量子糾纏導(dǎo)論

1、量子糾纏導(dǎo)論 蘇州大學(xué)物理系老校友朱德生 本文提要：1,量子力學(xué)的基本知識；2,量子糾纏的基本理論。 量子糾纏現(xiàn)象是量子力學(xué)實踐中的一項重要成果 , 也是量 子力學(xué)區(qū)別經(jīng)典物理學(xué)的一個重要標旨。 經(jīng)典物理學(xué)不論是經(jīng)典 的力學(xué)、熱學(xué)、統(tǒng)計物理學(xué)、光學(xué)，電磁理論和引力論，還是愛 因斯坦的狹義相對論、廣義相對論，都是定域理論。定域理論認 為，物質(zhì)的運動或變化都與時間和空間有不可分割的聯(lián)系， 反映 物質(zhì)運動屬性的力學(xué)量（位移、速度、加速度、 動量和能量 ）和時間的關(guān)系，都可以通過一定的實驗手段進行測 量，或者應(yīng)用理論進行計算， 導(dǎo)出物質(zhì)力學(xué)量的屬性與時間和空 間的關(guān)系。 而量子力學(xué)中卻是非定域理論。

2、由于量子力學(xué)是非定 域理論，因而反映微觀粒子的量子力學(xué)性質(zhì)的力學(xué)量， 不僅與微 觀粒子本身的性質(zhì)有關(guān)， 而且還與量子力學(xué)測量方法有關(guān)。 量子 力學(xué)的這種特性，使微觀粒子運動的力學(xué)量與時間和空間的關(guān) 系，具有不確定性。這種不確定性，來源于微觀粒子具有波粒二 象性。正因為微觀粒子具有波粒二象性， 使我們在測量微觀粒子 的相關(guān)的力學(xué)量時， 它們的測量值會受到測量本身的干擾。 這種 干擾，在量子力學(xué)中的測量中反映為測不準關(guān)系。 量子力學(xué)的測不準關(guān)系為(1)(1)(x)2a Px)2h2簡寫為：x p 7上式(1)中的(x)2 ,是坐標x的均方偏差，也即2 2(x)2(xx)2x22xx xx2x ；

3、(px)是動量px的均方偏差，也即(Px)2(PxPx)P：2Px PxPxP：Px。而h h2 ，h為Planek (普朗克)常數(shù)。由于量子力學(xué)中的微觀粒子具有非定域性質(zhì)，因而在研究量子糾纏現(xiàn)象時，必須了解量子力學(xué)的基本知識，從量子力學(xué)所特有的非定域性來考慮。只有這樣，才能理清發(fā)生量子糾纏的粒子 之間，出現(xiàn)的一些難易理解的疑難問題。一，量子力學(xué)的基本知識在量子力學(xué)中，描寫力學(xué)量的量子狀態(tài)常用波函數(shù)表示。波函數(shù)的具體形式可用下式表示：丄(Et P?r)p(r,t) Ae h(1-1)或用Dirac (狄拉克)矢量符號)表示L(Et P?r)p) Aeh - (1-2)因為微觀粒子具有波粒二象性

4、，受制于測不準關(guān)系，不可能 同時用微觀粒子的坐標和動量的確定值， 描寫它的量子狀態(tài)。所 以，當微觀粒子的量子體系處于某一狀態(tài)時， 它的力學(xué)量(坐標、動量等)一般可以有許多可能的值，這些值各自以一定的幾率出 現(xiàn)。正因為如此，在量子力學(xué)中，常用在某一狀態(tài)出現(xiàn)的幾率， 描寫微觀粒子的量子狀態(tài)的性質(zhì)。解 SchrOBdinger (薛定諤)方 程或Heisenberg (海森伯)方程，可求出微觀粒子的有關(guān)量子 狀態(tài)的波函數(shù)。利用所求出的波函數(shù)，即可計算出所求力學(xué)量的 幾率設(shè)(x, y, z,t)是描寫微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，在空間一點2(x, y,z)和時刻t波的強度是| |( 是 的共軛復(fù)數(shù)).以dW

