Leslie人口模型及例題詳解

1、Leslie人口模型現(xiàn)在我們來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單的離散的人口增長(zhǎng)模型，借用差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無(wú)法刻劃，因此必須建立一個(gè)更精確的模型。20世紀(jì)40年代提出的Leslie人口模型，就是一個(gè)預(yù)測(cè)人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1)將時(shí)間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1,因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為S歲，將其等間隔劃分成m個(gè)年齡段，不妨假設(shè)S為m的整數(shù)倍,每隔S/m年觀察一次，不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化；(2)記ni(t)為第i個(gè)年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù)，記n(t)ni(t),n

2、2(t),nm(t)第i年齡組女性生育率為bi(注：所謂女性生育率指生女率)，女性死亡率為di,記S1di,假設(shè)bi,di不隨時(shí)間變化(3)不考慮生存空間等自然資源的制約，不考慮意外災(zāi)難等因素對(duì)人口變化的影響(4)生育率僅與年齡段有關(guān)，存活率也僅與年齡段有關(guān)。建立模型與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程mn(t1)=bni(t)i1ni1(t1)Sini(t)i1,2.,m-1寫(xiě)成矩陣形式為n(t1)Ln(t)biSl其中，L= 00b2bm1bm000(1)(2)S2000Sm10n(0)ni(0),n2(0),nm(0)假設(shè)n(0)和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計(jì)資料給出，則n(t)Ltn(0),t0,1,2

3、,L為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)遠(yuǎn)變化趨勢(shì)，我們先給出如下兩個(gè)條件:(i) s>0,i=1,2,，m-1;(ii) bi0,i=1,2,，m,且bi不全為零。易見(jiàn)，對(duì)于人口模型，這兩個(gè)條件是很容易滿足的。在條件(i)、(ii)下，下面的結(jié)果是成立的：定理1L矩陣有唯一的單重的正的特征根。,且對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為2,m1n*=1,S1/0,S1S2/0,，S1S2Sm-1/0T(3)定理2若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有110。定理3若L第一行中至少有兩個(gè)順次的bi,bi10,則(i)若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有|1°。(ii)Jimn(t)/0=cn*,(4)其中c

4、是與n(0)有關(guān)的常數(shù)。定理1至定理3的證明這里省去。由定理3的結(jié)論知道，當(dāng)t充分大時(shí)，有n(t)ct0n*(5)定理4記ibi&SzLSi,q()=i/+2/2+m/m,則是L的非零特征根的充分必要條件為q()=i(6)所以當(dāng)時(shí)間充分大時(shí)，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個(gè)年齡組的人口數(shù)近似地按i的比例增長(zhǎng)。由(5)式可得到如下結(jié)論：(i) 當(dāng)>i時(shí)，人口數(shù)最終是遞增的；(ii) 當(dāng)<i時(shí)，人口數(shù)最終是遞減的；(iii) 當(dāng)=i時(shí)，人口數(shù)是穩(wěn)定的。根據(jù)(6)式，如果=i，則有bi+b2Si+b3SiS2+bmsiS2sm-i=1記R=bi+

5、b2Si+b3SiS2+bmSiS2Sm-i(7)R稱為凈增長(zhǎng)率，它的實(shí)際含義是每個(gè)婦女一生中所生女孩的平均數(shù)。當(dāng)R>i時(shí)，人口遞增；當(dāng)R<i時(shí)，人口遞減。LeSlie模型有著廣泛應(yīng)用，這里我們給出一個(gè)應(yīng)用的例子，供大家參考。公園大象管理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約ii000頭大象，管理部門(mén)希望為大象創(chuàng)造一個(gè)健康的生存環(huán)境，將大象的總數(shù)控制在ii000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計(jì)當(dāng)年大象的總數(shù)。過(guò)去20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在ii000頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)表明，每年約處理600-800頭大象。近年來(lái)，公眾強(qiáng)烈反

