高等數(shù)學下曲線曲面積分

1、第十章積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 格林公式高斯公式與斯托克斯公式第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 第十章 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” k

2、kkks),(可得nk 10limM為計算此構件的質量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構件的質量采用設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構件的質量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對如果 L 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10Lsyxf

3、d),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.3. 性質性質szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf(5)對稱性與二重積分類似(0)( , )( , )(

4、 , )(0,2),LL xxxf x yf x y dsf x y dsf x y關于 為奇函數(shù)關于 為偶函數(shù)L關于y軸對稱輪換對稱性1( , )( , ) ( , )( , )2LLLf x y dsf y x dsf x yf y x ds(6)可將重心，轉動慣量推廣到曲線弧上tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉 化定理定理:),(yxf設且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分說明說明:(1)因此積分限必須滿足!xd

5、ydsdxyo(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 如果曲線 L 的方程為),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 計算,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10

6、 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例2. 計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLyox例例3. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka

7、)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線例例4. 計算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22r

8、r)(),(ttf內容小結內容小結思考與練習思考與練習1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性2. 設均勻螺旋形彈簧L的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關于 z 軸的轉動慣量;zI(2) 求它的質心 .解解: 設其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2

9、222kak故重心坐標為),0,0(k第二節(jié)一、對坐標的曲線積分的概念一、對坐標的曲線積分的概念 與性質與性質二、二、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對坐標的曲線積分 第十章 一、一、 對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xoy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, ABLxy求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(

10、yxQyxPyxF2. 定義定義. 設 L 為xoy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在L 上定義了一個向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ3. 性質性質(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1

11、(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !二、對坐標的曲線積分的計算法二、對坐標的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd ( ),( )Qtt連續(xù),存在, 且有如果曲線 L 的方程為),()(

12、bxaxy則有( , )( , )LP x y dxQ x y dy ,( ) + ,( ) ( )baP xxQ xxxdx例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數(shù), 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數(shù), 則11:,:2yyxL54d2114yy從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaax

13、(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則yxo例例3. 計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d510

14、4(3) 原式y(tǒng)xxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(例

15、例4. .將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧

16、LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向積分弧段的方向!內容小結內容小結3. 計算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對有向光滑弧 對有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQ

17、Pdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對空間有向光滑弧 :第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關的二、平面上曲線積分與路徑無關的 等價條件等價條件格林公式及其應用 第十章 LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )復連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內部靠左域的內部靠左定理定理1. 設區(qū)域 D 是由分段光滑曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導數(shù),一一、 格林公式格林公式 其中L是的取正向的邊界曲線

18、( )( )( )baF x dxF bF a說明： （1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立；（2）在一定條件下可以用二重積分計算曲線積分，也 可以用曲線積分計算二重積分。（4）幾何應用： 正向閉曲線正向閉曲線L L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D D 的面積的面積LxyyxAdd21（在格林公式中，取,Py Qx則有2DLdxdyxdyydx)（3）對于復連通區(qū)域D，公式右端應包括D的全部邊 界的曲線積分，且邊界的方向對D來說都是正方向。LDyQxPyxyPxQdddd推論推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢

19、圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab例1.設 L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則利用格林公式 , 得yxxyxLdd22yPxQ022xx0d dDx y 0？例例2. 計算,dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye2sin

20、22(1),Lxdxxydy例3.計算其中L是曲線sinyx上從點(0,0)到點( ,0)的一段。lxyAOLD解解：添加, lD為Ll與圍成的封閉區(qū)間2sin22(1)Lxdxxdy22sin22(1)sin22(1)L llxdxxdyxdxxdy0()sin2DQPdxdyxdxxy 40Dxydxdy 22 例例4. 計算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時則當 yx22222)(yxxyxQ設 L 所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時當D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoLdsincos20222

21、22rrr2,)0 , 0(時當D在D 內作圓周,:222ryxl取逆時針方向,1D, 對區(qū)域1D應用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域為林公式 , 得二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件二、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理2. 設D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPy

22、xudd),(d(4) 在 D 內每一點都有.xQyPLyQxPdd與路徑無關, 只與起止點有關. 函數(shù)則以下四個條件等價:在 D 內是某一函數(shù)的全微分,即 yx說明說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內,xQyP則2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內的原函數(shù):Dyx),(00及動點,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助

