高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題：不等關(guān)系與不等式(教案與同步練習(xí))

1、第七章不等式見習(xí)講義§7.1不等關(guān)系與不等式根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)H知識(shí)梳理1 .兩個(gè)實(shí)數(shù)比擬大小的方法ab>O<a>b作差法4a-b=Oa=b(a,b£R)：.ab<Q<=>a<bfa<T>b(2)作商法尹=b(aCR,AO).vb2 .不等式的根本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a>b<b<aQ傳遞性a>b,b>c=>a>c=可加性a>60a+c><+cQ可乘性a>bc>oj=ac>bc注意c的符號a>bcvO,=QC<bc同向可加性C

2、>d,=a+c>b+dn同向同正可乘性a>b>Cc>d>Cn'nac>bd=可乘方性a>Z?>0=»月>b"(£N,21)a,6同為正數(shù)口J開方性a>b>0=/>/SN,22)3 .不等式的一些常用性質(zhì)倒數(shù)的性質(zhì)a>b,avOv6nM.心b>0.0vcvd=74®Q<a<x<b或<A<Zx<O=>1<i<.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)假設(shè)>b>0,川>0,那么b+nibb一吃,八、LF:->

3、;(1>0).aa+nia7)i.+川a一加八八、廣,：廣石Sf>0)-【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑或“X)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù).,6之間,有且只有心6,.=瓦三種關(guān)系中的一種.(V)假設(shè)$1,那么>6.(X)(3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù),不等號方向不變.(X)(4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大,那么其倒數(shù)就越小.(X)(5)a>6>0,c>d>0="!.(J)(6)假設(shè)abX,那么.9=丹(')考點(diǎn)自測1 .設(shè)av*o,那么以下不等式中不成立的是()1 1A表B.RzC.a>bD.db答案B解析由題設(shè)得aq

4、*0,所以有力成立,即一1T不成立.aba2 .教材改編假設(shè)a,b都是實(shí)數(shù),那么“g一9>0是“標(biāo)一按>0的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析yfayb>Q=>ya>yba>b=>a2>b2,但由一方>0分板一平>0.3 .假設(shè),6GR,且a+|6|v0,那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是A.a-b>0B.34-63>0C.a2-b2<0D.a+b<Q答案D解析由a+|b|v0知,"0,且同>瓦當(dāng)6>0時(shí),a+bv.成立,當(dāng)斥0時(shí),a+XO成立,“

5、+斥0.應(yīng)選D.4 .如果a£R,且標(biāo)+.<0,那么a2,-a,一病的大小關(guān)系是答案a<-a1<a1<-a解析由后+片:.得v/.a<Q且a>1,/.a2<a2<a.5 .教材改編假設(shè)Ov.vb,且a+b=l,那么將a,b,今lab,東+/從小到大排列為答案a<2ab<<a2+b2<b解析:Ovavb且+6=1,2b>l且2al,/a<2ba=2a1=2a2+2a理a<2ab<,又爾+按=g+b2_2ab=l23I-*；,即+反弓,東+拄-6=(1bA+b?b=(261)(61),又261

6、>0,Z>1<0,/.a2-1b2b<09:.a2b2<b9綜上,a<2ab<<a2+b<b.題型分類深度剖析題型一比擬兩個(gè)數(shù)式的大小例116,6£0,1,記M=4W2,N=ai+牝-1,那么河與N的大小關(guān)系是B.M>NA.M<NC.M=ND.不確定2假設(shè).=竽b=竽°=警那么A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c答案(1)B(2)B解析N=41421)=1424L42+1=".21)一(.211)=(11)(21),又a】£

7、;(O,l),s£(M),l<0,1<0.丁(ai1)(.21)>0,即AfR>0.：.M>N.2方法一易知a,b,.都是正數(shù),5=猾=logSi64<h所以a>b；b51n4c=41Z5=log<5251024>b所以b>c.即c<b<a.方法二對于函數(shù)y="x=",V=押,易知當(dāng)x>e時(shí),函數(shù)<x單調(diào)遞減.由于ev3V4V5,所以<3次4次5,即c<b<a,思維升華比擬大小的常用方法作差法：一般步味：作差：變形；定號：結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形,常采用配方、因式分解

8、、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí),有時(shí)也可以先平方再作差.(2)作商法：一般步驟：作兩；變形；判斷商與1的大小：結(jié)論.(3)函數(shù)的單調(diào)性法：將要比擬的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.跟蹤練習(xí)1(1)設(shè)d6G0,+8),4=小+般,5=后二,貝L4,8的大小關(guān)系是()A.AWBB.C.A<BD.A>B(2)假設(shè).=18叱,=16巴那么.與6的大小關(guān)系為.答案(1)B(2)a<b解析(1).月20,B20,/"=.+2/+Z?(a+b)=2痂20,：.4B.=(新,6=(言嚴(yán)99守(.),q)y,V1816X)

