選修2-2：第一章++導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用+單元同步測試(含解析)

1、第一章測試(時間：120分鐘，總分值：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給 出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的)1. 設(shè)函數(shù)y= f(x)在(a, b)上可導(dǎo)，那么f(x)在(a, b)上為增函數(shù)是f (x)>0 的()A .必要不充分條件B. 充分不必要條件C. 充分必要條件D .既不充分也不必要條件解析 y= f(x)在(a, b)上 f (x)>0? y= f(x)在(a, b)上是增函數(shù)，反之，y=f(x)在(a, b)上是增函數(shù)? ff (x)>0?f (x)>0.答案 A2. 假設(shè)曲線y = f(x)在點(xo,

2、f(x。)處的切線方程是2x+ y- 1= 0, 那么()A . f(xo)>OB. f(xo)<OC. ff (x°)= 0D. f (x0)不存在解析 曲線y= f(x)在點(xo, f(x。)處的切線的斜率為f(x°) = 2<0.答案 B153. 曲線y=§x32在點(1, 3)處切線的傾斜角為()A. 30°B. 45°D. 150C. 135解析 科'X, k= tan a= y，|x= 1 = ( 1)2= 1,.a= 45°答案 B4. 曲線f(x) = x3+ x 2的一條切線平行于直線y=

3、4x 1，那么切 點Po的坐標(biāo)為()A . (0, 1)或(1,0)B. (1,0)或(1, 4)C. ( 1, 4)或(0, 2)D. (1,0)或(2,8)解析 設(shè) P°(xo, yo),那么 f， (xo) 3x2 + 1 4,収2= 1 ,xo 1，或 Xo= 1.卩0的坐標(biāo)為1,0或一1, 4.答案 B5.以下函數(shù)中，在0，+乂上為增函數(shù)的是A . y= sin2xC. y= xexB. y = x3 xD. y= x+ln(1 + x)解析 對于 C,有 丫 (xg) ex + xex = ex(x + 1)>0.答案 C)B. tiosxdxoD. Winxdx6

4、. 以下積分值為2的是(A. 5(2x 4)dxoC. 3gdx1解析n>inxdx= cosx0o= COSn+ coso= 2.答案 D7. 函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，y = f(x)的圖象如右圖所示，那么 導(dǎo)函數(shù)y = f (x)的圖象為()解析 由y = f(x)的圖象知，有兩個極值點，貝S y = f' (x)的圖象 與x軸應(yīng)有兩個交點，又由增減性知，應(yīng)選D項.答案 D8. 函數(shù) f(x) = x3 3x2 9x, x (-2,2),那么 f(x)有()A. 極大值5,極小值為27B. 極大值5,極小值為11C. 極大值5,無極小值D .極小值27,無極大值解析 f

5、(x) = 3x2 6x 9=3(x + 1)(x 3).當(dāng) x< 1 時，f' (x)>0,當(dāng)一1<x<3 時，f (x)<0. x= 1是f(x)的極大值點.且極大值為f( 1)= 5,在(2,2)內(nèi)無極小值.答案 C9. f(x)為三次函數(shù)，當(dāng)x= 1時f(x)有極大值4,當(dāng)x= 3時f(x)有極小值0,且函數(shù)f(x)過原點，那么此函數(shù)是()A. f(x) = x3 2x2 + 3xB. f(x) = x3 6x2 + xC. f(x) = x3+ 6x2 + 9xD. f(x) = x3 6x2 + 9x解析 設(shè) f(x) = ax3 + bx2

6、+ cx(az 0),那么 f' (x) = 3ax2 + 2bx + c= 3a(x 1)(x 3)= 3ax2 12ax + 9a.f 1 = a+ b + c=4,由題意得 f 3 = 27a + 9b+ 3c= 0,c= 9a.解得 a= 1, b= 6, c= 9.所以 f(x) = x3 6x2 + 9x.答案 D10. 由拋物線y = x2 x，直線x = 1及x軸圍成的圖形的面積 為()2A3解析如下列圖，陰影局部的面積為 S1 = 0 1(x2 x)dx56.S2 =1(x2- x)dx03X1- 3X1- 21- 6=1O故所求的面積為S= Si + S2= 1.答

