離散傅里葉變換

1、第三章離散傅立葉變換DFT3. 1引言有限長序列在數(shù)字信號處理是很重要的一種序列,當然可以用Z變換和傅里葉變換來研究它,但是,可以導由反映它的"有限長"特點的一種有用工具是離散傅里葉變換DFT離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法在理論上相當重要之外,而且由于存在著計算離散傅里葉變換的有效快速算法,因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號處理的算法中起著核心的作用.有限長序列的離散傅里葉變換DFT和周期序列的離散傅里葉級數(shù)DFS本質(zhì)上是一樣的.為了更好地理解DFT,需要先討論周期序列的離散傅里葉級數(shù)DFSo而為了討論離散傅里葉級數(shù)及離散傅里葉變換,我們首先往返憶并討論傅

2、里葉變換的幾種可能形式.連續(xù)時間信號：如果在討論的時間間隔內(nèi),除假設干不連續(xù)點之外,對于任意時間值都可給由確定的函數(shù)值,此信號就稱為連續(xù)時間信號.一、連續(xù)時間、連續(xù)頻率一一連續(xù)傅立葉變換FT設xt為連續(xù)時間非周期信號,傅里葉變換關(guān)系如下列圖所示:工“Mg雙4=式加一沁士由Jco武£=；:陽歷3,口C條件二由8可以看由時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而時域的非連續(xù),非周期非上期,連4周期造成頻域是連續(xù)的譜.、連續(xù)時間,離散頻率傅里葉級數(shù)設f(t)代表一個周期為T1的周期性連續(xù)時間函數(shù),f可展成傅里葉級數(shù),其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為Fn,f(t)和Fn組成變換對,表示為：f(t)=Fne-2

3、二Ti=Ci)1T1Fn=；2if(t)eT1注意符號：如果是周期性的采樣脈沖信樣間隔).采樣脈沖信號的頻率為"號p(t),周期用T表示(采_2二sT11Th可以看由時域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而時域的周期造成頻域是離散的譜三、離散時間,連續(xù)頻率序列的傅里葉修續(xù),周修(時域周期為Ti)三士周期,消散(離散間隔為巴)變換OO-_/X(ej0)=Zx(n)e®n正變換：DTFTx(n)=n=二反變換：DTFT-1X(ej°)=x(n)=%冗二X(e0gnd.可以看由時域離散函數(shù)造成頻域是周期的譜,而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜X(e多級數(shù)收斂條件為|njX(n

4、)j|=nllX(n)1"離散,非周斗離散時間間隔為T周%,連續(xù)1頻域周期為2n=QsT四、離散時間,離散頻率.一離散傅里葉變換黨問:盅融和周網(wǎng)I上面討論的三種傅里葉變換對,都不適用在計算機上運算,由于至少在一個域時域或頻域中,函數(shù)是連續(xù)的.因為從數(shù)字計算角度,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況,這就是我們這里要談到的離散傅里葉變換.二,卜Q=2"71'I4I4|HIikQI*口J時域抽樣間隔T,頻域周期Cs=2n/T,時域周期T1,頻域抽樣間隔1=2-/T1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)設(2是周期為N的一個周期序列,即(n)=(n+rN),r為任意整數(shù).

5、和連續(xù)時間周期信號一樣,周期序列可用離散傅里葉級數(shù)來表示.離散傅里葉級數(shù)(DFS)對:.4、,r.一一正變換X(k)=DFSx(n)=N1xx(n)en=9,2NrknN1(n)WN1kn力-二二k：二二反變換(n)=|DFS父(k)=1NJN±X(k)ejNkn1N一、')<(k)WNJnk=Nkzs-二：n：二式中,WN=e,k和n均為整數(shù).N1-j22kn、'、'(n)eN觀祭X(k)=nV.X(k)是一個周期序列嗎？如是,周期為多少？N4產(chǎn)kn=£(n)eNn=X(k)°N1-_j2"(k4mN)X(kmN)=