5、(x, y, z,t)表示在時 刻t ,和坐標x x dx, y y dy， z z dz的無限小區(qū)域內(nèi)找到微觀粒子的幾率。那么， dW除 了和這個區(qū)域的體積ddxdydz成比例外，還和在這區(qū)域內(nèi)每一點找到微觀粒子的幾率成比例。按照波函數(shù)的統(tǒng)計概率，在這2個區(qū)域內(nèi)的某一點找到微觀粒子的幾率，應(yīng)與| (x,y,x,t)|成比。所以dW(x,y,z,t) C (x,y,z,t)| d - (1-3)式中的c是比例常數(shù)。利用(1-3)式，可求出在時刻t和(x, y, z)點附近單位體積內(nèi)， 找到微觀粒子的幾率。設(shè) w(x, y, z,t)為幾率密度/丄、dW(x, y, z,t)/iX|2“八w(x

6、,y,z,t) 亍-c (x,y,z,t)|- (1-4)d由式，可得出在有限體積 V內(nèi)，在時刻t找到微觀粒子的幾率W(t)W(t) dW w(x, y, z,t)dVV丿2c vl (x, y,z,t)| d -(1-5)如果將將W(t)的積分體積v，擴充到微觀粒子出現(xiàn)的整個 區(qū)域，在整個區(qū)域v找到微觀粒子的幾率，肯定是1。即2c | (x,y,z,t)|d 1 - (1-6)由此容易求出常數(shù)c的表式2 1c 1( I I d ) 1 (1-6)事實上，波函數(shù)乘上或除上某一常數(shù)，其結(jié)果只是改變波函 數(shù)的振幅，并不改變在有限體積內(nèi)，在時刻 t找到微觀粒子的幾 率。因而，在量子力學(xué)中，為了簡化，

7、往往通過將(t)替代(t)(x.y.z.t) Cc (x, y,z, t) - (1-7)將常數(shù)c從幾率表式中除去。這樣在時刻t，區(qū)域d dxdydz內(nèi) 找到微觀粒子的幾率可寫為2dW(x, y,z,t) | (x, y,z,t| d - (1-8).2而| (x,y,z,t) d 1 - (1-9)在量子力學(xué)中，將(1-6)和(1-9)稱為歸一化條件。將(x, y, z,t)換成(x.y.z.t)稱為歸一化。使 換成 的常數(shù)、c， 稱為歸一化常數(shù)。滿足關(guān)系式(1-9)的波函數(shù)，稱為歸一化波函 數(shù)。在量子力學(xué)中，描寫微觀粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)，還有一個 重要的原理：疊加原理。根據(jù)疊加原理，若波函

8、數(shù)，是描寫微觀粒子體系中的幾個可能的量子狀態(tài)的波函數(shù)，則由這些波函數(shù)線性疊加所得出的波函數(shù)n也是這個微觀粒子體系中的一個可能的量子狀態(tài)為了演算方便和書寫簡化，在量子力學(xué)中，微觀粒子的力學(xué)量常用算符表示。例如，動量可用算符？x，?y, ?2或?表示X , ?y?z (1-11)z I z?-(1-12) I角動量用算符1?表示L? ? ? - (1-13)而角動量的分量的算符為L?xy?zz?yh ,(y- izz-Lyz?xX?zh.(z-x)- (1-14)IxzLzX?yy?xh(x-y)Iyx動能用算符T表示。h2z2)(1-15)能量的算符為H?，它又稱Hamlltonian (哈密頓