6、對(duì)捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。公園有一些關(guān)于大象的資料，供建模參考：1 幾乎不再遷入或遷出大象；2 目前性別比接近1：1，采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；3 初生象的性別比也是大約1：1，生雙胎的比例為1.35%4 母象初次懷孕大約在10-12歲,一直到60歲大約每3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕,懷孕期為22個(gè)月；5 避孕針可能引起大象每個(gè)月都發(fā)情,但不受孕,因?yàn)榇笙笸ǔＣ?.5年生育1次,所以按月循壞的方案是不足取的；6 避孕針對(duì)母象沒(méi)有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；

7、7 初生象存活到1歲的比例為70%-80%,此后,直至60歲前,存活率都比較均勻,大約在95%以上,大象一般只活到70歲；8 公園里不存在捕殺行為,偷獵可以不考慮；公園管理部門(mén)有一份過(guò)去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計(jì),不幸的是沒(méi)有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是,構(gòu)造一個(gè)模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù).同時(shí)需要完成以下任務(wù)：1 建立并利用模型推算2-60歲大象可能的存活率,以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；2 估計(jì)每年需要避孕多少大象,才能保證大象總數(shù)控制在11000頭左右,說(shuō)明數(shù)據(jù)不確定性對(duì)你的結(jié)論的影響,評(píng)價(jià)一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對(duì)旅游的影響,（你可能被要求觀察30-60年）；

8、3 假設(shè)每年可以移出50-300頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少,評(píng)價(jià)如何根據(jù)經(jīng)濟(jì)效益平衡兩種方案；4 有一些反對(duì)觀點(diǎn)認(rèn)為,假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵,使大象總數(shù)突然大幅度下降,即使停止避孕,也會(huì)對(duì)大象群的恢復(fù)存在不良影響,研究并回答這個(gè)問(wèn)題；5 公園公管理部門(mén)正在構(gòu)造模型,特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型指導(dǎo)決策的觀點(diǎn).希望你的模型包括一份技術(shù)報(bào)告能給公園管理部門(mén)提一些建議，提高公園管理部門(mén)的信心,除此之外,你的報(bào)告,還應(yīng)該包括一個(gè)詳細(xì)的技術(shù)流程（最多3頁(yè)）回答公共關(guān)心的問(wèn)題。6 假如非洲其它公園對(duì)你的模型感興趣,有意利用你的模型,請(qǐng)為公園大象數(shù)在300-25000頭規(guī)模的公園

9、提供一份避孕計(jì)劃,順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況.附過(guò)去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡0123456789總量1103777170686158515251母象150364129313028242229總量298746961605452595857母象257343329342827312525年齡10111213141516171819總量151505148474948474342母象127272627262528271925總量260636460635952554950母象226363830333424302130年齡20212223242526272829總量14237394142434

10、5484947母象118161924172521262927總量253576553565053494340母象229274023292421262416年齡30313233343536373839總量146424444464947484641母象24222022242423252124總量38353733203330292926母象17161818151812171613年齡404142434546474849總量41424338343433303526母象24192620201516132011總量10242522212211212119母象11141010121112年齡505152535

11、45556575859總量211814母象10總量1510976母象年齡6061626364656667686970總量母象總量母象假設(shè)與分析1大象性別比接近1：1，初生象的性別比也是大約1：1,采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；2過(guò)去兩年遷出的大象是隨機(jī)抽樣，其結(jié)構(gòu)反映了象群總體的年齡結(jié)構(gòu)；3 避孕是隨機(jī)的，母象是否避孕是不可識(shí)別的，假設(shè)各個(gè)年齡的母象是等比例避孕的，比例系數(shù)為k，僅通過(guò)調(diào)節(jié)k來(lái)控制公園大象數(shù)量；4 母象初次懷孕大約在10-12歲,簡(jiǎn)化假設(shè)大象初孕時(shí)間為11歲，當(dāng)前狀態(tài)下，成年象的成活率為s，生育母象率為r，老年象的成活率是線性逐漸遞減的，因此其成活率可表示為sis(70i)/