6、9;(n)eNn=S所以.父(k)是一個周期序列,周期為N(n),周期為NXk),周期也為NN1Njmkn觀察文n)=N*X(k)e",與連續(xù)時間信號與系統(tǒng)中的傅里葉級數(shù)對應,說明將周期序列分解成N個獨立諧波分量.第0次諧波序列e號0n,基波序列e尋,第N-1次諧波序列ej加ej乎,第k次諧波序列諧波頻率以=(2,/N)k,k=0,1,2,N-1,幅度為(1/N)4(k).例如：基波分量的頻率為2n/N,幅度是(1/N)O(1).一個周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律.例題：劉n)如下圖,求(n)的DFS1X(4)'IL01234567解：父(k)=DFS(n)=N_

7、jmn'X(n)eNn=0N4'、(n)W:n=0-jkne8-二：k：二1T%5二1 e1-ejT2j3k=1-e_j歸kn3'、X(n)e8'、X(k)=n=0=n=0T二kj-k-j-k88=e(e-e)=|X(k)|如下列圖所示.=1-e4-j-kj-k一二ke2(e2-e2)jisin-k_2_jisink,8,-«<k11丘因01234561Nnk-x(n)WN=nH(3.1.(1)1NJ一、X(k)WNk=Nkz0(3.1.(2)解：1DFT變換區(qū)間N=8,那么:_j22k47工x(n)eX(k)=n田''盧n38、

8、=n=0一名kn81-e8j?=1-e81-e*=G離散傅立葉變換DFT周期序列實際上只有有限個序列值才有意義,因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列,這就可以得到有限長序列的傅里葉變換DFT.設xn是一個長度為M的有限長序列,N_j2二nk正變換X(k)=DFTx(n)=n.x(n)ek=0,1,2,N-11-j2"knX(k)eN反變換x(n)=IDFTX(k)=Nn=0,1,2,N-1式中WN=eN,N稱為DFT變換區(qū)間長度,N>MO例3.1.1:x(n)=R4(n),求x(n)的8點和16點DFT_三sin-ke82-k=0,1,7nsink8,(2)DFT變換

9、區(qū)間N=16,那么:15-jkn3-jkn“x(n)e16%e16X(k)=n<=n/j3二kSinke164-sini6k,k=0,1,15DFS與DFT的關(guān)系1、有限長序列和周期序列的關(guān)系設x(n)是一個長度為M的有限長序列,以N(N>M)為周期進行周期延拓得(n).(n)是x(n)的周期延拓.如下列圖所示：0113456?M=4,N=8,以N=8進行周期延拓.(n)的周期為8.用式子表示：OQ'、x(nrN)x(n)=y或)=乂(門模N)=x(n)N,(n模N)表示n對N取余例：設(n)是以N=8周期對有限長序列x(n)(長度M=4)進行周期延拓得到的.(七)=x(3

10、),x(10)=x(2)o有限長序列進行周期延拓得到周期序列.定義：周期序列(n)中從n=0到N-1的第一個周期為(n)的主值區(qū)間,而主值區(qū)間上的序列稱為(n)的主值序列周期序列的主值序列是有限長序列利用前面的矩形序列符號RN(n)RN(n)=1,0<n<N-1.0,其他nx(n)=(n)RN(n)x(n)的周期延拓序列是(n);(n)=x(n)n(n)的主值序列是x(n);x(n)=(n)RN(n)同理把頻域周期序列父(k)也看作是有限長序列X(k)的周期延拓.X(k)是0(k)的主值序列*>、.、一一X(k)的周期延拓序列是X(k)；x(k)=X(k)n父(k)的主值序列