9、J618>0,A1816<1618JPa<b.題型二不等式的性質(zhì)例2(1)a,b,c滿足.助?,且加<0,那么以下選項(xiàng)中一定成立的是()A.ab>acB.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ac(ac)>0假設(shè)3o,那么以下不等式：4V6加S2中,正確的不等式有()A.®®B.®®C.®®D.®答案(1)A(2)C解析由c<b<a且ac<0知c<Q且a>Q,由b>c得ab>ac一定成立.(2)由于K<0,所以+kO,4b>

10、0,所以瓦同v例,在b<a兩邊同時(shí)乘以b,由于次0,所以ak戶因此正確的選項(xiàng)是一思維升華解決此類問題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.踴蹤練習(xí)2假設(shè)心0>6>,c<d<Q,那么以下結(jié)論：宗+M0:(§)ac>bdt(dc)>6(dc)中成立的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案C解析方法一Va>O>b,c<ci<0,/ad<0,6c>0,ad<bc,故錯(cuò)誤. /a>Q>b>a,/.a

11、>b>0, ；cdv.,；c>d>0,:'a(c)>(b)(d)9,ac+bd<Q.§+=<0,故正確.acca :cd,/.c>d,a>b,a+(c)>b+(d)9c>bd,故正確.,:a>b,dc>0,a(dc)>b(dc),故正確,應(yīng)選c.方法二取特殊值.題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1應(yīng)用性質(zhì)判斷不等式是否成立例3心b>0,給出以下四個(gè)不等式：(l)a2>b2；2>2>與(3)>J<7b>a-yjb：/+/>2/b.其中一定成立的不等式為(

12、)C.©©4D.答案A解析方法一由心A0可得,泌2,成立；由心b>0可得心61,而函數(shù)兀.=2?在R上是贈(zèng)函數(shù),次0次I),即262b1,成立；<a>b>0,ya>yfb,*(yjab)2(g-的)2=2yab-2b=2yb(ya業(yè))>0,Ayja-b>yayb,成立；假設(shè)a=3,6=2,貝3+=35,2.26=36,a3b3<2a2b.不成立.應(yīng)選A.方法二令.=3,b=2,可以得到標(biāo)>,2.>2>I卷距7逆一4均成立,而/+?3>2a2b不成立,應(yīng)選A.命題點(diǎn)2求代數(shù)式的取值范圍例4一lv,x<

13、;4,2vy<3,那么x-y的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是答案(-4,2)(1,18)解析V-l<x<4,2<><3,.一3vjy2,-4<x-><2.由一1v.xv4,2vjv3,得一3<3x<12,4<2v<6,1v3x+2jy18.引申探究1 .假設(shè)將例4條件改為一1<x<jy3,求xy的取值范圍.解V-l<x<3,；一3vy<1,/.4Vxv<4.又Vx<)sAxv<0,4<x><0t故xy的取值范圍為(一40).2 .假設(shè)將例4條件改為

14、一lvx+)<4,2vxy<3,求3x+2y的取值范圍.解設(shè)3x+2y=m(x+y)+)i(xy),卜?+=3,fw=l,那么'c.<1"7-71=2,1lz/=2-即3x+2),=|(x+y)+條-y),又/l<x+i<4,2<x><3,'«0,l<1(x-y)<|,35123<*+),)+/一),)/,323即一v3x+2y<y,323,3x+21y的取值范圍為一g,7.思維升華1判斷不等式是否成立的方法判斷不等式是否成立,需要逐一給出推理判斷或反例說明.常用的推理判斷需要利用不等式

15、的性質(zhì).在判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題真假時(shí),先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮,找到與命題相近的性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假,當(dāng)然判斷的同時(shí)還要用到其他知識(shí),比方對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.2求代數(shù)式的取值范圍利用不等式性質(zhì)求某些代數(shù)式的取值范圍時(shí),屢次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍.解決此類問題,一般是利用整體思想,通過“一次性不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍,是防止錯(cuò)誤的有效途徑.跟蹤練習(xí)31假設(shè)戶次0,那么以下不等式一定成立的是A.'/B.aaban>bnC叫業(yè)D同+15設(shè)心6>1,c<Q,給出以下三個(gè)結(jié)論：?余代；logb.-c>lognbc.