23、線;取定點1) 計算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;yA xoL例例5. 計算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圓周區(qū)域為D , 則例例5. 驗證yyxxyxdd22是某個函數(shù)的全微分, 并求出這個函數(shù). 證證: 設,22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(y

24、xyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx積分與路徑無關例6.計算2222Lyxdxdyxyxy其中L為自點A(-1,0)沿21yx至B(2,3)的弧段（如圖）xy0( 1,0)A (2,3)BC解：由題知CD(0, 1) 22222,( , )(0,0)()QyxPx yxxyy構造一個單連通域G，積分在G內與路徑2222LACCDDByxdxdyxyxy1232222011112112dydxdyyxy 3arctan2則G無關，內容小結內容小結1. 格林公式LyQxPdd2. 等價條件在 D 內與路徑無關.yPxQ在

25、D 內有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對 D 內任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內有設 P, Q 在 D 內具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則有第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質 二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分 第十章 oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質一、對面積的曲面積分的概念與性質引例引例: 設曲面形構件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質 “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n

26、 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). SzyxMd),(定義定義: 設 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構件的質量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對 做任意分割和局部區(qū)域任意取點, 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對面積函數(shù), 叫做積分曲面.則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSz

27、yxgkzyxfkd),(),(21 線性性質.則為常數(shù)設,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面oxyz定理定理: 設有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分yxD),(kkkyxk)(說明說明:zyDzyzyxx),(

28、),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達式 , 也可將對面積的曲面積分轉化為對參數(shù)的二重積分. yxD例例1. 計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2. 計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設

29、上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 xozy例例3. 設2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD則 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd

30、202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD內容小結內容小結1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設,),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標的曲面積分的概念與性質對坐標的曲面積分的概念與性質 三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分

31、的聯(lián)系對坐標的曲面積分 第十章 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側曲面單側曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側(單側曲面的典型) 其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側 0 為右側 0 為上側 0 為下側外側內側 設 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側的規(guī)定 指定了側的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當0cos時當0cos時當0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(設 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在

32、局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標的曲面積二二. 定義定義.引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對

33、y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側正側的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式3. 性質性質(1) 若,1kiiki 1之間無公共內點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d三、對坐標的曲面積分的計算法三、對坐標的曲面積分的計算法定理定理: 設光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側,),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yx

34、zyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyDzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQxzdd(前正后負)(右正左負)說明說明: 如果積分曲面 取下側, 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxRyxdd),(zyx),(xzy),(yxz例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側.解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:222

35、1aaayxz取上側 的底部 ),(:2222aaayxz取下側1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxD

36、yxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)yxz1

37、11例例4. 設,1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n221cosyxx例例5. 計算曲面積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側. )(2xz2211cosyx )( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxy

38、xDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標)二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化內容小結內容小結當yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側取“+”, 下側取“”)類似可考慮在 yoz 面及

39、zox 面上的二重積分轉化公式 .第六節(jié)Green 公式Gauss 公式推廣推廣一、高斯公式一、高斯公式二、通量與散度二、通量與散度 高斯公式 通量與散度 第十章 一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 設空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲 上有連續(xù)的一階偏導數(shù) ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函數(shù) P, Q, R 在面 所圍成, 的方向取外側, 則有 例例1. 用Gauss 公式計算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個邊界曲面的外側. 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)

40、sin(用柱坐標)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內側, 結果有何變化? 例例2. 利用Gauss 公式計算積分SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyxhozyx解解: 作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側. 1,記h1所圍區(qū)域為,則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yx

41、zyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozyxh1例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI設 為曲面21,222zyxz取上側, 求 解解: 作取下側的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標定義定義: 設有向量場kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導數(shù), 是場內的一片有向 則稱曲面, 其單位法向量 n, SnAd為向量場 A 通過有向曲面 的通量(流量) .在場中點 M(x, y, z) 處 稱為向量場 A 在點 M 的散度.記作AdivzRyQxP三、通量與散度三、通量與散度內容小結內容小結1. 高斯公式及其應用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應用:(1) 計算曲面積分 (非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充