7、案 B111. 函數(shù)f(x) = ax3 + bx2 + cx在x =處有極值，那么ac+ 2b的值為aB. 0D. 3()A.- 3C. 1解析 f (x) = Bax2 + 2bx + c,11依題意知，3ax ( )2+ 2bx + c= 0,aa即 a+號+c=0，2b+ ac= 3.答案 Aexe212 .設(shè)函數(shù) f(x)滿足 x2f' (x) + 2xf(x) = , f(2)=，那么 x>0 時,f(x)()A. 有極大值，無極小值B. 有極小值，無極大值C. 既有極大值又有極小值D .既無極大值也無極小值e 2f xex 2x2f x解析 由題意知，f (x) =

8、 -3 一 =x令 g(x) = b zvzvzv2x2f(x)，貝S g (x) = -x 2x午(x) 4xf(x) = ex 2x2f' (x) + 2xf(x)=ex 2-x=-x1 2xx由 g (x) = 0,得x = 2當(dāng) x = 2時，g(x)有極小值 g(2) = e2 2X 22f(2)=e2 8呂=0.二g(x) >0.當(dāng) x>0 時，f f (x) =gxxr>0,故 f(x)在(0,+乂)上單調(diào)遞增， f(x)既無極大值也無極小值.答案 D二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且

9、ff (0) = 2.? x, y R，假設(shè)函數(shù)f(x+ y) = f(x)f(y)成立，那么 f(0) =.解析 令 y = 0,那么有 f(x) = f(x)f(0).f (0) = 2,f(x)不恒為 0,f(0) = 1.答案1廣zsinoo X gr/ dx14.乙解析2-hi_二(1 -“uh 二(工 - sill a )o2oCl答案n 1115. 假設(shè)函數(shù) f(x) = 3x3 f (1) + 2x + 5,那么 f (2) =解析 f f (x) = x2 2f (1)x + 2, f (1)= 1 2f (1) + 2. f (1)= 1. f (x) = x2 2x +

10、2. f (2) = 22 2X 2+ 2= 2.答案 216. 一物體以初速度v = 9.8t + /秒的速度自由落下，且下落后第 二個4 s內(nèi)經(jīng)過的路程是.解析 8(9.8t + 6.5)d2 + 6.5t)84xxxx 4=313.6+ 52- 78.4 26=261.2.答案三、解答題(本大題共6個小題，共70分.解容許寫出文字說明、 證明過程或演算步驟)117. (10分)函數(shù)f(x) = §x3 4x+ m在區(qū)間(一x，+x)上有 極大值晉.(1) 求實數(shù)m的值；(2) 求函數(shù)f(x)在區(qū)間(一x,+x )的極小值.解 f' (x) = x2 4= (x+ 2)(

11、x 2).令 f' (x) = 0,得 x = 2, 或 x = 2.故f(x)的增區(qū)間( x, 2)和(2,+x ),減區(qū)間為(一2,2).(1) 當(dāng)x = 2, f(x)取得極大值，故 f( 2)= 3 +8+ m = 28，m= 4.1(2) 由(1)得 f(x) = 3X3 4x+ 4,4又當(dāng)x = 2時，f(x)有極小值f(2) = 3.18. (12分)用總長為的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所 制的容器的底面的長比寬多，那么高為多少時容器的容器最大？并求 出它的最大容積.解 設(shè)容器底面寬為x m,那么長為(x+ 0.5)m,高為(3.2-2x)m.t 3.2 2x&g

12、t;0,由解得0vxv1.6,x>0,設(shè)容器的容積為y m3,那么有y = x(x + 0.5)(3.2 2x) = 2x32 + 1.6x,y '= 6x2 + 4.4x + 1.6,令 y'= 0,即一6x2 + 4.4x + 1.6= 0,4解得x= 1,或x = 15(舍去).T在定義域(0,1.6)內(nèi)只有一個點x= 1使y '= 0,且x = 1是極大 值點，當(dāng)x= 1時，y取得最大值為1.8.此時容器的高為3.2 2= 1.2 m.因此，容器高為1.2 m時容器的容積最大，最大容積為1.8 m3.19. (12 分)設(shè)函數(shù) f(x) = 2x3 3(a

