弧度的圓心角，記作1rad .-r180 °7、 角度與弧度的轉(zhuǎn)化：10.01745 1二怛 57.30' =57 18180兀&角度與弧度對

3、應(yīng)表:角度0。30"44560"90，120"135"150"180“360"弧度0兀jr2兀3兀5兀6432346Ji29、弧長與面積計算公式1 1 2弧長：泊R ;面積：S I RR2，注意：這里的：均為弧度制22二、任意角的三角函數(shù)1、正弦：sina =-；余弦 cos。=-；y正切tana =P（x, y）rrxr r/其中（x, y ）為角g終邊上任意點(diǎn)坐標(biāo)，r = Jx2 +y2 ./ a2、三角函數(shù)值對應(yīng)表:度A0"30c45：60：90120c135；150：180c270s360弧度0JtJI2兀3兀5兀3

4、兀2兀一一ji64323462si na01至迥1旦421010222222cos a1返百101逅43-101222222tan a0魚31無-靈-1爲(wèi)30無03、三角函數(shù)在各象限中的符號學(xué)習(xí)必備歡迎下載sin :-.x>0,y 0sin.x<0,y0sin.x<0,y<0sin.x>0,y<0sin第一象限:芒,0,cos 芒,O,tan ：. 0,第二象限:-O,cos ： ： 0,tan ： ： 0,第三象限:O,cos ： ： O,tan ：0,第四象限:O,cos ：0,tan ： ： 0,tan :-學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、三角函數(shù)

5、線設(shè)任意角川的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 過P作x軸的垂線，垂足為P (x, y)，A(1,0)作單位圓的切線，它與角:-的終邊或其反向0,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與 M ；過點(diǎn)學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段OM = x, MP = y，于是有sin - =yry=y = MP , cos =1r學(xué)習(xí)必備歡迎下載tan ：=xMP AT _ AT .OM OA我們就分別稱有向線段 MP,OM , AT為正弦線、余弦線、正切線 。5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式2 2sin 鳥"cos 1sin a.tantan cot： =1cos a(sin ：亠co

6、st)2=1 2 sin ： cos:(sin ： -cost)2=1 2sin _：匚 cos j（sin“：亠cos：,sin ： - cos： , sin :- COS-：,二式之間可以互相表示）學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載6、誘導(dǎo)公式學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載口訣：奇變偶不變s"(2,符號看象限（所謂奇偶指的是2中整數(shù)n的奇偶性, n n（-1）2sin用,n為偶數(shù)+ a)= “J-1) 2 cos。,n為奇數(shù)；cosFMcos®2(-1)2 sin :把:-看作銳角）n為偶數(shù),n為奇數(shù).公式（一）：與"2k 二，kZsin（j、2k 二）二si

7、 nr ； cos（_：i、2k 二）二cost； tan（_：、2k 二）二ta nrsin - -sin ： ； cos -cos： ； tan 八 -tan：.公式（三）：與二*sin : - - - -sin ： ； cos 二 ：-cos： ； tan : - - - tan：.公式（四）：與: -：sin 二一：二sin： ； cos 二一：二一cos： ； tan 二一：二一tan：.公式（五）：與一*2(ji sin -2(ji二cos： ; cosI 一 ：12-sin :；.公式（六）：與一 -2(ji sin I2(ji二 cos ： ; cos - ：(2二 sin 二

8、；公式（七）3 二:-與亠很23 -)|3 丄)! 1 +a-cos £ ； cos -2 . 2公式（八）3 二:-與3 :=sin ：;sin.2學(xué)習(xí)必備歡迎下載sin 竺一cos： ; cos 聖一sin：;2 2三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、 將函數(shù)y二si nx的圖象上所有的點(diǎn)，向左（右）平移門個單位長度，得到函數(shù) y =s in的圖象；再將函一 1數(shù)y=si n的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的 一倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=si nix-co的圖象；再將函數(shù) y=sinX :的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）至噸來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y = Asin

9、- x-的圖象。2、函數(shù)y=Asini ux： i A 0廣、0的性質(zhì)：2 兀1eq振幅：A :周期：T:頻率：f:相位：:初相：。T 2兀3、 周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f x，如果存在一個非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個X值，都滿足f xf x，那么函數(shù)f x就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期k兀+ 護(hù)4、 y = Asin（，x ）對稱軸：令，x 二 一，得 x =22灼k兀®kn 半對稱中心： X，得 x=, （-,0）（k. Z）;coo兀 _ cpy二Acos（x川）對稱軸：令 X 二k二，得x =©k兀+半kn: +半對稱中心： X = k ，得 x, （,0

10、）（k Z）;2 ;.? ;.?周期公式：函數(shù)y = Asin（，x ：；*'）及 y = Acos（，x J 的周期 T（A3、為常數(shù)，且AM 0）.學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)y =Atan-的周期T = （A、3、為常數(shù)，且amo）.5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格學(xué)習(xí)必備歡迎下載疋義域RRf兀Qxxk兀+,kZI2J值 域1-1,11-1,1R最值當(dāng)x=2k兀+戈（kZ ）時， 2ymax =1 ；當(dāng)x =2k兀一扌（k e Z）時，min = -1 -當(dāng) x = 2k兀(k Z )時，ymax =1 ；當(dāng) X = 2kn(k 匕 Z )時，ymin = -1 既無最大值也

