導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單調(diào)性極值與最值

1、補講：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(單調(diào)性、極值與最值).選擇題:已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0w(a,b),則lhmf(xhf(xh)(A)f'(Xo)(C)-2f'(Xo)(D)函數(shù)y=xlnx在區(qū)間()1，(A)(0,)上單倜遞減e1(B)(，七c)上單倜遞減e(C)(0,e)上單調(diào)遞減(D)(0,E)上單調(diào)遞增函數(shù)y=2x33x212x+5在0,3上的最大值和最小值依次是()(5)(6)(A)12,-15(B)5,-15(C)5,-4(D)-4,-15已知函數(shù)f(x)(A)-1：a:2(C)a<-3或a設(shè)點是曲線y2+ax+(a+6)x十1有極大值和極小值，則

2、實數(shù)的取值范圍是(B)-3：a:6(D)a<-1或aa2_2-%，'3x+上的任意一點，點處切線傾斜角為，則角的取值范圍是32靈2二_(A)，兀)侄)(匚，323二25:(C)0-)M")(d)。,二)/)2326、一.3-2_方程x36x2+9x10=0的實根個數(shù)是()(A)二.填空題:(B)(C)(D)(8)已知曲線C:y=x33x2+2x,直線l:y=kx，若與相切于點(x0,y0)(x0尹0),則切點坐標(biāo)是函數(shù)f(x)=-x3+bx(b在R)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，且關(guān)于的方程f(x)=0的根都在區(qū)間-2,2內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是(10)已知f(x)=x3+

3、3x2+a佰在R)在3,3上有最小值，則在3,3上，f(x)的最大值是三.解答題：(11)函數(shù)f(x)=x33ax+b(aA0)的極大值為6,極小值為2,求實數(shù)a,b的值.(12)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x.一.,-1求函數(shù)f(x)的單倜區(qū)間；若x1,證明：1<In(x+1)<x.(13)(全國卷n)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.(I)求f(x)的極值.(n)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.14(全國卷III)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角

4、，再焊接而成(如圖)，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？a3b22(15)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)=-x+x-ax(a>0)的兩個極值點，32且|*|區(qū)|=2.i證明：0<a、1證明：止區(qū)四39若函數(shù)h(x)=f'(x)2a(xx)，證明：當(dāng)為ex<2且x<0時，|h(x)件4a.3216.(山東卷)已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3(m+1)x+nx十1的一個極值點，其中m，nuR，m<0,(I)求與的關(guān)系式；(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(III)當(dāng)x-1,1時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3,求的取值范圍.(全

5、國卷n)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3-x2-x+a.(I) 求f(x)的極值.(n)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.解：(I)f'(x)=3-2-1若f'(x)=0,則=-,=13當(dāng)變化時，f'(x),f(x)變化情況如下表:,1、(，3)1一-31(1)31(1,+8)f'(x)+0一0+f(x)極大值極小值15f(x)的極大值是f()=一+a,極小值是f(1)=a1327_322(II) 函數(shù)f(x)=x-xx+a=(x-1)(x+1)+a-1由此可知，取足夠大的正數(shù)時，有f(x)>0,取足夠小的負(fù)數(shù)時有f(x)<0

6、,所以曲線=f(x)與軸至少有一個交點結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知：當(dāng)f(x)的極大值27+a<0,即a亡(-00,-J時，它的極小值也小于0,因此曲線=f(x)與軸僅有一個交點，它在(1,+8)上。當(dāng)f(x)的極小值一1>0即(1,+8)時，它的極大值也大于0,因此曲線=f(x)與軸僅有一個交點，它在(一8,一、“.5.當(dāng)a在(q,)U(1,+勺時，曲線=f(x)與軸僅有一個交點。27.一一3即的取值氾圍是,v'.i)(全國卷III)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90。角，再焊接而成(如圖)，問該容器的高

7、為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為x,容器的體積為V,1分則V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24)5分/K=4x3-276x2+4320xI-FlV=12x2-552x+43207分I*1I(山東卷)已知x=1是函數(shù)f(x)=mx，3(m+1以2十nx+1的一個極值''點，其中m,nwR,m<0,(I)求與的關(guān)系式；(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(III)當(dāng)xw_1,1時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3,求的取值范圍.解f'(x)=3mx26(m+1)x+n因為x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，

8、所以"(1)=0,即3m6(m+1)+n=0，所以n=3m6(II)由(I)知，f(x)=3mx26(m+1)x+3m+6=3m(x-1)Jx-(1+ZI'故有上表知，當(dāng)m<0時，f(x)在f,1+2i單調(diào)遞減，m,2,在(1+2,1)單調(diào)遞增，在(1,E)上單調(diào)遞減.m2一一.當(dāng)m<。時，有11+，當(dāng)變化時，f(x)與f(x)的變化如下表:m(2)1-,1+1ImJwm(2)1+,11Im,J1(1,危)f'(x)00f(x)調(diào)調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減(III) 由已知得f'(x)A3m,即mx22(m+1)x+20又m<0所以x

9、22(m+1)x+M°即x(1)<0,1-1,1mmmm、21、2設(shè)g(x)=x2(1+)x+,其函數(shù)開口向上，由題意知式恒成立，mm所以看)*0n廠2;匕<0解之得又m<0所以-4<m<04即的取值氾圍為-一,0.3第五講答案:一. 選擇題：二. BABCCC填空題：(9)3,4(8)(10)三.解答題：(11)a=1,b=4.(14)解：f(x)=ax+bxa',Xi,X2是f(X)的兩個極值點，X，X2是方程f'(X)=0的兩個實數(shù)根.1分ba>0,xx2=avO,x+x2=一一.2分a八建+4a.3分IX|+|X2|=|X1

10、X2|=Ixi|+|X2|=2,即b2=4a24a3.b2>Q0<a<L設(shè)g(a)=4a2-4a3,z+4a=4,4分5分貝Ug'(a)=8a12a?=4a(23a).6分2由g'(a)>0及a>00<a<,o2g'(a)<<a<1,o2o得g(a)在區(qū)間(0,*)上是增函數(shù)，在區(qū)間(1上是減函數(shù),916g(a)max=g(§)=8分.鄴Xi,X2是方程f(x)=0的兩個實數(shù)根，f'(x)=a(xxi)(xX2).*，+1o分h(x)=a(xx)(xX2)2a(xxi)=a(xxi)(x一X22),I