13、 + 1)x2 + 6ax(a R).(1) 當(dāng)a= 1時，求證：f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；(2) 當(dāng)x 1,3時，假設(shè)f(x)的最小值為4,求實數(shù)a的值.解 (1)證明：當(dāng) a= 1 時，f(x) = 2x3 6x2+ 6x,那么 f (x) = 6x2 12x + 6= 6(x 1)2 >0, f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).(2)f' (x) = 6x2 6(a + 1)x + 6a = 6(x 1)(x a). 當(dāng)a< 1時，f(x)在區(qū)間1,3上是單調(diào)增函數(shù)，此時在1,3上的 最小值為f(1)= 3a 1,5二 3a 1 = 4,二 a=空>1(舍去); 當(dāng)

14、1<a<3時，f(x)在(1,a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(a,3)上是增函數(shù)， 故在1,3上的最小值為 f(a) = 2a3 3(a + 1)a2 + 6a2= 4.化簡得(a + 1)(a 2)2 = 0,二 a= 1<1(舍去)，或 a= 2; 當(dāng)a>3時，f(x)在區(qū)間(1, a)上是減函數(shù)，故f(3)為最小值， 54 27(a + 1) + 18a= 4,22解得a=©<3(舍去).綜上可知，a= 2.20. (12 分)設(shè)函數(shù) f(x) = lx3 + bx2 + cx+ d(a>0)，且方程 f (x) 9x = 0的兩根分別為1,4.(1

15、)當(dāng)a = 3,且曲線y= f(x)過原點時，求f(x)的解析式； 假設(shè)f(x)在( = ,+=)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍.解 由 f(x) = |x3 + bx2 + cx+d,得f (x)= ax2 + 2bx + c,v F (x) 9x= ax2 + 2bx + c 9x= 0 的兩根 分別為1,4,a + 2b+ c 9 = 0, (*)16a + 8b + c 36= 0,(1)當(dāng)a = 3時，由(*)得2b+ c 6= 0,8b+c+ 12 = 0,解得 b= 3, c= 12.又曲線y=f(x)過原點， d = 0.故 f(x) = x3 3x2 + 12x.a由于 a>

16、;0,所以 “ f(x) = 3X3+ bx2+cx+ d 在( x,+x )內(nèi)無極值點，等價于“ f(x)= ax2 + 2bx + c>0在( x,+x )內(nèi)恒成 立 .由(*)式得 2b= 9 5a, c= 4a.又 A= (2b)2 4ac= 9(a 1)(a 9),a>0,= 9 a 1a 9 <0,得 a 1,9,即a的取值范圍是1,9.21. (12分)函數(shù)f(x)= ax3 + bx2的圖象經(jīng)過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線x+ 9y= 0垂直.(1)求實數(shù)a, b的值；假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間m, m+ 1上單調(diào)遞增，求m的取值范圍. 解(1)

17、v f(x) = ax3 + bx2 的圖象經(jīng)過點 M(1,4),a+ b = 4.又 f (x) = 3ax2 + 2bx,那么1f (1) = 3a+2b,由條件 f (1)( 9) = 1,得 3a + 2b = 9.由，解得a= 1, b= 3.(2)f(x) = x3 + 3x2, f (x) = 3x2 + 6x,令 f (x) = 3x2+ 6x>0,得 x>0, 或 x< 2, 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間m, m+ 1上單調(diào)遞增，那么m, m+ 1?(汽一2 U 0，+x ),m>0,或 m+ 1< 2,即卩 m?0,或 mW 3, m 的取值范圍是(一 = ,3U 0,+乂 ).22. (12 分)函數(shù) f(x)= (x+ 1)lnx x+ 1.(1)假設(shè)xf (x)< x2 + ax+1,求a的取值范圍；(2)證明：(x 1)f(x) > 0.x+11解 (1)f (x) = +lnx 1 = lnx+ x，xf (x) = xlnx+ 1,題設(shè) xf (x)<x2 + ax + 1 等價于 Inx x<a.1令 g(x) = Inx x，貝卩 g (x) = - 1.當(dāng) 0<x<1 時，g (x)>0;當(dāng) x&g