12、10,(60i70)設(shè)初生象活到1歲的存活率為s0。5 避孕針對(duì)母象沒(méi)有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；且無(wú)論打避孕針前母象是否懷孕，一旦打了避孕針，母象就被避孕或中止懷孕，平均每年有比例的母象處于避孕狀態(tài)；每年母象的避孕率為，每年的避孕方案時(shí)瞬時(shí)完成的。6 假設(shè)大象的年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。數(shù)據(jù)處理與分析(1)2-60歲大象的存活率與年齡結(jié)構(gòu)母象生育率為r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448頭/年12歲的母象生育母象的生育率為r/6。由題設(shè)知道存活率s(0.95,0.99)。以下是第一年遷移出0至70歲大象數(shù)據(jù)x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,5

13、1,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2;以下是第二年遷移的0-70歲大象數(shù)據(jù)53 57x2=98,74696160545259585760636460635952554950655356505349434038353733203330292926102425222122112121191551097654

14、7023020201000;x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y1=503641293130282422292727262726252827192518161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032;以下是第二年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y2=57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240;考

15、慮到有些數(shù)據(jù)較小及抽樣的隨機(jī)性，我們?nèi)纱纬闃拥钠骄底鳛榉治龅幕緮?shù)據(jù)。t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=

16、0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=

17、1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis(10,40,0,5);title('圖1')35*40通過(guò)以上分析大致可以得到，1-60歲大象的存活率約為0.98。0-70歲年齡結(jié)構(gòu)向量見(jiàn)圖2。y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,

18、y0,'stacked');title('圖2')下面我們?nèi)00.75,stS20.98。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endml;fo門(mén)=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endml;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title('圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu))plot(a,m1,'r-'ay0,'b-.');titl

19、e('圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比較)polyfit(y0,m1,1)ans=0.1981-0.0694從所給的數(shù)據(jù)來(lái)看，象群的年齡結(jié)構(gòu)還沒(méi)有達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，大體可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩陣的唯一正特征值為1.0322。對(duì)于不同的存活率，得到的唯一正特征值為：s00.75,s0.

20、97,p1.023;s00.75,s0.98,p1.0322;s00.75,s0.99,p1.042.下面我們估計(jì)每年處于避孕狀態(tài)母象的比率。此時(shí)，女性生育率為0.1448(1)。記s00.75,s1s20.98130.1448(1)s0s111/6,i0.1448(1)s0s111Ls2i12(14i61)由(6)式得q(1)1314L611解得11n480.376,0.6240.1448s0s111/6s2(1s48)/(1s2H1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.6240即每年應(yīng)該有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)。

21、為了保證有62.4%的母象處于避孕狀態(tài)，下面分析每年應(yīng)該打避孕針母象的比例。在假設(shè)3和假設(shè)5的前提下，如果每年打避孕針母象比例為。母象可以分成3類(lèi)：即當(dāng)年被打避孕針而上一年沒(méi)有被打避孕針或上一年被打避孕針而本年沒(méi)有被打避孕針，比例為22(1)；連續(xù)兩年被打避孕針；連續(xù)兩年沒(méi)有被打避孕針。只有最后一類(lèi)母象具有生育能力。因此，只需要滿足方程2(1)21-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003解得0.387,即每年大約需要給2127頭母象打避孕針。在方案實(shí)施過(guò)程中，實(shí)際上根本不需要打這么多針，因?yàn)樵S多小象還是可以識(shí)別的?？梢?/p>