9、)算符。當微觀粒子的勢能僅是粒子位置到力場中心距離 r的函數(shù)U(r)時, 能量算符可寫成H? T L?(r) - (1-16)在量子力學(xué)中，將表述微觀粒子的狀態(tài)和力學(xué)量的方式， 稱 為表象。微觀粒子體系的一個態(tài)，既可用以坐標x(包含x的全部 變量x1, x2, x3)為變量的波函數(shù) (x,t)來描寫，也可用以動量p 的波函數(shù)c(p,t)來描寫(x,t)c(p,t) p(x)dp - (1-17)c(p,t) (x,t) p(x)dx - (1-18)式中的p(x)是動量的本征函數(shù)，p(x)是x(x)的共軛復(fù)數(shù)。1丄pxp(x) 1eh- (1-19)(2 h) 2稱(x,t)是在坐標表象的波函

10、數(shù)，而稱由(1-17)和(1-18)給出 的c(p,t)是同一個態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。利用坐標表象中的波函數(shù)，就可求出處于一個態(tài)中所有微觀 粒子的坐標在x到x dx之間的幾率w(x,t)dx | (x,t)dx (1-20)同樣，利用動量表象中的波函數(shù)，可求出處于一個態(tài)中所有 微觀粒子的動量p到p dp之間的幾率w(p,t)dp |c(p,t)2|dp - (1-21)前面說過，解Schr&8dinger (薛定諤)方程或Heisenberg (海森伯)方程，可求出微觀粒子的有關(guān)量子狀態(tài)的波函數(shù)。對于自由粒子，它的能量E等于它的動能T。所以，它和動 量p滿足如下的關(guān)系式2E ； (1-22)

11、而自由粒子的波函數(shù)是平面波，即因而有丄(Et p?r)(r,t) Ae h(1-23)丄 e - (1-24)h(1-25)對二次微分有比較(24)、(25)兩式和應(yīng)用(22)式，可得到自由粒子的22222PxPyPzh2, 2yh2，2 zh22222222xyz2(222、P( Px Py Pz )2 2hhh2波函數(shù)所滿足的微分方程(1-26)對于在中心力場中運動的微觀粒子，它的能量應(yīng)是動能和勢能之和。所以有2E P U(r)(1-27)2這樣，(26)式應(yīng)改寫成ihth222U(r)(1-28)稱(1-28)為 SchrOBdinger 波動方程，簡稱 SchrOdinger 方程。由

12、于勢能U(r)與時間無關(guān)，方程(1-28)可以簡化。設(shè)(1-19)是方程(1-28)的特解。方程(1-28)的通解可以表示為許多這樣的解之和。將(1-29)代入(1-28):,并用 (r)f(t)除f(t)CeiEth等式兩邊，可得ih df(t) f(t) dt1h 2(r)2(r) U(r)(1-30)顯然，(1-30)右方是個與時間無關(guān)的常數(shù)。故可用E表示此常數(shù)，即或1h22E2 (r) U(r) (r)(r)2h22(r) U(r) (r) E (r) - (1-31)2于是有ihdf(t) Ef (t) - (1-32) dt方程(1-31)的解為將上式代入(1-29)中，并將常數(shù)C

13、包含到(r)中，最后可得SchrOBdinger (薛定諤)方程(28)的特解(r,t)(r)e h(1-33)具有(1-33)形式的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)，稱為定態(tài)。在定態(tài)2 2中的幾率密度| (r.t)| (r)|與時間無關(guān)。方程(1-31)稱為定態(tài)SchrO&jinger (薛定諤)方程。(r t)ihE (r,t)- (1-34)t邑用e h乘方程(1-31)兩邊，可得h2222 U(r)(r.t) E (r,t)- (1-34)比較(1-34)和(1-34)知，算符ih和算符 tY 2 U(r)相當，作用在波函數(shù)(r,t)上，都得到一個相同的數(shù)字E乘(r,t)，即E (r,t)。在量子力