16、其中所有正確結(jié)論的序號是A.B.C.®®D.答案1C2D解析1特值法取.=-2,6=1,逐個(gè)檢驗(yàn),可知A,B,D項(xiàng)均不正確；H網(wǎng)|6|+1C項(xiàng),蚌矗彳°1穌1.1+1灼.1例+10冏間+向同間+冏0同間, zqvo,明v|0成立,應(yīng)選c.2由不等式性質(zhì)及心6>1知另,又cvO,正確；構(gòu)造函數(shù)=必, cvO,.,=/在0,+8上是減函數(shù),又a>b>1,ac<bc,正確； /a>b>1,c<09,ac>bc>L,lo或.c)>lo&(ac)>log0(6c),正確.現(xiàn)場糾錯(cuò)系列7.利用不等式變形

17、求范圍典例設(shè)大、)=4爐+隊(duì),假設(shè)1勺(-1)W2,2W/(1)W4,那么人一2)的取值范圍是錯(cuò)解展示解析由得、1-一反2,2W+bW4,+得3W2aW6,6W4aW12,又由可得一2Wa+bW-l,+得0W26W3,一3W2bW0,又大-2)=4-2從,3W4-2bW12,/(-2)的取值范圍是3,12.答案3,12現(xiàn)場糾錯(cuò)解析方法一由,4-1)=46,加)=.+6,決-2)=4.-2b=譏-1)+大1).又T點(diǎn)一1)W2,2彌1)W4,5W歹(一l)+/(l)W10,故5號(-2)W10.“一6W2,方法二由確定的平面區(qū)域如圖陰影局部所示,當(dāng)人-2)=4°2b過點(diǎn),4(|,3時(shí),

18、取得最小值4乂卜2乂*5,當(dāng)人-2=4a2b過點(diǎn)83,1時(shí),取得最大值4X32X1=10,.5點(diǎn)-2W10.答案5,10糾錯(cuò)心得在求式子的范圍時(shí),如果屢次使用不等式的可加性,式子中的等號不能同時(shí)取到,會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.課時(shí)作業(yè)1 .己知c>d,且c,d不為0,那么以下不等式成立的是A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>bdD.a+c>6+d答案D解析由不等式的同向可加性得a+c>6+d.2. 2021包頭模擬假設(shè)6<K10,c=a+b,那么c的取值范圍是A.9WcW18B.15y30C.9WcW30D.9y30答案D解析c=a+bW3a且c=a+62苧

19、,/9VyW3v30.3.x+y+z=0,那么以下不等式成立的是A.xyf>y'ZB.xz>yzC.xy>xzD.x>zy答案c解析x¥>z且x+j,+2=0,.x>0,z<0,又y>Zt,冷4 .設(shè),6GR,貝lj"a-b東v0是“"b的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由m6/v0=aW0且瓦.充分性成立；由vb=a*0,當(dāng)0=°v6時(shí)#gb2vO,必要性不成立.5 .設(shè)a£0,各,££0,1,那么2a一號的取值范

20、圍是A.0,yB,一去yC.OrnD.一玄,兀答案D解析由題設(shè)得0<2"兀,0竦4,/.一去W一號W0,/.g<2«<n.6 .a,b,c£R,那么以下命題中正確的選項(xiàng)是A.假設(shè)a>b,那么acbc2B.假設(shè)貝ljccC.假設(shè)a3>b3且akO,那么abD.假設(shè)標(biāo)且護(hù)>0,5!i-<|ab答案c解析當(dāng)c=0時(shí),可知A不正確；當(dāng)c<Q時(shí),可知B不正確；對于C,由a3>b3且abO,知a>Q且k0,所以4成立,c正確；au當(dāng)4Vo且6Vo時(shí),可知D不正確.7 .假設(shè)a>6>0,那么以下不等式中一定

21、成立的是1,1cbb+1A.+戶6+-B->rbaa.+12a+Z?a答案A解析取a=2,b=l,排除B與D：另外,函數(shù)兀r=x-；是0,+8上的贈(zèng)函數(shù),但函數(shù)式r=x+；在0,1人人上遞減,在1,+8上遞增,所以,當(dāng).>b>0時(shí),人.戶/S必定成立,即但ga>gb未必成立,應(yīng)選A.8 .假設(shè)心6>0,那么以下不等式一定不成立的是B.log2a>log力C.2t-a-bD.b<yjab<,答案C解析(-1)2+(61)2>0(由a>6>0,a,b不能同時(shí)為1),+按一2.26+2>0,a1+b2>2a+252,AC項(xiàng)

22、一定不成立.9 .假設(shè)不等式(-2)%3"r一(一2)<0對任意正整數(shù)恒成立,那么實(shí)數(shù).的取值范圍是()A.(l,|)B.&|)c(l,3D.&J)答案D解析當(dāng)為奇數(shù)時(shí),2w(l-f7)<3n】,1K；X(|卜叵成立,只需1一°<9(|)1,.懸當(dāng)為偶數(shù)時(shí),2a1)<3MLa-lv：X(,卜恒成立,只需alv；X(,)2,1.av(綜上,1<i7<,應(yīng)選D.10 .a,b,c,d均為實(shí)數(shù),有以下命題假設(shè)物0,bc-ad>0,那么>沁假設(shè)物0,、為0,那么從一20：假設(shè)bcad>0,>0.貝ljab&