22、采取隨機(jī)抽樣的打針?lè)绞?，?duì)于抽到的小象只計(jì)數(shù)不打針，直至計(jì)滿2127頭母象，就算完成當(dāng)年任務(wù)。采取打避孕針的方案對(duì)象群的年齡結(jié)構(gòu)是由一些影響的，下面給出了打與不打避孕針情況下穩(wěn)定的象群年齡結(jié)構(gòu)與各你阿爸年齡段象群數(shù)的比較。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fo門(mén)=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;end;ml;fo門(mén)=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;ml;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fo門(mén)=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end

23、;n1;fo門(mén)=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m1,T-',a,n1,'b-');title('圖5年齡結(jié)構(gòu)比較)；axis(0,70,0,1);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b-')title('圖5各年齡段大象數(shù)比較圖)圖 5年 齡 結(jié)構(gòu) 比較30025020015010050

24、0圖 5各 年齡段 大象 數(shù)比較 圖axis(-0,70,0,300)10.90.80.70.60.50.40.30.20.10通過(guò)以上兩個(gè)圖的比較，可以發(fā)現(xiàn)采取避孕措施，將使幼象、小象數(shù)減少，中老年象數(shù)增加。由于采取避孕措施，使得初生小象數(shù)減少，因此會(huì)不可避免地引起象群年齡結(jié)構(gòu)的改變，下面分析，15年、30年、60年后的象群年齡結(jié)構(gòu)。L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;fori=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end;L;forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-

25、1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L)；n15=LA15*x0'n30=LA15*n15;n60=LA30*n30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title('圖6a避孕前種群量分布)；axis(0,70,0,250)bar(a,M15)title('圖6

26、b避孕15年后種群量分布);axis(0,70,0,250)bar(a,M30)title('圖6c避孕30年后種群量分布);axis(0,70,0,250)M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title('圖6d避孕前種群量分布);axis(0,70,0,250)圖6d避孕前種群量分布n70=LA70*x0'n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);圖7給出了避孕前后年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的比較plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.');title(

27、'圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)');axis(0,70,0,5)54.543.532.521.510.5圖 7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)不確定性對(duì)結(jié)果的影響分別取s00.7,0.8,、S20.95,0.99/1CC111480.421,0.5790.1448s0sl1/6S2(1S2)/(1S2)1-1/(0.1448*0.7*0.95A11*(1/6+(0.95-0.95人49)/0.05)ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99A11*(1/6+(0.99-0.99人49)/0.01)ans=0.7466

28、1-sqrt(1-0.7466)ans=0.49660,012,0.7570.98 ,下面分析避孕方案的變化每年需避孕的母象比例為0.6%49.7%對(duì)于每年可以遷移50-300頭大象及S00.75,SiS2及最經(jīng)濟(jì)的方案。設(shè)增長(zhǎng)率為p,對(duì)于S00.75,s,S20.98130.1448(1)s0s11/6,i0.1448(1)s0s11Ls212(14i61)1211360q(p)13/p14/pL61/p1令s0's0/p,s'1s1/p,s20/p1111i12'130.1448(1')s0'sT/6,14'0.1448(1')80&

29、#39;(s')11(s')212(14i61)q(p)'13'14L61110.1448s'0s'111/6s'2(1s'28)/(1s'2)當(dāng)p1,01,每年的避孕率為28.2%,每年遷出110頭；當(dāng)p1,02,每年的避孕率為16.8%,每年遷出220頭；當(dāng)p1.025,每年的避孕率為11.3%,遷出275頭。1-1/(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98-0.98人49)/0.02)ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;1-pA12./(0.1448*

30、0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).A49)/(1-0.98./p)ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.2822p=1.02;1-pA12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.30801-sqrt(0.692)ans=0.1681p=1.025;1-p.A12./(0.1448*0.75*0.98A11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)A49)/(1-0.98/p)ans=0.20361-sqrt(0.7864)ans=0.1132進(jìn)一步分析可以知道，對(duì)于s00.75,5s20.98,如果增長(zhǎng)率為p(1p1.0322，即每年移11000(p-1),令s0's0/p,s'1s1/p,s2