陜西省藍田縣高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用4.2.2最大值最小值問題教案北師大版選修1

1、4。2.2最大值最小值問題教學(xué)目標1 .能夠區(qū)分極值與最值兩個不同的概念.2 .會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)3 .會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實際問題.教學(xué)重點1。 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題.2。 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點，難點。學(xué)時難點1. 考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值及單調(diào)性等問題.2. 結(jié)合單調(diào)性與最值求參數(shù)范圍、證明不等式內(nèi)容是高考熱點，教學(xué)活動活動1【講授】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識梳理：(1)如果函數(shù)y=f(x)在a,b上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,那么f(x)在a,b上必有最大值和最小值.函數(shù)的最值是函數(shù)在整個定

2、義域上的性質(zhì)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值.最大值或者取得，或者取得.問題探究一函數(shù)的最值問題1如圖，觀察區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖像，它的極大值、極小值6問題2觀察問題1的函數(shù)y=f(x)，你能找出函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值、最小值嗎？問題3函數(shù)的極值和最值有什么區(qū)別和聯(lián)系？(1)函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值.(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個，

3、但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值.問題4怎樣求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值？只要求出函數(shù)的各個極值和端點處的函數(shù)值，進行比較即可.(k為常數(shù)，e=2o 718 28是自然對數(shù)例1.(2014鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)的底數(shù))，曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行.求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解題指導(dǎo)(1)已知：曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行.(2)分析：由曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與x軸平行可知f'(1)=0

4、即可求出k的值；由函數(shù)解析式，求導(dǎo)進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2,x-1,1的最值.解f'(x)=3x26x+6=3(x22x+2)=3(x1)2+3f'(x)在-1,1內(nèi)恒大于0,.f(x)在1,1上為增函數(shù)故x=1時，f(x)最小值=12;即f(x)的最小值為一12,最大值為2。問題探究二含參數(shù)的最值問題問題1若函數(shù)f(x)已知最值，且函數(shù)關(guān)系式中含有參數(shù)，怎樣根據(jù)函數(shù)最值確定參數(shù)？答案根據(jù)函數(shù)在哪一點處取得最值，采用待定系數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)列方程可以解出參數(shù)值.問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)的極值或端點處的函數(shù)值以及它們的大小

5、.問題2含參數(shù)的函數(shù)，怎木¥求函數(shù)的最值？答案由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，因此解決這類問題往往需要分類討論，參數(shù)分界標準是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為零時自變量的大小或通過函數(shù)值的大小等方面確定的.4例2若函數(shù)f(x)=ax3bx+4,當(dāng)x=2時，函數(shù)f(x)有極值。(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍.解(1)由題意可知f'(x)=3ax2b。故所求的函數(shù)解析式為f(x)1=3x34x+4.(2)由(1)可知f'(x)=x2-4=(x2)(x+2).令f'(x)=0,得x=2

6、,或x=2284T3因此，當(dāng)x=2時，f(x)有極大值，當(dāng)x=2時，f(x)有極小值一口q A q所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，故實數(shù)k的取值范圍是1 3 J / o小結(jié) 含參數(shù)的函數(shù)，已知最值可考慮使用待定系數(shù)法確定參數(shù)；求含參數(shù)的最值要分類討論，注意導(dǎo)數(shù)為0的點的大小及是否在函數(shù)定義域內(nèi).T 1訓(xùn)練 2 設(shè) f(x ) = 3 x3+2 x2 + 2ax. 2+ °°）上存在單調(diào)遞增區(qū)間.（1）若 f（x）在（3,+8）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求 a的取值范圍.,求f （x）在該區(qū)間上的最大值.)0。2 +由 f' (x) = x2 + x+2a= (x + 2a&g

7、t;0 解得 a> 時，f（x ）在（，所以，當(dāng)a> 二(2)令 f ' (x) = 0,得兩根 x1 =（2）當(dāng)0a2時,f（x）在1,4 上的最小值為(1)f(x)在（3 , +OO）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個子區(qū)間（iin 13 m, n) ?(衛(wèi),+8）使得（x）,x2 =9只需f，（ 3 ）0即可.由f，（ 3 ）=2+ 2a, f ' （x）在區(qū)間3 , +oo）上單調(diào)遞減，則27f(4) f(1 )=-所以f(x)在(一8,x1),(x2,+8)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增，又6a0,即f(4)<f(1),40_16所以f(x)在1

8、,4上的最小值為f(4)=8a3=3I,得a=1,x2=2,從而f(x)在1,410上的最大值為f(2)=3問題探究三函數(shù)最值的應(yīng)用問題函數(shù)最值和“恒成立”問題有什么聯(lián)系？答案解決“恒成立”問題，可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可.對含參不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題，可先分離參數(shù).1例3已知f(x)=x32x2-2x+5,當(dāng)xC1,2時,f(x)<m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.1解1.f(x)=x3/x2-2x+5,.1(x)=3x2x2.2令f'(x)=0,即3x2x2=0,x=1x=-3o當(dāng)xC(1,3)時，f'(

9、x)>0,f(x)為增函數(shù)；9當(dāng)xC(3,1)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xC(1,2)時，f'(x)0,f(x)為增函數(shù).2222QQ27當(dāng)x=Q時，f(x)取得極大值f(口)=5+;當(dāng)x=1時，f(x )取得極小值f(1 )又-1) =H 2，f(2) =7,.f(x)在xC1,2上的最大值為f(2)=7.要使f(x)m恒成立，需f(x)maxm,即m>7.，所求實數(shù)m的取值范圍是(7,+8).小結(jié)“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，對于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可.x£ 0, 3,都有f (x)c2成

10、立，求c的取值訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=2x39x2+12x+8c,若對任意的范圍.解(x)=6x218x+12=6(x1)(x2). 當(dāng)xC(0,1)時，f'(x)>0;當(dāng)xC(1,2)時，f'(x)0;當(dāng)xC(2,3)時，f'(x)0。 當(dāng)x=1時，f(x)取極大值f(1)=5+8c.又f(3)=9+8c>f(1),.x0,3時，f(x)的最大值為f(3)=9+8c. 對任意的x0,3,有f(x)c2恒成立， .9+8cc2,即c1或c>9. .c的取值范圍為(8,1)U(9,+8)。練習(xí)0 上的最大值，最小值分別1.函數(shù)f(x)=x33x+1在閉區(qū)間3,是A.1,-1B.