14、學(xué)中，將這種類型的方程為本征(r,t)為算符的本征函數(shù)。U(r)這兩個算符值方程，稱E為算符的本征值，稱在上述介紹的例子中，ih 和t的作用相同，同稱為能量算符SchrOBdi nger方程的特點是，各種表象中的波函數(shù)，都是時間的函數(shù)。例如，在坐標表象中，波函數(shù)(r,t)與時間有關(guān)。而算符?，?，I?等都與時間無關(guān)。在量子力學(xué)中，將波函數(shù)與時 間有關(guān)，算符與時間無關(guān)的表象，稱為 SchrSdinger (薛定諤) 表象；而將另一種表象稱為 Heisenberg (海森伯)表象。Heisenberg (海森伯)表象的特點是：它的波函數(shù)與時間無關(guān), 而算符與時間有關(guān)。下面來說Heisenberg表

15、象與SchrOginger表象之間的聯(lián)系。用H表示Heisenberg表象中的波函數(shù)，用S表示SchrO&iinger表象中的波函數(shù)。因為Heisenberg表象中的波函數(shù)至于在時刻t, Schro：din ger表象中的波函數(shù)(t)，可從下面的論述中得出：前面已說過，在SchrSdinger表象中描寫體系狀態(tài)的波函數(shù)(t)隨時間變化的規(guī)律，滿足SchrOdinger方程ihF? (t)(1-35)于是，知道了初始時刻t 0的波函數(shù)0后，就可由(1-35)式確定何時刻的(t)。(t)和0的這種關(guān)系，可簡化為(t) F o - (1-36)(1-35)和(1-36)中的H?、L?都是算符。將(1

16、-36)代入(1-35) 得ihL? o HL? oih_L?HL?0?即ihHfU?(t) - (1-37)？由式(1-36)知，算符L?(t)應(yīng)滿足t 0時L?(0)1- (38)所以，由(1-37)式求出算符L?(t)后，代入(1-36)式后，即可由 求出(t)。禾U用式(1-36)，即可求得SchrOdinger表象中的波函數(shù)S(t)(t)，與Heisenberg表象中的波函數(shù)0之間的關(guān)聯(lián)S(t) U(t) 0L? H(t) - (1-39)(t)0 U S(t)(1-40)在量子力學(xué)中，有一種不依賴于坐標系的選取或表象的選取，在任意坐標系中或表象中表示力學(xué)量的方法。這種方法是由Dir

17、ac （狄拉克）引進的，他用他創(chuàng)造的 Dirac （狄拉克）矢量 符號）表示波函數(shù)，并將它稱為刃矢，簡稱刃。若表示處于第 A狀態(tài)的波函數(shù)，則寫成|A：。描寫量子的狀態(tài)，也可用另一種 Dirac （狄拉克）矢量符號（|表示，并將它稱為刁矢，簡稱刁。 表示處于第B狀態(tài)的波函數(shù)，可寫成B|。刁A|在任- 量子表象 中的分量，是刃| A在同一量子表象中的共軛復(fù)數(shù)。一個刃| A和 一個刁（B |的標積：B | A），在量子力學(xué)中定義為這兩個矢量所 對應(yīng)的分量的乘積之和。 御A 是- -個數(shù)字,且；b|a 和; A B為 共軛復(fù)數(shù)。即B|A A|B- （1-41）如果一個狀態(tài)是算符F?（或一組相互對易的算

18、符）的本征態(tài) （或本征矢），對應(yīng)的本征值F，我們把表示本征態(tài)的刃和刁寫 為| FJ和（行。若F的本征態(tài)對應(yīng)的本征值Fi只有一個，則可將這個本征態(tài) 的刃和刁寫為|f）和F。|f）和f I的正交歸一化條件寫為引叮 j （1-42）若F的本征值組成連續(xù)譜F ，則表示本征態(tài)的刃和刁：|F） 和F 的正交歸一化條件寫為F|F）（）- （1-43）在量子力學(xué)中，任何一個算符的全部本征函數(shù)，組成一個完 整的微觀粒子的量子體系，表示這些本征函數(shù)的本征態(tài)的刃(或刁)也組成一個完全系。所以稱組成完全系的刃(或刁)，為F表 象中的基刃(或基刁)。以X、)表示算符x的本征態(tài)(即基刃)，| a表示某一狀態(tài)的 刃，這個態(tài)