23、gt;0.其中正確的命題是.答案解析V>0,bc-ad>Q,cdbead 二.正確； ：ab>0,又£：>°,即./">0,abao,bead>0,正確；tcdbcad "c-a冷0,又1聲0,即工>0,/>0,正確.故(都正確.11 .a=log23+logn的,b=log：9logr/3»c=log32,那么a,b,c的大小關(guān)系是.答案a-b>c解析:a=logz3+logr/§=log23,§,第七章不等式第1講不等關(guān)東與不等式一、選擇題1 .a=log23.6,b

24、=Iog43.2,c=Iog43.6,那么()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b解析由于.>1,4c都小于1且大于0,故排除C,D;乂由于4c都是以4為底的對數(shù),真數(shù)大,函數(shù)值也大,所以應(yīng)選B.答案B2 .設(shè)0<伙水1,那么以下不等式成立的是()A.a伙31B. log1伙log】a<0C.22J<2解析取a=；,驗(yàn)證可得.答案C3 .以下四個(gè)條件：6>0>,0>心6,>0泌,®a>b>Q,能推出3上成立的有().A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析運(yùn)用倒

25、數(shù)性質(zhì),由心6,ab>0可得/,、正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù),正確,錯(cuò)誤,應(yīng)選C.答案C4 .如果a,b,.滿足且那么以下選項(xiàng)中不一定成立的是().A.ab>acB.c(ba)>QC.cb1<ab1Dac(gc)<Q解析由題意知c<0,a>0,那么A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)6=0時(shí)C不正確.答案C5 .假設(shè)a>0,6>0,那么不等式一6V；Va等價(jià)于().X1fl11A-T<x<0或0VxV-B.<x<vbaabC. xV-,或x>；D.xV；或abba解析由題意知a>0,6>0,xWO,(1

26、) "1x>0時(shí)、-6V-VaOx>一；xa(2)當(dāng)xVO時(shí),b<-<a<=>x<7.xb綜上所述,不等式一6V1Va=xV-J或x>土xba答案D6 .假設(shè)a、6均為不等于零的實(shí)數(shù),給出以下兩個(gè)條件.條件甲：對于區(qū)間上的一切x值,x+b>0恒成立；條件乙：26一心0,那么甲是乙的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析當(dāng)工£一1,0時(shí),恒有ax+6>0成立,當(dāng).>0時(shí),ax+626a>0,當(dāng)a<0時(shí),a>0,b>0,.,.2ba>0,3

27、,甲今乙,乙推不出甲,例如：a=g,b>0時(shí),那么2ba=b>09一31但是,當(dāng)x=1時(shí),(一l)+b=»+b=一弓斥0,甲是乙的充分不必要條件.答案A二、填空題7 .假設(shè)aKa：,&<兒那么ag+a以與a：A：+a：A的大小關(guān)系是.解析aiA+a?a心+a：&=3一生6l幻>0.答案aibi+azb>aibz+azbi8 .現(xiàn)給出三個(gè)不等式：+1>2；/+/>2卜一6一|；、+,值后+出其中恒成立的不等式共有個(gè).解析由于/2+1=-1220,所以不恒成立；對于,次+/一2a+2b+3=一12+6+12+1>0,所以恒成

28、立；對于,由于S+回2/+亞2=2聞2回>0,且小+回>0,g+招>0,所以6+回他+護(hù),即恒成立.答案29 .一l<x+Z4,且2WxyW3,那么z=2x3y的取值范圍是用區(qū)間表示.15解析Vz=-Cv+y+-Cyy,乙乙15,3W5x+v+jxVW8,乙乙,z£3,8.答案3,810.給出以下四個(gè)命題：假設(shè)心6>0,那么:/；假設(shè)a>b>Q,那么t：ClD假設(shè)心6>0,那么三當(dāng)理；4十U設(shè).,6是互不相等的正數(shù),那么Hbl+TvNZ.ab其中正確命題的序號是把你認(rèn)為正確命題的序號都填上.解析作差可得»與六而a>b>.,那么黑<0,此式錯(cuò)誤.>6>0,那么另,進(jìn)而,11小11,尸.2a+bab2a+Z?aa+2btra1可付一7一所以可傳.一%/一9正確.;包一尸b-=講礪=色三縱抖0,錯(cuò)誤.當(dāng).一Z0時(shí)此式不成立,錯(cuò)誤.答案三、解做題11.a£R試比擬上與1+a的大小.解析1-a(1+a)=1-aQ當(dāng)a=0時(shí),;=0,/;=l+a.1a1aa,1當(dāng)aVl且aWO時(shí),->0,A->l+a1a1a/當(dāng)a>l時(shí),-<0,A-<l+a.1a1a綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),4=l+a；1a當(dāng)aVl且aWO時(shí),7>l+a；