11、是X(k)；X(k)=0(k)RN(n)具體而言,我們把時域周期序列t(n)看作是有限長序列x(n)的周期延拓；同理把頻域周期序列X(k)也看作是有限長序列X(k)的周期延拓.這樣我們只要把DFS的定義式兩邊取主值區(qū)間,就得到了一個關(guān)于有限長序列的時頻域?qū)淖儞Q對.這就是數(shù)字信號處理課程里最重要的變換離散傅里葉變換(DFT).離散傅立葉級數(shù)(DFS)正變換_X(k)=DFSx(n)=對：N_j,n“x(n)eNnz0N、(n)W:n=0-二：二k：二二1N4jkn1N反變換LX(k)eN工X(k)WNx(n)=|DFSX(k)=Nkf=N«式中,/WN=e,k和n均為整數(shù).離散傅里

12、葉變換(DFT)N1x(n)WNnk正變換：X(k)=DFTx(n)=n,0<k<N-1N1nk反變換：x(n)=IDFTx(k)=NX(k),0<n<N-1NJe'、x(n)W:或：x(k)=n且RN(k)=x(k)RN(k)1Nd'、X(k)WNkx(n)=N«RN(n)=x(n)RN(n)DFT隱含有周期性.DFT和Z變換的關(guān)系設序列x(n)的長度為N,其Z變換和DFT分別為：X(z)=£x(n)z0<z<QOn=jodN1一_nkx(k)=DFTx(n)=x(n)N,0<k<N-1比擬上面兩式可以得到：

13、x(k)=X(zzJn兀,0<k<N-1(3.1.3)或X(k)=X(ejO)j£k,0<k<N-1(3.1.4)(3.1.3)說明序列x(n)的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣.(3.1.4)說明x(k)是x(n)的傅立葉變換X(e與在區(qū)間0,2兀上的N點等間隔采樣.這就是DFT的物理意義.由此可見,DFT的變換區(qū)間長度N不同,表示對X(e?在0,2兀區(qū)間上的采樣間隔和采樣點數(shù)不同,所以DFT的變換結(jié)果不同.例3.1.1中,x(n)=R4(n),DFT變換區(qū)間長度N分別取8點和16點,x(k)結(jié)果不同.下列圖為R4(n)的傅立葉變換x(

14、e嗎和R4(n)的8點、16點x(k)的對應圖.BP3.1.1X*)與X(L)的關(guān)系3.2離散傅立葉變換的性質(zhì)一、線性設Xi(n)、X2(n)是兩個有限長序列,長度分別為Ni,N2,且y(n)=aXi(n)+bX2(n),a,b為常數(shù).N=maXNi,N2oXi(n)有限長序列,長度為N；X2(n)有限長序列,長度為N；y(n)有限長序列,長度為N;Xi(n)的N點DFT為:Xi(k)=DFTXi(n)=0<k<N-1N_1'Xi(n)WNnkn=0X2(n)的N點DFT為:X2(k)=DFTX2(n)=NX2(n)WN1kn=0y(n)的N點DFT為:0<k<

15、N-1N1'y(nW:Y(k)=DFTy(n)=n±N1一_nk(axi(n)bx2(n)WN=n£=aXi(k)+bX2(k)0<k<N-1二、循環(huán)移位定理1、序列的循環(huán)移位設x(n)為有限長序列,長度為y(n)-x(nm)NRn(n)(322)說明先將x(n)以NN,那么x(n)的循環(huán)移位定義為(322)為周期進行周期延拓得到序列(n)=x(n)N,再將(n)左移得到X(n+m),最后取X(n+m)主值區(qū)間(n=0至UN-1)上的序列值,那么得到有限長序列x(n)的循環(huán)移位序列y(n).過程如下列圖所示：y(n)=x(nm)NRn(n)I訓)I-rr

16、lllhrlhlrrllltTfll-：-%*1看iM加際i肅口.其)|.|N|IIII二Jt(.十加).一一.-"310MII圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖(N=6)2、 時域循環(huán)移位定理設x(n)為有限長序列,長度為N,y(n)為x(n)的循環(huán)移位序列,即y(n)=x(n+m)NRN(n),那么mk-Y (k)=DFTy(n)=DFTx(nm)NRn(n)=WnX(k)其中x(k)=DFTx(n),0<k<N-1N-4x(nm)NRn(n)W；n證實：Y(k)=DFTy(n)fNNN1'、x(nm)NW：n=n=0令n+m=n,貝U有N口加xj'k(n

