類比推理(公開課教學(xué)設(shè)計(jì))

1、選彳2-22.1.1合情推理之類比推理教案設(shè)計(jì)教案內(nèi)容分析推理與證明貫穿于整個數(shù)學(xué)課程，但是作為一章的內(nèi)容卻是第一次出現(xiàn)在中學(xué)的教 材中，對之進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)是新課程的一個變化。推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，是 做數(shù)學(xué)的基本功，也是人們在一般的學(xué)習(xí)和生活中常用的思維方式，是發(fā)展理性思維的 重要方面。數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的區(qū)別除了研究對象的不同，最突出的就是數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律的 正確性必須用演繹推理的方式來證明，而在證明或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，又經(jīng)常要用合情 推理去猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和提供思路。兩者緊密聯(lián)系、相輔相成。因此，無論是學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)，還是對于學(xué)生理性思維的培養(yǎng)，都需要在基礎(chǔ)教育階段的高中數(shù)學(xué)中

2、加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練。本節(jié)課是合情推理的第二課時(shí)，在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理。學(xué)生已經(jīng)初步體會并 認(rèn)識到合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用。對于類比，學(xué)生其實(shí)并不陌生，它出現(xiàn)在各個章 節(jié)中，但實(shí)際上，學(xué)生對它的認(rèn)識是模糊的。通過本節(jié)課的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)生會了解什么 是類比、如何進(jìn)行類比，會感受到數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程。學(xué)生情況分析【知識基礎(chǔ)】學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了所有的必修模塊，即已經(jīng)學(xué)完了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分。初高中已將類比推理滲透到教材的很多章節(jié)，有的學(xué) 生已經(jīng)在自覺不自覺的應(yīng)用著?！緦W(xué)習(xí)水平】授課班級雖然是高二年級的一個側(cè)重班，整體成績較好，但優(yōu)生較少; 而且用一年多的時(shí)間學(xué)完了高中階段

3、的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，所以基礎(chǔ) 掌握得不夠扎實(shí)，知識遺忘現(xiàn)象嚴(yán)重?！緦W(xué)習(xí)態(tài)度】學(xué)生比較喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在課堂上基本上能做到認(rèn)真聽講，積極思考。 但是主動發(fā)言表達(dá)看法的同學(xué)不多。教案方式問題導(dǎo)引式：通過精心設(shè)計(jì)的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)，使學(xué)生產(chǎn)生疑而 未解，又欲解之的強(qiáng)烈愿望，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。教案手段多媒體輔助教案教案目標(biāo)分析(1)結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解類比推理的含義及作用，掌握類比推理的一般步驟。(2)能利用類比進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識類比推理在發(fā)現(xiàn)中的作用；(3) 了解經(jīng)類比推理得到的結(jié)論是否正確，在數(shù)學(xué)上需要嚴(yán)格證明。(4)通過證明，感受類比推

4、理在探索和提供解決問題的思路和方向的作用，建構(gòu)類比推理的思維方式，培養(yǎng)和發(fā)展邏輯思維能力和創(chuàng)新思維能力。教案重點(diǎn)：了解類比推理的含義，掌握類比推理的方法和步驟教案難點(diǎn)：找到合適的類比對象，分析兩類事物在結(jié)構(gòu)或功能等方面的關(guān)系，正確運(yùn)用類比推理的思想方法.教案流程示意情境創(chuàng)設(shè)引出概念k 體會類比推理 1應(yīng)用類比教案過程(一)創(chuàng)設(shè)情境師：前面我們了解了合情推理及歸納推理的含義，接觸了數(shù)學(xué)史上一些非常著名的猜想。牛頓說過，“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”。本節(jié)課我們繼續(xù)合情猜想。情境1、朋友想投資一部電影， 故做了調(diào)查。阿凡達(dá)是 2009年美國科幻 巨作，以外星生命為題材，目前為止全球票房收入超

