變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算知識點與題型歸納

1、高考明方向1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2. 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)1y=c（c為吊數(shù)），y=x,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù).3. x能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).備考知考情由近幾年高考試題統(tǒng)計分析可知，單獨考查導(dǎo)數(shù)運算的題目很少出現(xiàn)，主要是以導(dǎo)數(shù)運算為工具，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義為主，最常見的問題就是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系，以平行或垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，以及與曲線的切線相關(guān)的計算題.考查題型以選擇題、填空題為主，多為容易題和中等難度題，如2014理科10、文科11.2014理科10曲線ye5x

2、2在點0,3處的切線方程為；2014文科11曲線y5ex3在點0,2處的切線方程為；、知識梳理名帥一號»P39知識點一導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)稱函數(shù)y=f(x)在x=xo處的瞬時變化率lim注oyfx0+AXfx0a=lim7尸o為函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(xo)或y'|x=x。fx+Axfx.(1) 稱函數(shù)f'(x)=lim-x為f(x)的導(dǎo)函數(shù).ZaXao注意：名帥一號»P4o問題探究問題1f'(x)與f'(xo)有什么區(qū)別？f'(x)是一個函數(shù)，f'(xo)是常數(shù)，f

3、9;(xo)是函數(shù)f'(x)在點xo處的函數(shù)值.例.名師一號»P39對點自測1判一判f'(xo)是函數(shù)y=f(x)在x=xo附近的平均變化率.()f'(xo)與f(xo)'表示的意義相同.()f'(xo)是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在x=xo處的函數(shù)值.()答案(1)XXV1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式公式1.若f(x)c,則f'(x)0;公式2.若f(x)xn,則f'(x)nxn1;公式3.若f(x)sinx，貝f'(x)cosx;公式4.若f(x)cosx,則f'(x)sinx;公式5.若f(x)ax，則f'

4、;(x)axlna(a0);公式6.若f(x)ex,則f'(x)ex;1-公式7右f(x)logax，則f'(x)(a0,且a1);xlna1. 1公式8.有f(x)lnx,則f'(x);x注意：(補充)常量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零導(dǎo)數(shù)的運算法則1. (f(x)g(x)'f'(x)g'(x)(f(x)g(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)'3空f'(x)g(x)f(x)g(x)'3.g(x)g2(x)2. (cf(x)'cf'(x)5'哼g(x)g2(x)注意：(補充)復(fù)合函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)yf(u(x),y'f'(u(x)gu'(x)注意：名帥一號»P40問題探究問題3對函數(shù)求導(dǎo)時，其基本原則是什么？求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，要準確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運算的形式，再利用運算法則求導(dǎo)數(shù).對丁不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當包等變形；對丁比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會使求導(dǎo)過程繁瑣冗長，且易出錯，此時，可將解析式進行合理變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù).但必須注意變形的等價性，避免不必要的運算失誤.切線的概念我們發(fā)現(xiàn)，當點C沿著曲線無限接近點P即xr0時，割線P頃果由一個極限位置PT.則我們把直線PTW為曲線在

6、點P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為a，那么當Xt0時，割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.yf(xx)f(x)即：加線皿)耽二耽x平均變化率瞬時變化率(導(dǎo)數(shù))t1割線的斜率切線的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)曲線y=f(x)在點(X0,f(x0)處切線的斜率.導(dǎo)數(shù)的物理意義瞬時速度例.周練13-1一個物體的運動方程為s=11+12,其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬時速度是（）A.7米/秒B.5米/秒C.6米/秒D.4米/秒注意：名帥一號»P40問題探究問題2過點P的切線與在點P處的切線有什么區(qū)別？在點P處的切線，P是切點，而過點P的切線，P不一定是

7、切點，后者包括前者.注意：名帥一號»P40問題探究問題2過點P的切線與在點P處的切線有什么區(qū)別？在點P處的切線，P是切點，而過點P的切線，P不一定是切點，后者包括前者.二、例題分析：（一）導(dǎo)數(shù)的計算例1.（補充）、，一，1用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)f（x）一的導(dǎo)數(shù)。x注意：(補充)(1)能用導(dǎo)數(shù)定義求幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(參看選修1-1課本)yc,yx,yx2,y-,y,xx求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法)求函數(shù)的改變量ff(x0x)f(x°);ff(x0x)f(x0)求半均變化率;xfx1 )求值f(x)lim.x0x例2.名帥一號»P40高頻考點例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

8、(1) y=x32x+3;y=(x+1)(x+2)(x+3);x2xysin12cos；24解析：(1)y=(x32x+3)'=(x3)'(2x)'+(3)'=3x22.(2) 方法1:.y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.方法2:y'=(x+1)(x+2)'(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+

9、1)(x+2)=3x2+12x+11.x2x1.ysin12cos=一雙順，242.,1.,1.、，1-y=2$inx=2(sinx)=2cosx.1. 注意：名帥一號»P40高頻考點例1規(guī)律方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的具體方法是： 遇到連乘積的形式，先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；遇到根式形式，先化為分數(shù)指數(shù)籍，再求導(dǎo)；遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡，再求導(dǎo).2. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要選擇恰當?shù)闹虚g變量，分活復(fù)合關(guān)系.練習(xí)：''1、設(shè)f0xsinx,f1xf0x,f2xf1x,L,fn1XA.sinxB.sin、3cos2sin(3)fnX,nN,則f20i5x()sinxC.cos