11、無最小值周 期 性2兀2兀ji奇 偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單 調(diào) 性在-上+2",上十2k兀11 2 2 （kZ ）上是增函數(shù)；亠兀3兀在+2", +2kn122（kZ ）上是減函數(shù).在一兀十2k?r ,2k兀（k乏Z ）上是增函數(shù)；在 I2k兀，2k兀 + 兀 I （k e Z ）上是減函數(shù).z . (HIT )在 k兀一一,k兀+122丿(k Z )上是增函數(shù).對 稱 性對稱中心（k兀,0 XZ ）3T對稱軸x=k兀+ （kz ）2對稱中心（兀）k兀 +,0（" Z ）12丿丿對稱軸x = k兀（k e z ）對稱中心血,0Z ）1 2丿 ：無對稱軸6. 五點(diǎn)

12、法作y =AsinC，x ：；冷）的簡圖，設(shè)t = x- -，取0、二、2 來求相應(yīng)x的值以及對應(yīng)的y值2 2再描點(diǎn)作圖。y = AsinC，x 的的圖像學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一種李換:y = sin x圖象向左(卩>0 )或向右(卩平移個單倉丁二sm(x+訶)1橫坐標(biāo)伸長(0 <血V 1 )或縮短(G > 1)到原來的-倍* y - sin(tzzr + (p)縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)悴長(A>1)或縮短到原來的a倍y = A sin(r+)1y-smajx植坐標(biāo)不變第二變換：-霧坐標(biāo)伸長(0<<1 )或縮短(6>>1)到原來的石v sin jy:縱坐標(biāo)不

13、變圖象向左)或,一,y = siii(fitY+ cp) 向右(卩<0)平移旦個單位G>縱坐標(biāo)伸長(AA1 )或縮短(0<A<l )到原來的A倍 vA血(莎十卩)橫坐標(biāo)不變8. 函數(shù)的變換：(1)函數(shù)的平移變換 y = f (x) r y = f (x 二 a)(a 0)將y = f (x)圖像沿x軸向左(右)平移 a個單位(左加右減) y = f (x) r y = f (x)二 b(b 0)將y = f (x)圖像沿y軸向上(下)平移 b個單位(上加下減)(2)函數(shù)的伸縮變換:二 f (wx)(w 0)1 一將y二f (x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的倍(w 1

14、縮短,w0 w : 1 伸長)= Af(x)(A 0)將y = f (x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍(A 1伸長,學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載0 A : 1 縮短)(3) 函數(shù)的對稱變換:(整體翻折)(整體翻折) y 二 f (x)_. y = f (-x)將 y 二 f (x)圖像繞 y軸翻折 180(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 x軸對稱) y二f(x)y二_f(x)將y二f(x)圖像繞x軸翻折180 °(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱) y二f (x) > y = f (x)將y二f (X)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)

15、y = f(x)； y = f(x)保留y = f(x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動)四、三角恒等變換學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:(1)sin(用、|，) =sincos|： 、sin ： cos.(2)sin(沱I') =sin ： cosF sin ： cos :(3)cos(： I') =cos： cosl； sin： sin -(4)cos(i IJ = cos： cos 1 sin： sin 1(5)tana +tan Ptan(很亠卩)tan tan= ta-1 tan tan1 -tanot tan

16、 P(6),住、tana tan卩任，任,任tan(j).tan： tan1= tan 仙 “ 一 1 tan taasinx >bcos： = .a2 b2 sin(： 亠門)(其 中,輔助角所在象限由點(diǎn)（a,b）所在的象限決定 5 'Jb2，cos2=2，曲洋，該法也叫合一變形）.(8) L“an(1r1 - ta n&4匕匹二tan)1 ta n42.二倍角公式(1) sin2a =2sinacosa2 2(2) cos2a =cos a -sin a=1 -2sin-1丄 小2ta natan 2a(3)1 -tan a3.降幕公式：21 cos2acos a.2

17、1 -cos2asin a 二4.升幕公式2a(1)1 cos ： = 2 cos2(2)01Ot 2(3)1 -sin ：二(sin2二 COS )2(4)ota(5)sin ： = 2sin cos (2)22 21 =sin 二 cos :2 22®1 -cos ： = 2 sin 2(1)5.半角公式（符號的選擇由e所在的象限確定）2sin一(1) 21 cosa2(2)a 1 cosaco才學(xué)習(xí)必備歡迎下載sina 1 - cos a1 cosa sin atan_/-C0Sa(3)2, 1 cosa學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載6.萬能公式：_ a2 tan (1)si

18、n ：二1+ta n2 上22 ：'1 - ta n (2) cos：二2 a1 tan2 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載a（3）tan：2ta n 21 -ta n2 丄7.三角變換：三角變換是運(yùn)算化簡過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、化簡的方法技能。（1）角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：asin 日 + bcosT = Ja2 + b2 sin(日 + 甲)其中 cos _ asins _by = sin x + 品 cos

19、x2 | 2 ' 2 . 2 a ba b ，比如：-12 (.3)2(1,12 - ( 3)2sinx3J12 +(V3)2cosx)學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 . 3二二二= 2(sinx cosx) =2(sin xcoscosxsin )=2sin(x ) - - - - -， :-二典312二，sin( ) ，則 cos( ) = ?54134（3）注意"湊角”運(yùn)用-2 2333例如：已知、：（3 ,二），sin（二 '二：454131”可轉(zhuǎn)化為（4）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“sin2 ：cos2 :（5） 幕的變換：對次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降幕處理，有時需要升幕例如：J cosa常用升幕化為 有理式。（6）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。（7）結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項，或變乘為除，或求 差等等。在形式上有時需要和差與積的互化、分解因式、配方等。（8）消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法（