19、在x表象中以波函數(shù)(x,t)描寫，(x,t)就是刃| A在X表象中的分量。由于基刃|x)組成一完全系，所以IA可按| X、)展 開：A|x)dx (x,t) - (1-44)同樣，若算符？的基刃分|p, c(p,t)是|A在p表象中的分量,|A)|pdpc(p,t) - (1-45)根據(jù)(1-43)式連續(xù)基矢的歸一化性質(zhì)，可得(x x)(x x)-(1-46)p 1p) (P P )-(1-46)由(1-44)、(1-46) 和(1-45)、(1-46),可得(x|A)xxdx (x,t)(x x)dx (x,t)(x,t) -(1-47)PA)(Pp)dpc(p,t)(P P)dpc(p,t

20、)c(p,t)(1-48)仔細研究(1-44)和(1-45)式容易發(fā)現(xiàn)，若P(x,t)是動量？本征矢在x表象中的分量，？的本征矢可按X的本征矢展開即|p|x、)dx、p(x、,t)則 x|p)x|xdx p(x,t)(x x)dx *x,t) p(x,t)- (1-49)這樣就可以將(1-44)、(1-45)之類的刃或刁寫成Dirac符號的形式IAx)dx(x|A)-(1-50)IA|p)dpp|A)-(1-50)(x|A(x p)dp(p| A)- (1-51)PlA(p xdp(x| A)- (1-51)類似(1-51)和(1-51),可以將量子力學(xué)的關(guān)系式全 部用Dirac符號來表示。設(shè)

21、算符F作用在刃| A：上得到刃，則可寫成B) F?|A)- (1-52)設(shè)算符Q有分立的本征譜，則| B和| A可按Q?的基及| Q展開：| A|Q；Q|A； - (1-53)QB|Q)Q|B- (1-54)Q式中(Q|A)、(Q|B)是|A)與| B)在Q表象中的分量。二，量子力學(xué)中的糾纏現(xiàn)象量子糾纏這一物理概念，起源于 Einstein (愛因斯坦)等人 在1935年發(fā)表的EPR論文中。他們在論文中設(shè)計了一種特殊的 量子態(tài)(洛公2)以也) exp (x1 X2 x0)pdp - (1-1)這種量子態(tài)的特征是，不能將它寫成它的兩個子系統(tǒng)量子態(tài):2的直積形式，即區(qū)兀)i 2 (1-2)后來，S

22、chrOid inger（薛定諤）將這樣的量子態(tài)稱為量子糾纏態(tài)量子力學(xué)中的量子糾纏態(tài)，實際上是由量子力學(xué)的疊加原理 形成的量子體系中的復(fù)合體系所具有的特殊現(xiàn)象。下面來闡明，什么是量子力學(xué)中的量子糾纏。前面已說過，量子力學(xué)有一個重要的原理：疊加原理。若某 一量子體系中含有兩個或兩個以上的子體系，則可利用量子力學(xué) 的疊加原理，合成多種復(fù)合體系。在這些復(fù)合體系中，若存在一 些子系，它們的量子態(tài)1、2、-，不能用直積的形式表示它們的量子態(tài)，即（x,x2,）1 2，但這些子系又相互關(guān)聯(lián)和干擾，這些子系這種相互干擾的現(xiàn)象，在量子力學(xué)中稱為 量子糾纏。為了簡要地說明問題，下面以兩個電子為例，說明如何通過 線