10、xD.cosx【答案】D2、（2009卷文）設(shè)函數(shù)sin3.3cos2f（x）xxtan,其中320,，則導(dǎo)數(shù)f'1的取值圍是（）12A.B.C.D.【答案】D解：f(1)sinx2后cosx|x1_5、2Q0,i2sin(3)T,1f(1)'.2,2選D.汪息：對解析式中含有多個字母的函數(shù)求導(dǎo)，明確自變量是關(guān)鍵！例3.名帥一號»P39對點自測3已知f(x)=x2+3xf(2),則f(2)=解析由題意，得f'(x)=2x+3f'.f'(2)=2X2+3f(2),.f'(2)=2.注意：導(dǎo)數(shù)f'(x。)是一個常數(shù)，不是變量.練習(xí)：

11、1、周練13-5已知f(x)X22x?f'(1),則f'(0)等于()A.-2B.2C.1D.-42、(2009卷理)已知函數(shù)f(x)f'()cosxsinx,則f(一)的值為.44解：因為f'(x)f'()sinxcosx所以f'(4)4f'(穿)sin4cos4f)、21故ff'()cossinf()144444例4.(補充)(1)周練13-12若f'(x)=3x26x，且f(0)=4,則不等式f(x)>0的解集是答案：(x|x>1,且x乒2由題可設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d,f,(x)=3ax2+

12、2bx+c,3a=3,a=1,2b=-6,b=-3,c=0,c=0,d=4,d=4.f(x)=x33x2+4=x3+x24(x21)=x2(x+1)4(x1)(x+1)=(x+1)(x-2)2,.-.f(x)>0的解為x>-1,且x乒2.(2)周練13-7定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f'(x)x<f(x),且f(2)=0,fx則二一>0的解集為()xA.(0,2)B.(0,2)U(2,+8)C.(2,+8)D.?答案：A當=-一<0,.M為減函數(shù)，f(2)=0,xxx.號=0.d>0的解為0<x<2.2x注意：導(dǎo)數(shù)計算公式及

13、運算法則的逆向使用務(wù)必準確熟練掌握公式及明確其結(jié)構(gòu)特點！(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1.名帥一號»P40高頻考點例2(1)(2014新課標全國卷n)設(shè)曲線y=axln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()A.0B.1C.2D.3(2014卷)在平面直角坐標系xOy中，若曲線y=ax解析：(1)y=ax-ln(x+1),.y=a一.x十1y|x=0=a1=2,得a=3.(2)由曲線y=ax2+?過點P(2,-5).得4a+2=-5.乂y'=2ax-與，x+b(a,xb為常數(shù))過點P(2,5),且該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行，貝Ua+b的值是:所

14、以當x=2時，4ab=7.,a=1,由得所以a+b=3.b=2,例2.名帥一號»P41特色專題典例若存在過點0(0,0)的直線l與曲線f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，WJa的值是()111A.1B.64C.1或64D.1或64【錯解】.點O(0,0)在曲線f(x)=x3-3x2+2x上,直線l與曲線y=f(x)相切丁點O.則k=f'(0)2,直線l的方程為y=2x.乂直線l與曲線y=x2+a相切，x2+a2x=0滿足=44a=0,a=1.選A.【錯因】(1)片面理解過點O(0,0)的直線與曲線f(x)=x33x2+2x相切”.這里有兩種可能：一是點O是切點；

15、二是點O不是切點，但曲線經(jīng)過點O,解析中忽視后面情況.本題還易出現(xiàn)以下錯誤：1綜上，a=1或a=64.1一一1依題息，=164a=0,.a=64.【答案】C三次函數(shù)的切線.gsp注意：(補充)1、對丁二次函數(shù)過點，若點在曲線上則點一定是切點，不在曲線上一定不是切點。而對丁三次函數(shù)過點，無論點在不在曲線上都不一定是切點，要切記。2、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程已知曲線的切點P(x0,yo),求曲線的切線方程的步驟：1) 求出函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0)；根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為yy0=f'x(0)(xx0)；2) 若曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)

16、不存在，就是切線與y軸平行或不存在；f'xQ)>0,切線與x軸正向夾角為銳角;f'x0)<0,切線與x軸正向火角為鈍角；f'x0)=0,切線與x軸平行.(補充)過曲線外的點P(x1,y1),求曲線的切線方程的步驟：1) 設(shè)切點為(x0,y0),求出切點坐標；2) 求出函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f'x0);根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為yy0=f'x0)(xx0).3、名帥一號»P40高頻考點例2規(guī)律方法有關(guān)導(dǎo)數(shù)幾何意義的題目一般有兩類：一類是求曲線的切線方程，這類題目要注意審好題，看到底是在某點處的切線還是過某點的切線，在某點處的切線一般有一條，過某點的切線可能有兩條或更多；另一類是已知曲線的切線求參數(shù)的題目，已知曲線的切線一般轉(zhuǎn)化為兩個條件，即原函數(shù)一個條件，導(dǎo)函數(shù)一個條件，導(dǎo)函數(shù)的條件一般不會忽視，但原函數(shù)的條件很容易被忽視.練習(xí)：1o81、求曲線C：y-x3過點P2-的切線方程33【答案】12x3y160或3x3y202、曲線yx33x26x10的切線中，斜率最小的切線方程為.【答案】3xy110作業(yè)講評：課后作業(yè)：計時雙基練P233基礎(chǔ)1-11課本P40變式思考1、2、3;對應(yīng)訓(xùn)練1、2預(yù)習(xí)第二章第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一課時計時雙