矩陣的秩的相關(guān)不等式的歸納小結(jié)

1、矩陣的秩的相關(guān)不等式的歸納小結(jié)林松(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建，莆田)摘要：利用分塊矩陣，證明一些矩陣的秩的相關(guān)不等式，觀察矩陣在運算后秩的變化，歸納出常見的有關(guān)矩陣的秩的不等式，由此引出等式成立的條件。關(guān)鍵詞：矩陣的秩，矩陣的初等變換引言：矩陣的秩是指矩陣中行(或列)向量組的秩，與之等價的說法通常是指矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)，是矩陣最重要的數(shù)字特征之一。利用分塊矩陣，把子式看成元素，可將高階矩陣的運算化為較低階矩陣的運算，也為矩陣的秩的一些常見不等式的證明帶來了方便。本文將討論矩陣的秩的一些常見不等式，并由此引出一些秩的不等式等號成立的等價條件。一基本的定理1 設(shè)A是數(shù)域P上nm矩陣，B是數(shù)域

2、上ms矩陣，于是秩(AB)Emin秩(A),秩(B),即乘積的秩不超過個因子的秩2 設(shè)A與B是mMn矩陣，秩(A士B)M秩(A)+秩(B)二常見的秩的不等式1設(shè)A與B為n階方陣，證明若AB=0,則r(A)+r(B)<n證：設(shè)r(A)=r,r(B)=s,則由AB=0,知，B的每一列向量都是以A為系數(shù)方陣的齊次線性方程組的解向量。當(dāng)r=n時，由于該齊次方程組只要零解，故此時B=0,即此時r(A)=n,r(B)=0,結(jié)論成立。當(dāng)rn時，該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含n-r個向量，從而B的列向量組的秩<n-r,即r(B)<n-r所以r(A)+r(B)<n2設(shè)A為m父n矩陣，B為

3、n父s矩陣，證明不等式r(AB)<r(A)+r(B)-n證：設(shè)E為n階單位矩陣，ES為S階單位方陣，則由于ZAABi'EBA0、<E。八0-Es/<EB)隹B皿而可逆，故、。-EsJr(A)+r(B)lE(AAB)lE0=秩0ABlE0從而r(AB)=r(AB)+r(E)=r(AB)+n_r(A)+r(B)-n3設(shè)A,B都是n階方陣，E是n階單位方陣，證明秩（AB-E）E秩（A-E）+秩（B-E）證：因為fA-Eb-eWb0)Mb-eB-E-E0、B-E0、0，故秩（AB-E）W秩AB-EB-E0、AEB-EB-J秩(A-E)+秩(B-E)因此秩（AB-E）W秩（A-

4、E）+秩（B-E）4設(shè)A,B,C依次為mMn,nMs,sMt的矩陣，證明r(ABC),r(AB)+r(BC)-r(B)證：設(shè)Es，Et分別為，s,t階單位矩陣，則由于ABABCT'Es<B0八0C_AB0'嗚廠IBBCJ但C、且s是可逆矩陣，故<0-EtJAB0"/ABABC)工"0ABC)r(AB)+r(BC)E秩=秩|=<BBCJB0；IB0J=r(ABC)+r(B)從而r(ABC)-r(AB)+r(BC)-r(B)5設(shè)A,B都是n階矩陣，證明；r(AB+A+B)<r(A)+r(B)證明：r(AB+A+B)=r(A(B+E)+B)

5、利用基本定理二Wr(A(B+E)+r(B)利用基本定理一-r(A)+r(B)6設(shè)A,C均為mxn矩陣，B,D均為nxs矩陣，證明r(AB-CD)<r(A-C)+r(B-D)證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知CA-C0VEnB)M-CAB-CD、0Es由此易知r(A-C)+r(B-D)=r<A-CABCD)_r(AB-CD)從而得r(AB-CD<r(A-C)+r(B-D)不等式等號成立的探討設(shè)A,B分別為mxn和n父m矩陣，則r(AB)=r(A)+r(B)-n的充分條件為:F°=r；A°1證明:E-AA_°E-E肥-BM°B_°-AB