17、-m)X(A)nWnY(k)=n£N：,mWN-km-x(n)NW；n,一nm由于上式中求和項以N為周期,所以對其在任一周期上的求和結(jié)果相同.將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)間,那么得：NW/x(n)NWNknY (k)=n衛(wèi)Nkm-z'knWnx(n)WNY n0=WN4mx(k),Q<k<N-13、 頻域循環(huán)移位定理如果x(k)DFTx(n),Q<k<N-1Y(k)X(kDnRn*)那么：y(n)IDFTY(k)W；x(n)NJ1'、X(kl)NRN(k)WN細證實：y(n)IDFTY(k)nyN1-X(kI)nWn,Nk王令k+1k',

18、那么有：N1l1'、X(k')NWN«)ny(n)nk,士NilXA/nl/-'、X(k)NWN“n、WN(Nk,)N4WN"1WN"1工'X(k')NWN,n、NkW)工'X(k)WNNk,$N4WNnlx(n)三、循環(huán)卷積定理有限長序列x1(n)和x2(n),長度分別為N1和N2,N=maxN1,N2.xi(n)和X2(n)的N點DFT分別為:Xi(k尸DFTXi(n)X2(k尸DFTX2(n)如果X(k)=Xi(k)X2(k)那么：x(n)=IDFTX(k)=NJXi(m)x2(n-m)N1RN(n)m=0循環(huán)

19、卷積過程:工式(一市)獨-回uin二-01134567nnn,mIjil-循環(huán)卷積過程中,要求對循環(huán)反轉(zhuǎn),循環(huán)移位,特別是兩個長度位N的序列的循環(huán)卷積長度仍為No顯然與一般的線性卷積不同,故稱為循環(huán)卷積.記為：x(n)二*1(%)(©修(盟)N1Xi(m)X2(n-m)NRN(n)=m=0四、復共輾序列的DFT設X(n)是x(n)的復共輾序列,長度為N,X(k)=DFTX(n),貝UDFTX*(n)=X*(N-k)0<k<N-1日X(N)=X(0)N4*2：X(n)WN1k證實：DFTX(n)=n$RN(k)N1-_nk*x(iWn=n.'"Rn(QN_

20、1RN(k)x(n)wNN-k)n*n衛(wèi)*=x(N-k)NRN(k)*_.=x(N-k),0<k<N-1X(k)=DFTx(n),那么DFTx*(N-n)=X*(k)證實：X(k)=DFTx(n),即1NiNj2_knX(k)WNkX(k)eNx(n)=|DFTX(k)=N«=Nk/N11(N_n)kX(k)WNx(N-n)=Nkzo1NJX(k)WN1k-Nk田1N1*'、X(k)WN1kx(N-n)=N"NNJI_*_nkX(k)WN=Nk=0=IDFTX(k)即DFTx*(N-n)=X*(k)五、DFT的共輾對稱性第二章2.2節(jié)中已詳細討論了序列傅

21、立葉變換的對稱性,那里的對稱性是指關(guān)于坐標原點的縱坐標對稱性.DFT也有對稱性,但由于DFT中討論的序列x(n)及其離散傅立葉變換X(k)均為有限長序列,且定義區(qū)間為0到N-1,所以這里的對稱性是指關(guān)于N/2點的對稱性.下面討論DFT的共輾對稱性質(zhì).1、 有限長共輾對稱序列和共輾反對稱序列為了區(qū)別于序列傅立葉變換中所定義的共輾對稱和共輾反對稱序列,下面用右和%p(n)分別表7K有限長共輾對稱序列和共輾反對稱序列.二者的定義如下：一*Xep(n)=Xep(Nn),CKnWN-1*弱=_xop(Nn),00nWN-1(關(guān)于N/2點的對稱性)當N為偶數(shù)時,將上式的一一,N一、*N一、Xep(_2_n