23、性的疊加原理，合成復(fù)合體系的。在合成的復(fù)合體系中，那些 子系是相互糾纏的。兩個電子A和B的自旋各自有兩個可能的態(tài)，這些態(tài)稱為 電子的本征態(tài)，分別記為：|A與IA，IB與IB。這四個本 征態(tài)，由于都是單一的態(tài)，故又稱為電子的純態(tài)。由四個本征態(tài) 組成的復(fù)合體系的自旋態(tài)，共有 4個：a, xiic,Xiod,xoo其中，xsm的足標s，表示兩電子系總自旋,m表示電子自旋在Z分量的量子數(shù)。在上達四個復(fù)合態(tài)中,a、b兩種屬于分離態(tài)。因為a、b中的A、B兩個電子分別處于自旋確定的態(tài)， 對它們測量時，相互不干擾，故為非糾纏態(tài)；c、d兩種則屬于不可分離態(tài)，對它們測量時相互干擾。因為 c、d中的A、B兩 電子的

24、自旋均不確定，且對它們測量時兩者的結(jié)果會相互牽連， 故兩者處于相互糾纏的態(tài)。另外，用非糾纏態(tài)通過新的疊加，可以構(gòu)成新的糾纏態(tài)。在 兩個電子體系中，可利用a和b兩個非糾纏態(tài)，可以構(gòu)成以下兩 個糾纏態(tài):e，e和f與c和d不同的是，其復(fù)合的總自旋Z分量的“+”或“-”值是不確定的，但分別有確定的“旋稱” 。e和f也可合 寫成|）。以上介紹的是含有兩個子系統(tǒng)的量子糾纏態(tài)，這種糾纏態(tài)在量子力學(xué)中稱為Bell態(tài)。含有兩個光子的量子糾纏態(tài)，屬于Bell態(tài)。在量子力學(xué)中， 若量子體系中含有三個子體系， 由三子體系 組成的量子糾纏態(tài)有兩種：GHZ態(tài)和W態(tài)。含有三個光子的量子 糾纏態(tài)，屬于GHZ態(tài)或W態(tài)。除這些外

25、，還有一種混合糾纏態(tài)。 關(guān)于GHZ態(tài)、W態(tài)和混合糾纏態(tài)，本文不作介紹，有興趣的讀者 可查閱量子糾纏的專門書籍或文章。量子糾纏有多種特性。例如，兩個或幾個相互糾纏的量子， 若將它們分別置于兩個或幾個不同的地方， 當一個地方的量子發(fā) 生狀態(tài)變化 （如躍遷 ） 時，置于另外地方的量子，不論與發(fā)生變 化的量子相距多遠， 必然會產(chǎn)生相應(yīng)的變化。 利用這種糾纏量子 的感應(yīng)效應(yīng) , 我們就可以進行量子通訊。 我國最近發(fā)射的“墨子” 量子通訊衛(wèi)星， 其主要目的， 就是為了驗證它與遠在千里以外的 地面基站之間進行量子通訊的可行性。 實踐證明， 我國領(lǐng)先于世 界的量子通訊，已經(jīng)取得成功。發(fā)生糾纏的量子存在著相干效

26、應(yīng)。所謂相干效應(yīng)，就是指， 若對相互糾纏中的某一量子進行干擾 （如測量），就會引起糾纏的 塌縮，即不再相互糾纏。量子糾纏中存在的相干效應(yīng)，來源于量 子力學(xué)中的測不準關(guān)系，和“單量子不可復(fù)制定理” ?！皢瘟孔?不可復(fù)制原理” 是測不準關(guān)系的一個推廣，它是說，不可能在 不知道量子狀態(tài)的情況下， 復(fù)制單個量子。 原因是要想復(fù)制單個 量子，必須先進行測量，而測量必然改變量子的狀態(tài)，而微小的 改變，就測不準量子的狀態(tài)了，也就不能復(fù)制量子了。利用量子糾纏的相干效應(yīng)， 我們可以設(shè)置量子通訊密碼， 將 通訊需要保密的東西進行量子加密。 我們一旦進行這樣加密， 若 有竊密者妄圖通過科技手段， 竊取我們的量子通訊中所涉及的信 息，只要他們侵入我們的通訊，就會導(dǎo)致