5、過26億美元。以外星生命為題材的科幻片還有很多，比如長江七號、火星寶貝等。由于阿凡 達(dá)、長江七號、火星寶貝票房收入都不錯，故推測以外星生命為題 材的科幻片票房收入都不錯。這樣的推理是什么推理？（歸納推理）情境2、真的存在外星生命嗎？科學(xué)家做了下面的研究:對外星生命的猜想地球火星繞太陽公轉(zhuǎn)，繞軸白轉(zhuǎn)繞太陽公轉(zhuǎn)、繞軸自轉(zhuǎn)有大氣層有大氣層一年中有季節(jié)變更年中有季節(jié)變更溫度適合生物生存大部分時(shí)間的溫度適合 地球上某些已知生物生存有生命存在可能有生命存在問：這是歸納推理嗎？它是一種類比推理。（板書課題）（二）新課探究問題（一）什么是類比推理？問1:你能說說科學(xué)家的推理思路嗎？（學(xué)生回答，老師總結(jié)，見圖）

6、師：運(yùn)用這種推理方法的例子還有很多，比如：（1）魯班發(fā)明鋸子（2）奧地利醫(yī)生奧恩布魯格觀察到父親經(jīng)常用手指敲擊盛酒的木桶，根據(jù)聲音推桶內(nèi)的酒還剩多少。聯(lián)想到胸腔和酒桶有類似之處，從而發(fā)明了叩診法一一通過叩擊人體胸腔的方法判斷其中有無積水或積水的多少；問2:你能說出魯班發(fā)明鋸子的思路嗎？（學(xué)生回答，老師總結(jié)，見圖）目標(biāo)工具施割斷木頭工具是齒套的小草哇閨破手ZZ1L小草是志形的9 / 9（隨著老師的問題學(xué)生認(rèn)真思考著發(fā)明家、設(shè)計(jì)者的思路。從學(xué)生熟悉的事例出發(fā)，從生活與實(shí)踐的類比開始，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活）問3:你能根據(jù)自己的認(rèn)識用你自己的語言說說什么是類比推理嗎？（學(xué)生回答，最后

7、老師給出課本定義）類比推理的含義和特點(diǎn)：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理問4:你認(rèn)為任何兩個事物都能進(jìn)行類比嗎？（學(xué)生在下面搖頭，說不能。于是很自然的引出怎樣的兩個事物才能進(jìn)行類比，必須是具有某種相似性的兩個事物才能進(jìn)行類比。通過該問題，強(qiáng)調(diào)類比的對象）問5:你能舉出生活中或數(shù)學(xué)學(xué)科或其它學(xué)科中可以進(jìn)行類比的兩類事物嗎？（學(xué)生自由發(fā)言）問題（二）數(shù)學(xué)中的類比推理有哪些？ 問1 :數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往依賴于平 面幾何中的類比問題”，你能舉些例子出

8、來嗎？（學(xué)生先思考后交流，最后以組為單位回答）（通過這個問題體會類比推理在立幾中的應(yīng)用）共同總結(jié)：平面空間點(diǎn)或線占*八、直線線或面平面圖形問2:平面中的三角形可以與空間中的什么圖形進(jìn)行類比？為什么？（學(xué)生馬上說出了四面體，緊接著，又說出了圓錐、三棱柱，并且都指出了它們分別與 三角形的某種相似性。老師對三角形與四面體的相似性進(jìn)行分析，并進(jìn)一步說明三角形 還可以和棱錐進(jìn)行類比）師：由這個例子可以看出，對一個事物可能會找出一個或多個事物進(jìn)行類比，而且可類比的兩個事物相似性越多，我們所推測的結(jié)論正確的可能性越大。（通過問題2,學(xué)生進(jìn)一步明確了要把具有某種相似性的兩個事物進(jìn)行類比，而且知道了如何恰當(dāng)?shù)剡x

9、擇類比對象）問3:可根據(jù)三角形的一些結(jié)論類比猜想四面體的結(jié)論嗎？（學(xué)生討論交流后以組回答）（從這個問題開始探討如何運(yùn)用類比推理，由一類事物的性質(zhì)得到另一類事物的性質(zhì)）師：所猜想的結(jié)論可能真，可能假，所以類比推理也是一種合情推理。問4:如果我們想得到球的一些性質(zhì)，你會想到用類比的思維方式嗎？（學(xué)生能夠想到將球與圓進(jìn)行類比，利用PPT給出了圓的一些性質(zhì)， 由學(xué)生推測出相對應(yīng)的球的性質(zhì)）圓的性質(zhì)：同圓或等圓的半徑相等，直徑是半徑的兩倍與弦垂直的直徑過弦的中點(diǎn) .連結(jié)圓心和弦（非直徑）中點(diǎn)的直線垂直于弦圓半徑的平方=圓心到弦的距離平方+弦長一半的平方.不過圓心的弦小于直徑，經(jīng)過圓心的弦是直徑，且直徑是