22、)_Xep(-n)當N為奇數(shù)時,將上式的n換成N/2-n,得到0<n<N/2-1n換成(N-1)/2-n,得到,N-1八*N1.、0<n<(N-1)/2-1Xep(2n)_Xep(2n)任意有限長序列X(n)可表示成共輾對稱分量和共輾反對稱分量之和.X(n)=Xep(n)+Xop(n)0<n<N-1將上式中的n換成N-n,弁取復共軻,得到：*x(N-n)=Xep(N-n)+Xop(N-n)=Xep(n).Xop(n)1/.Xep(n)=2(X(n)+x(N-n)1Xop(n)=2(X(n)x(Nn)2、 DFT的共輾對稱性(1)將有限長序列x(n)分成實部與

23、虛部,即:x(n)=Xr(n)+jXi(n)那么：X(k)=Xep(k)Xop(k)1*,、證實：Xr(n)=2(x(n)+x(n)1DFTxr(n)=2(X(k)+X(N-k)=Xep(k)1jxi(n)=2(x(n)-x(n)1,、_*、DFTjxi=2(x的_x(N-k)=Xop(k)(2)將有限長序列x(n)分成共輾對稱局部和共輾反對稱局部,即x(n)=xep(n)+-p(n),0wnwN-1那么：X(k)=XR(k)jXi(k)1證實：xep=2(x(n)+x*(Nn)1DFTx即=2(X(k)+X*(k)=XR(k)1xop(n)=2(x(n)-x*(N-n)1DFTxop(n)=

24、2(X(k)X*(k)=jXI(k)3.3頻率域抽樣理論時域采樣定理告訴我們,在一定條件下,可以由時域采樣信號恢復原來的連續(xù)信號.那么能不能也由頻域采樣信號恢復頻域連續(xù)信號？頻域采樣理論是什么？序列x(n)及序列x(n)的長度為M.x(n)的Z變換為：X(Z)Lx(n)z由于X(z)收斂域包含單位圓,所以其序列傅立葉變換X(ej°)存在.對X(ej«)在區(qū)間0,2兀上進行N點等間隔采樣(對X(z)在單位圓上進行N點等間隔采樣),得到X(k)或X(k)工,j2；,kn2qx(n)eNX(k)=X(z)卜Rns-,0<k<N-1將X(k)進行IDFS得周期序列將),

25、取X(n)的主值序列Xn(n)?刈與原序列x(n)相等嗎？相等的條件是什么？由此導由頻域采樣定理.x(n)=IDFSX(k)NJLX(k)WN=Nkz0INJ一、'X(k)WN"k=Nk=0N二x(m)wNmWN"k=Nk=0m二-.Nd'、x(m)%W;mwL=m-.：Nk=0=x(n+rN),r為整數(shù)oON-1J'W：(2)Nk=0二x(nrN)=J1m=n+rN,r為整數(shù)00其他mQO.x(n)、x(nrN)=r從上式得：X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的IDFS,為原序列x(n)以n為周期的周期延拓序列.xn=(n)RN(n)=oO

26、LX(nrN)RN(n)(3.3.3)所以只有當頻域采樣點數(shù)N>M時,才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由頻域采樣X(k)恢復原序列X(n),否那么產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象.這就是頻域采樣定理.滿足頻域采樣定理,NAM,即可由頻域采樣x(k)來表示的x(z).設序列x(n)長度為M,在頻域02兀之間等間隔采樣N點,N>MoN1X(z)=x(x(n)zJn=0x(k)=x(z)|z戶,0<k<N-1根據(jù)頻域抽樣定理,1NX(k)WNkx(n)=|DFTX(k)=NyN1N,X(z)="X(k)WN"kz"n=0Nk=0.NdN一'

