點(diǎn)到直線距離公式的另外幾種推導(dǎo)方法

1、點(diǎn)到直線距離公式的另外幾種推導(dǎo)方法“點(diǎn)到直線的距離公式”是新課標(biāo)人教版必修 2數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，教材在推到公式之后給出“請(qǐng) 研究一下，如何用其它方法推導(dǎo)上面的距離公式”的伏筆，因此，筆者給出另外幾種推導(dǎo)方法，供 大家參考。1點(diǎn)到直線的距離公式在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P (x,yo),直線I: Ax+By+C=O(A 0).設(shè)點(diǎn)P (x,yo)到直線I的距離為d,則J人伴于|v A2 + b2設(shè)點(diǎn)F0(xo，yo)為已知直線I : Ax By0外一點(diǎn)，如何求它到該直線的距離？解：設(shè)過(guò)點(diǎn)F0且與已知直線丨垂直的直線為，垂足為D x, y，點(diǎn)到丨點(diǎn)距離為d，則d二P0Dy0o P0d/D丨：Ax +

2、 By + C = 0/x/|/由 Ax By C = 0 =ki又因?yàn)閨/ _I，所以,代入點(diǎn)斜式，得:y 一 y0即，Bx - Ay Ay0 - Bx0 Ax + By + C = 0，Bx - Ay + Ay 0 - Bx 0 :2B x 0 - ABy 0 - AC2 ，AJBB ；JAB(x - X。),A0,得：0，2A y - ABx 0 - BC y 二A2 B-A(Ax By0 C)22， y 一 y0A B(x - x)2 (y - y0)22 2 A2 B2-B (Ax By 0 C) A(Ax 坐 C)2FAXILA2 BIL A：0A2B2By。C) J(Ax Byo

3、 C)2 H A2 + B2Ax By C即，直線外一已知點(diǎn) F0到已知直線I的距離公式為:Ax By C d =A2 B2當(dāng)A=0或B=0，上面的公式依然適用。當(dāng)然，也可以不用上面的距離公式，即當(dāng)A=0且B工0時(shí),Cc直線 I: y= -，d= _ _y = yB_c+；當(dāng)A豐0，B=0時(shí),Bx0ACC直線 I: x= - ，d=_X0AA直線r： Ax By （Ax。 By） =在直線i:令 y =0,MN得xM =Ax。By。Ax By C=0中,得XNXm-XNAx。 By。 C設(shè)直線i的傾斜角為A二，貝U tan，且.MNH 二二B日A 22t tan, sec v -1 tan ：

4、 -1B.-AA2 B2.2sin,si nJa2 + B2MH = MNsin MNHA2B2A2 B2. c4B2B2A2 B2 =MN sin（兀日）=Ax。+ By。+ C|A| JAJa2 + B2d 二Axo By。C A2B2Axo By。 Csin =說(shuō)明：在證法二中，先將點(diǎn) P到直線l距離轉(zhuǎn)化成過(guò)點(diǎn) P的且與丨平行的直線I與丨的距離，并 通過(guò)特殊位置一一 x軸上的線段 MN的長(zhǎng)，利用三角函數(shù)解決了問(wèn)題， 體現(xiàn)化斜為直的思想. 當(dāng)然, 也可以對(duì)證法二進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓瘉?lái)證明點(diǎn)到直線的距離公式，由興趣的讀者不妨去試一試.2公式的另外幾種推導(dǎo)方法方法1利用直角三角形的面積公式丁 A B

5、豐。，直線I必與兩坐標(biāo)軸相交，如圖1,作PM | x軸交直線I于M ,作PN | y軸交直線I于N, 作PQ! I于Q,則d = I PQ I , d既是點(diǎn)P到直線I的距PM . PN離，又是Rt MPN的高. d=|mn I設(shè) M (xi,yo), N (xo,y2),M、N l，易求出x1=-By0 -C-Ax0 -CA，y2=B/I PM I = I xi-xo I = IAx0 By0 CAI PN I = I y2-y0 I = I_ByC I B1 . 2 2/ 22 鶯 A + BMN I=PM +PN =ABI Axo+Byo+C I 將代入（探）得:d=Ax0 By0 C.A

6、2 B22 2(A +B 豐 0).方法2利用兩點(diǎn)間的距離公式B教材指出，由PQ! I可知直線PQ的斜率為，可求出PQ所在直線的方程，從而可求出交點(diǎn)PA的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求IPQ I?！斑@種方法思路自然，但運(yùn)算較繁”，可是，如果在推導(dǎo)過(guò)程中注意運(yùn)算技巧，也并不繁瑣！方法2 1如圖1,設(shè)Q ( a,b),則d= I PQ I =l(a x) *(b y)，易得直線PQ的方程yy0= A(x-X0),即卩 Bx-Ay=Bx 0-Ay0.從而有Ba - Ab = Bx()- Ay0Aa + Bb + C = 0解之,a=2B x -AByACd= I PQ IA2Ba-x0=-A(Ax。B

7、y。C)A2 + B2,b-y0=-B(Ax。By C)A2 +B2=,(a -x)2 (b - y)2AX0 By0 C，A2B222(A +B 豐 0).方法22如圖1,由方法21有(1)(2)A(a-x0) B(b-y。)=(Ax。 By。 C)B(a - x) - A(b - y) = 0由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-X0)2+(A2+B2)(b-y)2=(Ax 0+By+C)2,222(a-x0) +(b-y 0)=(Ax By C)A2 +B2d= I PQ I = (a -x)2 (b - y)2Ax By C22c、(A +B 豐 0).方法3利用換元法2 2在方

8、法 22 中，設(shè) b-yo=B t, a-xo=A t,代入(1)得(A +B ) t=-(Ax o+B屮+C)Ax。+By。+C t=-a2b2圖 d = I PQ I =a -x。)2 (b - y。)2 = A2 B2(a2+b2 0).=|Ax。+By。+CJa2 十b2方法4利用向量法顯然，直線I的法向量n =（a , B），設(shè)Pi （xi,yi）是直線i上與q不重合的任意一點(diǎn)，當(dāng)n, pp為銳角時(shí),d= I PQ I = RP cos 日(如圖 2);當(dāng)n , RP為鈍角時(shí),d= I PQ I = PP cos(兀-e)P P COS 日=P P I cos 0 I（如圖3）.無(wú)論直線I的法向量n =（a , B）的方向如何,均有RP cos日,d= I PQ I = RP I cos 日 I .又 nn P1P(A