10、最大的弦問5:實(shí)數(shù)運(yùn)算中加法和乘法是一對非常典型的可類比對象，請大家類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì).（得到如下表格）類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果若 a,bwR,則 a 十bwR若 a,bw R,則 abw R運(yùn)算律a +b =b +a(a +b) +c =a +(b +c)ab =ba(ab)c = a(bc)逆運(yùn)算加法的逆運(yùn)算是減法，使得方 程a+x=0有唯一解x=-a乘法的逆運(yùn)算是除法， 使得、，一，八一1萬程ax =1有唯一解x =_a單位元a +0 =aa 1 =1問6 :通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)我們體會到了歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用，那么數(shù)列中有可進(jìn)行類比的對象嗎？問7:等

11、差數(shù)列與等比數(shù)列可以進(jìn)行類比，請將等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些常用結(jié)論進(jìn)行對比。（這是數(shù)學(xué)中典型的可類比的兩個事物。從學(xué)生較熟悉的知識出發(fā)，加深學(xué)生對類比的 認(rèn)識。學(xué)生基本說出了等差數(shù)列和等比數(shù)列的常用結(jié)論，這個問題中讓學(xué)生將常用結(jié)論 進(jìn)行對比，而不是類比。因?yàn)椋吘箤W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了這兩種數(shù)列的性質(zhì)，不適宜再假裝 猜測。通過對性質(zhì)的對比，可知等差數(shù)列和等比數(shù)列是非常適合類比的兩個對象，而其 實(shí)質(zhì)在于加法和乘法是可類比的，因?yàn)樗鼈冇兄嗨频倪\(yùn)算規(guī)律）問8:類比等差數(shù)列、等比數(shù)列定義是否可以定義等和數(shù)列或等積數(shù)列？問題（三）類比推理的結(jié)論是否正確？類比推理的作用是什么？（到此，學(xué)生對類比已經(jīng)有了一定的認(rèn)

12、識，認(rèn)識到類比的奇妙）師：試根據(jù)等式的性質(zhì)猜想不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：猜想不等式的性質(zhì)： a=b= a+c=b+c。 a> b : a+c>b+c。（2） a=b= ac=bc。（2） a>H ac>bc。（3） a=b=a2=b2。等等。（3） a>a2> b2。等等。師：雖然類比的結(jié)論不一定正確，但它能幫我們發(fā)現(xiàn)新結(jié)論；為我們提供研究的方向（三）課堂練習(xí)1、（課本P74例3）:類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.c2 = a2 -b-十苴角三角形3個向兩兩垂直的四向體/ C=903個邊的長度a, b, c2條直角邊a, b和

13、1條斜邊c/ PDF =/ PDE =/ EDF =904個面的面積 S1, S2, S3 和S3個直角面” S1, S2, S3和1個斜面” S類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們可以猜想s2 =s2+s2 +成立。2、在三角形 ABC中有結(jié)論：AB+BC>AC ,類似地在四面體 P-ABC中有。3、求證：正四面體內(nèi)一點(diǎn)到四個面B 的距離之和為一常數(shù)。A（當(dāng)一個問題難以解決的時(shí)候，不妨退一步，通過類比，思考更為簡單的問題是如何解決的。該問題可類比到平面中的“正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊的距離之和為一常數(shù)”，用面積法可輕松解決，那么原問題是不是可以類比到體積法呢？由此，原來解決問題的方法也是可以類 比的，類比提供了研究的方向）（四）課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？（學(xué)生答）1 .類比推理的含義、特點(diǎn)、步驟和作用聯(lián)想,通俗的2 .合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.說，合情推理是指“合乎情理”的推理，推理結(jié)果正確與否需要經(jīng)過驗(yàn)證（五）課后作業(yè)1、習(xí)題2.1A組6,練習(xí)3.2、課后探究：數(shù)學(xué)中還有哪些可類比的對象?本教案設(shè)計(jì)的特點(diǎn)1 .引入生活化，關(guān)注學(xué)生的“經(jīng)驗(yàn)”。學(xué)習(xí)要建立在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，若缺 乏舊知識和生活經(jīng)驗(yàn)的?？奎c(diǎn)，則無法形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)來源于生活，