27、、X(k),WN"kzNkz0nz01NJ1-W/Nz-N一、X(k)N-=Nk1-Wn'zN11-z-NX(k)k=0N1-WNzNk(z)=1zkN1-Wn"z,稱為內(nèi)插函數(shù)N1、XX(k)k(z)X(z)=k=0,稱為內(nèi)插公式當,N1XXX(k):k()X(ej)()k()進一步化簡,可得：(),而(飛/2)屋壁Nsin(/2)N4.2二i,'、：X(k)(-k)X(ej)=揖N7我們將會看到,頻域采樣在數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)與設計中,理論及有關(guān)公式可提供一種有用的濾波器結(jié)構(gòu)和濾波器設計途徑.3.4DFT的應用舉例一、求兩個不同實序列(n)、X2(n)的N點

28、DFT.x(n)=x1(n)+jX2(n)11._.*_.*、x(n)7X(k)7X(Nk)-2(X(k)+X(N-k)72(X(k)-X(N-k)利用DFT的共輾對稱性1DFTX=2(X(k)+X(N-k)=*即(燈1,、_*、DFTjXi(叫=2(X(k)X(N-k)=XOp(k)1DFTX(n)=2j(X(k)-X(N-k)二、用DFT計算線性卷積1、 線性卷積x(n)線性移不變系統(tǒng)hh(n)Zx(m)h(n-m)設兩序列分別的長度是為(N+M-1)N和M,繳府卷陋循冊弄列長度2、 循環(huán)卷積為和X2(n)的N點DFT分別為:Xi(k)=DFTxi(n)X2(k尸DFTx2(n)如果X(k

29、)=Xi(k)X2(k),那么：x(n)=IDFTX(k)=0<k<N-1N二X(m)x2(n-m)N1RN(n)m0x(n)=與(77)(©%2(司)3、 循環(huán)卷積的計算由于DFT有快速算法FFT,當N很大時,在頻域計算的速度快得多,因而常用DFT(FFT)計算循環(huán)卷積./楫)力伊j要3,九1用DFTif算爆部卷枳4、利用循環(huán)卷積計算線性卷積在實際應用中,為了分析時域離散線性系統(tǒng)對序列進行濾波處理等,需要計算兩個序列的線性卷積.與計算循環(huán)卷性卷積.而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積.積一樣,為了提升運算速度,也希望用DFT(FFT)計算線線性卷積和循環(huán)卷積之間有什么關(guān)系？

30、假設h(n)和x(n)都是有限長序列,長度分別是N和M.它們的線性卷積oO二h(m)x(n-m)yl(n)=x(n)h(n)=h(n)x(n)=m=二N4“h(m)x(n-m)=mJ,長度為N+M-1.取L>maxN,M,h(n)和x(n)的循環(huán)卷積yc(n)=h(n)x(n)=LJh(m)x(n-m)LRL(n)mO,、ZZXXx(n)=x(n)L=oO“x(nrL)rLJ二,vh(m)vx(n-mrL)R(n)二二N.二二h(m)x(n-mrL)R(n)r-.：m=0oOvyi(nrL)R(n)r-：上式說明,yc(n)等于yi(n)以L的主值序列.yi(n)的長度為N+M-1(3.

31、4.3)為周期進行周期延拓序列,因此只有當循環(huán)卷積長度LAN+M-1時,yc(n)等于yi(n).yc(n)=m£r二二例如：如下列圖所示,N=4,M=5,線性卷積長度=8,當取循環(huán)卷積長度為6時,yc(n)wyl(n)當取循環(huán)卷積長度為8時,yc(n)=yl(n)當取循環(huán)卷積長度為10時,yc(n)=yl(n)JlBj小結(jié)：取L=N+M-1,可用DFT計算線性卷積.這種方法稱為快速卷積.用DFT計算線性卷積的框圖如下：圖3.4.3用DFT計JT線性覆枳1ff圖當M>>N時,L=N+M-1,h(n)需補很多零點,且長序列必須全部輸入后才能進行快速計算.因此要求存儲容量大,