6、E-B_°-ABBP°E-E°B_°01B°rE-AB°-AB°=rAB+n=rA+rBrAB=rA+rB-n2設(shè)A,B分別為mxn和n父m矩陣，則r(AB)=r(A)+r(B)-n的充分必要條件為存在矩陣X、Y,使得XA+BY=En證明：根據(jù)題三1,只需要證明r°=JA°1EB-cr_°B存在X、Y,使得XA+BY=En由Em0A0Enu由IIIl-XEnEnB-YA0一!En-XA-BYB_A當(dāng)XA+BY=En時，rIErAB=rA+rB-n0mA0肥01EmJl-AXB-YEm0MAoB0

7、B、口怎0)，ES=設(shè)PiAQi=,F2BQ2=<00；<00、0，P<00Ya0YQi0'P人0B人0Q2JPA0YQ1P2B人0PAQ10、<0P2BQ2JEr000"000000Es0<0000>P0yA0俾0、<0pJeB八0Q2_PA0YQ10、飛P2BA0Q2J_PAQ10、-1BQ1耳BQ?Er000、0000=C1C2ES0GC400,對式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去C1,C2,C3,由于式（1）,式（2）右端方陣秩相等，故在消去C1,C2,C3時也消去了C4,對式（2）右端分塊記為值0）'Es0CC2

8、）其中F1=,F2=,C=-0；o0；9C4j于是上述消去a的行變換相當(dāng)于C10fEr°+cC2=r。0;100;C4JC4；消去其余C2,C3,C4有類似的結(jié)果，這樣初等變換就相當(dāng)于存在矩陣S,T,使SF1=TF2+C=0,即SP1AQ1+F2BQ2T+叩=0從而有令得XABY=En3 設(shè)A,B,分另1J為m父n,n父1,l父m矩陣，而B的一個滿秩分解是B=HL即H是列滿秩矩陣，L是行滿秩矩陣，則r(ABC尸r(AB)+r(BC)-r(B)的充要條件是存在矩陣X,Y使得XAHLCY=Er證明：設(shè)r(B)=r,因為B=HL是滿秩分解所以有r(AB)=r(AHL)=r(AH)r(BC)

9、=r(HLC)=r(LC)貝Ur(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)=r(AHLC)=r(AH)+r(LC)-r又由上題得r(AHLC)=r(AH)+r(LC)-ru矩陣X,Y使得XAH+LCY=Er所以3得證4 設(shè)A為n階矩陣，證明如果A2=E,那么r(A+E)+r(A-E)=n證明：/(A+E)(A-E)=A2+A-A-E=E-E=0r(A+E)+r(A-E)Wnr(A+E)+r(AE)之r(A+E+A-E)=r(2A)=r(A);A2=E，A2=E,即A#0,r(A)=nr(A+E)+r(A-E)_n故r(A+E)+r(A-E)=n5設(shè)A為n階矩陣，且A2=A,證明r(A)+r(

10、A-E)=n證明：由A2=A,可得A(A-E)=0由題一1知，r(A)+r(A-E)<n又因為E-A和A-E有相同的秩n=r(E)=r(A+E-A)<r(A)+r(E-A)從而r(A)+r(A-E)=n6設(shè)A是階矩陣，則A3=A的充分必要條件是r(A)=r(A-A2)+r(A+A2)證明：必要性一方面，由A3=Au(E-A)A(E+A)=0由題二4知0之r(E-A)A+rA(E+A)-r(A)即r(A)之r(A-仗)+r(A+A2)另一方面，由r(A-A2)+r(A+A2)>r(A-A2)+(A+A2)=r(2A)=r(A)2-2所以r(A)=r(A-A)+r(A+A)充分性若r(A)=r(A-A2)+r(A+A2)設(shè)r(A)=r,A的滿秩分解是A=HL,則存在X,Y使(2X)H=Er,L(2Y)=Er成立則X(E-A)H+L(E-A)Y=