典型的混沌系統(tǒng)

1、典型的混沌系統(tǒng)11.1一維混沌系統(tǒng)1格.1.1Logistic映射1格.1.2Chebyshev映射2格.1.3Logistic映射與Chebyshev映射3格.1.4概率密度函數(shù)PDF的作用31.2二維混沌系統(tǒng)（超混沌系統(tǒng)）3格.2.1Henon映射4典型的混沌系統(tǒng)類隨機(jī)的過程，這種過程既非周期又不混沌現(xiàn)象是在非線性動力系統(tǒng)中表現(xiàn)的確定性、收斂，并且對于初始值具有敏感的依賴性。按照動力學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)，混沌可以分成四種類型:?時間混沌；?空間混沌；?時空混沌；?功能混沌；1.1一維混沌系統(tǒng)一個一維離散時間非線性動力學(xué)系統(tǒng)定義如下：Xk1（Xk）其中，XkV,k=0,1,2,3;我們稱之為狀態(tài)。而

2、：VV是一個映射，將當(dāng)前狀態(tài)xk映射到下一個狀態(tài)xk+1。如果我們從一個初始值X0開始，反復(fù)應(yīng)用，就得到一個序列xk;k=0,1,2,3。.撻一序列稱為該離散時間動力系統(tǒng)的一條軌跡。原始的蟲口模型方程是（37文）：Xk1axk體現(xiàn)了兩代蟲子的數(shù)量關(guān)系。將此方程推導(dǎo)一下，可以得到如下方程:XkakXo可以得到第n代蟲子和第0代蟲子的數(shù)量關(guān)系。但是，從中不能表現(xiàn)自然的蟲子變換關(guān)系，因為蟲子的增長變化不是恒定的（考慮到很多負(fù)面影響，如蟲子太多時，由于食物有限和生存空間有限，還由于疾病等多種原因，使得蟲口數(shù)量減少），所以這個線性模型完全不能反映蟲口的變化規(guī)律。§1.1.1Logistic映身

3、一類非常簡單卻被廣泛研究的動力系統(tǒng)是logistic映射，它起源于蟲口模型。其定義有多種形式。1.形式一xk1xk(1xk)其中，混沌域為(0,1),0當(dāng)3.5699456<4時,映射的作用下所產(chǎn)生的序列的。4稱為分枝參數(shù)，xk(0,1)?；煦鐒恿ο到y(tǒng)的研究工作指出，logistic映射工作于混沌態(tài)。也就是說，由初始條件x0在logisticxk;k=0,1,2,3是非周期的、不收斂的并對初始值非常敏感在=4的情況下，即Logistic-Map映射，其所生成序列的概率密度函數(shù)PDF(probabilitydensityfunction):一10x1.一x(1x)0else表明此系統(tǒng)產(chǎn)生的

4、混沌序列具有遍歷性，并且它產(chǎn)生序列的PDF與初始值無關(guān)，這為將混沌序列作為密鑰置換網(wǎng)絡(luò)的映射函數(shù)提供了理論支持。2.形式二xk11x：其中0,2,混沌域為-1,1。當(dāng)(1.40115,2)時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)。(34文)；當(dāng)C(1.5437,2)時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)。(35文)(具體看從拋物線談起)在=2的滿射情況下，其所生成序列的概率密度函數(shù)PDF:12、1x2elsexk1xk2xk當(dāng)(3.5699,4)時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)。隨機(jī)性比較好。(37文)在=4的滿射情況下，其所生成序列的概率密度函數(shù)接近4的范圍內(nèi)生長的混沌序列的PDF

5、:(43文)else§1.1.2Chebyshev映射Chebyshev映射，以階數(shù)為參數(shù)。k階Chebyshev映射定義如下:xk1cos(n(cos1xk)0其中xk的定義區(qū)間是(-1,1)。§1.1.3Logistic映射與Chebyshev映射Chebyshev映射是拓?fù)涔草S的，它們上述第二類Logistic映射在=2的滿射條件下，與生成序列的概率分布函數(shù)PDF也是相同的：else§1.1.4概率密度函數(shù)PDF的作用logistic映射所產(chǎn)生的混沌序列的一些很有意義通過（x）,我們可以很容易地計算得到的統(tǒng)計特性。例如，x的時間平均即混沌序列軌跡點的均值是:

6、N1xi1xlimNNi01ox(x)dx0例如，關(guān)于相關(guān)函數(shù)，獨立選取兩個初始值1N1lim（xiNNi/11c(l)X0和y0x)(y(ii),則序列的互相關(guān)函數(shù)為:y)00(x,y)(xx)(l(y)y)dxdy0ACF(auto-correlationfunctions)則等于delta函數(shù)(l)。這正是例如，序列的自相關(guān)函數(shù)我們所需要的。注意，聯(lián)合概率密度函數(shù)Logistic序列的以上特性表明，盡管混沌動力系統(tǒng)具有確定性，其遍歷統(tǒng)計特性等同于白噪聲，其具有形式簡單，初始條件的敏感性和具備白噪聲的統(tǒng)計特性等諸多特性。pdf:(x,y)=(x)(y)。1.2二維混沌系統(tǒng)（超混沌系統(tǒng)）一維

7、離散混沌系統(tǒng)，具有形式簡單、產(chǎn)生混沌序列時間短等優(yōu)點，但其缺點是密鑰空間太小。用二維超混沌系統(tǒng)生成的混沌序列，變換成加密因子序列。Lyapunov指數(shù)（簡稱李氏指數(shù)），是刻畫非線性系統(tǒng)混沌特性的有效方法之一，李氏指數(shù)的個數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)空間的維數(shù)n相同。如果只有一個李氏指數(shù)大于零，則系統(tǒng)是混沌的；若至少有兩個李氏指數(shù)大于零，則系統(tǒng)是超混沌的。大于零的李氏指數(shù)越多，系統(tǒng)不穩(wěn)定的程度越高。一般來說，系統(tǒng)的狀態(tài)量個數(shù)越多（如高維系統(tǒng)，對離散系統(tǒng)來說，n>2）,它可能出現(xiàn)不穩(wěn)定的程度越高。不失一般性，二維混沌離散系統(tǒng)有如下形式：xn12asYnaexnYn2a1yna12xnynyn1f2(xn,y

8、n)2-其中f(xn,yn)a1a2xna3xna4ynf2(xn,yn)a7&8x”&9乂2ayn式中a(i=1,2，12)式均為待定常系數(shù)。采用高維系統(tǒng)產(chǎn)生超混沌，由于系統(tǒng)比低維情況復(fù)雜，產(chǎn)生超混沌時序的時間增長，將有可能直接影響保密通訊實時性的要求。因此，如何在系統(tǒng)狀態(tài)變量個數(shù)盡可能少而正性李氏指數(shù)又盡可能多的條件下，尋找到非線性形式簡單的系統(tǒng)，是十分實際而又有意義的工作。為了尋找簡單形式餓二維離散超混沌系統(tǒng)，需要進(jìn)一步簡化：fl(Xn,Yn)f2(Xn,yn)2aia2Xna3Xna4Yn2a?asXnagXnaoYn2asYna6XnYn2aiiYnai2XnYn使部

9、分非線性項前面的系數(shù)為零，然后通過計算該系統(tǒng)的李氏指數(shù)，即有兩個或兩個以上大于零的李氏指數(shù)，可認(rèn)為該系統(tǒng)是超混沌特性的二維離散系統(tǒng)。通過計算，得到一些形式簡單且具有超混沌特性的二維離散系統(tǒng)，如下表：系統(tǒng)序號二維離散方程參數(shù)值LYapunov指數(shù)12Xn1a4YnasYnYn1a8XnaoYna4=1.55a5=-1.3a8=-1.1a10=0.10,2380.16622Xn1asYnYn1a?a8XnaoYna5=1.3a7=-1.05a8=1.15a10=-0.20.2110.0463Xn1a2Xna4Yn2Yn1a7a9Xna10Yna2=-0.95a4=1.55a7=-0.45a9=2.4a10=1.050.3020.2404Xn1a4Yna6XnYnYn1a?a8Xna1oY