32、運算時間長,如在處理地震信號和語音信號時.實際中采用的方法是將長序列分段計算,這種分段處理方法有兩種：重疊相加法和重疊保存法.5、重疊相加法設序列h(n)長度為N,x(n)為無限長序列.將x(n)均勻分段,每段長度取M,那么Q0x(n)=Xk(n)k=0式中Xk(n)=x(n)|_RM(n-kM)h(n)和x(n)的線性卷積OOxk(n)y(n)h(n)x(n)=h(n)"QO%h(n)*xk(n)=k=0QO'yk(n)=k=0式中yk(n)=h(n)*xk(n)運算過程如下列圖所示：圖3.4.4*疊相加法於花示意圖每一分段卷積yk(n)的長度為N+M-1,因止匕yk(n)

33、與yk書(n)有N-1個點重疊,必須把重疊局部的yk(n)與yk書相力口,才能得到完整的卷積序列y(n).這種方法不要求大的存儲容量,且運算和延時也大大減少.三、用DFT對信號進行譜分析所謂信號的譜分析,就是計算信號的傅立葉變換.連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅立葉分析顯然不便于直接用計算機進行計算,使其應用受到限制,而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換,適合數(shù)值運算.對連續(xù)信號和系統(tǒng),可以通過時域采樣,應用DFT進行近似譜分析.1、用DFT對連續(xù)信號進行譜分析傅立葉變換理論:假設信號持續(xù)時間有限長,那么其頻譜無限寬；假設頻譜有限寬,那么其持續(xù)時間無限長.所以,嚴格地講,持續(xù)時間有限的帶限信號是不存在的.

34、但在工程中,常用DFT對連續(xù)信號進行譜分析.對于持續(xù)時間無限長的信號,采樣點數(shù)太多以至無法存儲和計算,只好截取有限點；對于頻譜很寬的信號,為預防時域采樣后頻譜混疊失真,可用預濾波法濾除幅度較小的高頻成分,使連續(xù)信號的帶寬小于折疊頻率.這樣,連續(xù)信號Xa(t)持續(xù)時間為有限長,Xa(jC)為有限帶寬.為了利用DFT對Xa(t)進行頻譜分析,先對Xa(t)進行時域采樣得x(n),再對x(n)進行DFT得到X(k),X(k)為x(n)的傅立葉變換X(e?在頻率區(qū)間0,2町上的N點等間隔采樣.這里X(k)和x(n)均為有限長.所以用DFT對連續(xù)信號進行譜分析是近似的,其近似程度與信號帶寬、采樣頻率和截

35、取長度有關(guān).設連續(xù)信號1持續(xù)時間為TP,最高頻率為f工川Xa(M)=：Xa(t)eJ,JtdtXa(jf)=FTXa(t)=：X(t)e2ftdt一,、一、,、一T一,一對Xa以米樣間隔2fc米樣得x(n尸Xa(nT).設共米樣N點,并對Xa(jf)作零階近似,t=nT,出=丁得：N1X(jf)TXa(nT)e2二fnTn=0o顯然,X(jf)仍是f的連續(xù)周期函數(shù),如上圖b所示C對X(jf)在區(qū)間0,fs上等間隔采樣N點,采樣間隔為F,如下列圖c所75.I-11IIIIII_上HmH11樽7圖品4.5用DFT計算連信號襄詣原理參數(shù)fs、Tp、N、F的關(guān)系:11fs=T,TP=Ffs=NF,Tp

36、=NT1F=fs/N=NT將f=kF代入X(jf),得到X(jf)的采樣：N4_j二knX(jkF)=T%xa(nT)eNn',0<k<N-1令Xa(k)=X(jkF),x(n)=Xa(nT),N1-jknT%x(n)eN二TDFTx(n)Xa(k)=nF(3.4.7)用同樣的方法,由Xat=2L：Xaje'&推由：Xa(t)=t=nT,df=F,f=kFN1j2_ikn>Xa(k)eNX(n)=Xa(nT)=當1 N1j2%FN(-Xa(k)eN)=Nn01(3.4.8)=/IDFTXa(k)（3.4.（7） ,連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T的近似方法得到.時域采樣信號可由