空間直線的方向向量和平面的法向量

1、2021/3/91一、直線的方向向量。一、直線的方向向量。對(duì)于空間任意一條直線對(duì)于空間任意一條直線 ，我們把與直線，我們把與直線 平行的平行的非零向量非零向量 叫做叫做直線直線 的一個(gè)方向向量的一個(gè)方向向量。lldl一條直線一條直線 有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量是相互平行的；直線向量是相互平行的；直線 的方向向量的方向向量 也是所有與也是所有與 平行的直線的方向向量。平行的直線的方向向量。lldl如何刻畫(huà)空間直線的方向？如何刻畫(huà)空間直線的方向？2021/3/92例例1:已知長(zhǎng)方體已知長(zhǎng)方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)的棱長(zhǎng)AB=2,AD=4,AA=3.建系如圖建系如圖

2、,求下列直線的一個(gè)方求下列直線的一個(gè)方向向量向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB.ABCDABCD解解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0).),30,0()1(AA).30 , 0( AAdAA 的的一一個(gè)個(gè)方方向向向向量量是是直直線線).3 , 0 , 4()2(CBd).3 , 2 , 4()3(CAd).3, 2 , 4()4(DBd2021/3/93例例2:已知所有棱長(zhǎng)為已知所有棱長(zhǎng)為 的正三棱錐的正三棱錐A-BCD,試建立試建立空間直角坐

3、標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系,確定各棱所在直線的方向向量確定各棱所在直線的方向向量.aABCDEFxyz(O)解解:建系如圖建系如圖,則則B(0,0,0)、).0 ,2,23()0 , 0(aaCaD、),0 ,2,63().0 ,2, 0(.aaFaEBCDFBDE則則的中心的中心是等邊是等邊的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，為為設(shè)設(shè) ,3632222aaaCFACAF ).36,2,63(aaaA2021/3/94BEFxyz(O).36,2,63(aaaA)0 , 0(aD).0 ,2,23(aaC);0 , 1 , 0(BDd);0 , 1 , 3(BCd);0 , 1 , 3(CDd);22 , 3, 1 (B

4、Ad);20 , 1 (ACd).22, 3, 1(ADd2021/3/95如何刻畫(huà)平面的方向？如何刻畫(huà)平面的方向？二、平面的法向量：二、平面的法向量：叫做叫做那么向量那么向量垂直，垂直，面面如果它所在的直線與平如果它所在的直線與平對(duì)于非零的空間向量對(duì)于非零的空間向量nn ,.的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量平平面面 例例3：長(zhǎng)方體中，求下列平面的一個(gè)法向量：長(zhǎng)方體中，求下列平面的一個(gè)法向量：（1）平面）平面ABCD; (2)平面平面ACCA; (3)平面平面ACD.xyzABCDABCD234).1 , 0 , 0(1 n）解解：（2021/3/96xyzABCDABCD234則則的的一一個(gè)個(gè)法法向

5、向量量為為設(shè)設(shè)平平面面),()2(wvunAACC . 00ACnAAnACnAAn),0 , 2 , 4(),30 , 0( ACAA 020002)4(0)3(00vuwwvuwvu, 21 vu取取).0 , 2 , 1( nAACC的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量平平面面2021/3/97xyzABCDABCD234的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量，是是平平面面設(shè)設(shè)),()3(ACDwvun 00ADnACnADnACn),3, 0 , 4(),0 , 2 , 4( ADAC.342034024 uwuvwuvu, 4, 6, 3 wvu得得取取).4,6 ,3( nACD 的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量平

6、平面面2021/3/98基本命題基本命題1：兩條直線平行或重合的充要條件是它們兩條直線平行或重合的充要條件是它們的方向向量互相平行。的方向向量互相平行?；久}基本命題2：一條直線與一個(gè)平面平行或在一個(gè)平面一條直線與一個(gè)平面平行或在一個(gè)平面內(nèi)的充要條件是這條直線的方向向量垂內(nèi)的充要條件是這條直線的方向向量垂直于該平面的法向量直于該平面的法向量 .基本命題基本命題3： 兩個(gè)平面平行或重合的充要條件是它們兩個(gè)平面平行或重合的充要條件是它們的法向量互相平行的法向量互相平行.nmn0mnnmm2021/3/99例例4：在正方體中，：在正方體中，E、F分別為分別為BC和和BB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求證：求證：

7、 ADFE.xyzAB證：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為證：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，建系如圖，建系如圖，則則A(1,0,0)、D(0,0,1)、).21, 1 , 1()1 , 1 ,21(FE、),21, 0 ,21(),1 , 0 , 1( FEDA,21DAFEDAFE .FEDADAEF顯然不重合，顯然不重合，與與ABCDCDEF2021/3/910例例5：在長(zhǎng)方體：在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，中，., 31,31,DDCCEFDBFBDAEADBDAFEcAAbABaAD平平行行于于平平面面直直線線求求證證：且且上上的的點(diǎn)點(diǎn)，、分分別別是是、 xyzABABCDCDEF),0 , 0 , 0( )0

8、 ,( ), 0 , 0()0 , 0 ,( DbaBcDaA、證證：建建系系如如圖圖，則則),0 ,32,32()3, 0 ,32(baFcaE、).3,32, 0(cbEF .)0 , 0 , 1(,的的一一個(gè)個(gè)法法向向量量是是平平面面軸軸垂垂直直于于平平面面DDCCnDDCCx .0nEFnEF 內(nèi)內(nèi)，不不在在平平面面又又顯顯然然DDCCEF.DDCCEF平面平面直線直線2021/3/911例例6:已知長(zhǎng)方體的棱已知長(zhǎng)方體的棱 AD=4,AB=2,AA=3,求證平面求證平面ABD平面平面CDBxyzABCDABCD證：建系如圖，證：建系如圖，B(4,2,3)、C(0,2,3)、D(0,0,3)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、D(0,0,0).).3 , 0 , 4(),0 , 2 , 4(),0 , 2 , 4(),3 , 2 , 0( CBBDDBBA).,(),(22221111wvunwvunBCDBDA 為為的的法法向向量量分分別別和和平平面面設(shè)設(shè)平平面面 . 02403211111111vuDBnwvBAnDBnBAn).4, 6 , 3(, 3, 4, 61111 nuwv則則令