高中數(shù)學導數(shù)的運算

1、1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算v基本初等函數(shù)求導公式基本初等函數(shù)求導公式v導數(shù)運算的法則導數(shù)運算的法則1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算常數(shù)函數(shù)的導數(shù) ; 0 c 冪函數(shù)的導數(shù) ;)(1xx 指數(shù)函數(shù)的導數(shù) xxxxeeaaa)( ;ln)(特別地； 對數(shù)函數(shù)的導數(shù) ;1)(ln ,ln1)(logxxaxxa特別地， 正弦、余弦函數(shù)的導數(shù) (sin )cosxx ，.sin)(cosxx 一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式22tansec; cotcsc; secsec tan ; cs

2、ccsc cot ;xxxxxxxxxx 2211arcsin; arccos;11xxxx 2211arctan; arccot; 11xxxx 2.2 2.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式例1、求下列函數(shù)的導數(shù) 11; 2; 3; 43xexyyyxye要求導數(shù)首先要區(qū)分題目中的函數(shù)是要求導數(shù)首先要區(qū)分題目中的函數(shù)是哪種函數(shù)，不要被表面現(xiàn)象迷惑。哪種函數(shù)，不要被表面現(xiàn)象迷惑。 為底的指數(shù)函數(shù)是以1 為底的指數(shù)函數(shù)是以312 是冪函數(shù)3 是常數(shù)41.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式例1、求下列函數(shù)的導數(shù)

3、11; 2; 3; 43xexyyyxye解： x1 y=lnx 31ln31312xxyx33ln 13eexy 04 y1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式在原點處的切線方程、求曲線例xysin2 要求在原點的切線方程，由題，應用點斜要求在原點的切線方程，由題，應用點斜式，即要先求出切線的斜率。由導數(shù)的幾何意式，即要先求出切線的斜率。由導數(shù)的幾何意義知，該點的斜率就是曲線在該點的導數(shù)。義知，該點的斜率就是曲線在該點的導數(shù)。xysin解：xcos的斜率為在0 , 00 xyk0cos1xyxy處的切線為在則0 , 0sin1.2 1.2 導數(shù)的

4、運算導數(shù)的運算一、基本初等函數(shù)求導公式一、基本初等函數(shù)求導公式思考：曲線上哪些點的切線平行于思考：曲線上哪些點的切線平行于x軸呢？軸呢？切線平行于 x 軸，有 0 y，即 cosx=0 得 , 2xkk ，此時 1y 三角函數(shù)的導函數(shù)仍是三角函數(shù)，反三角函數(shù)的導函數(shù)已是代數(shù)函數(shù)。熟悉這些公式有利于計算導數(shù)。 Zkxk軸點的切線都平行于即1,21.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則 xvxuxvxu, 0 xv ,xvxuxvxu是可導的函數(shù)，則設仍是可導的函數(shù)，且，法則 1 ).()( )()(xvxuxvxu 法則 2 ).()()()( )()(xvxux

5、vxuxvxu 法則 3 ).( )(xuCxCu 法則 4 .)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu 1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則 注意：法則注意：法則1、2都可以推廣到多個函數(shù)的情都可以推廣到多個函數(shù)的情況，法則況，法則3是法則是法則2的特殊情況的特殊情況我們可以驗證以上法則：2112x xx xx xxxxx xxxxxxxxxxxx112.)()(2222221.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則例3、求函數(shù)2lncos2xexxxxy的導數(shù)。 2lncos2xexxxxy解：xexxxs

6、in211202ln:為是常數(shù)，所以它的導數(shù)注意1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則例4、解 221133dVrhrdh （注意： 213r是常數(shù)因子） 思考：當高度思考：當高度h h不變時，不變時，V V對底半徑對底半徑r r的變化率如何？的變化率如何？ 例5、求函數(shù)xxyln3的導數(shù) 解 33lnlnxxxxy22ln3xxx對高度不變時，求，當?shù)装霃綀A錐體積VrhrV231的變化率。h1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則例6、設),11)(1 ()(22xxxf求) 1 (f 和).1( f 解 2222111111xxxxxf32221112xxxx322xx所 以 . 4) 1(, 4) 1 (ff 1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算二、導數(shù)運算的法則二、導數(shù)運算的法則練習的導數(shù)求函數(shù)xytanxxxxxxxxxxxxy222222seccos1cossincoscossincoscossincossin同理，函數(shù) cotx、secx、cscx 的導數(shù)結(jié)果也可由 sinx、cosx 的導數(shù)公式推導而得，同學們自己練習 1.2 1.2 導數(shù)的運算導數(shù)的運算例7、求函數(shù) 的導數(shù)xxy23解： 222323xxxxxy 2232xxx