橢圓的一個(gè)幾何性質(zhì)和在物理學(xué)中的應(yīng)用

1、橢圓的幾何性質(zhì)和在物理學(xué)中的應(yīng)用1 幾何性質(zhì)為了思路清晰簡(jiǎn)明，我們采用羅列命題的方式敘述橢圓的幾何性質(zhì)，但這又不是簡(jiǎn)單的羅列，各命題間是有緊密地聯(lián)系的。定義 1：橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離和等于定長（2a）的點(diǎn)的軌跡。命題 1：橢圓外一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和大于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和?！咀C明】：如圖 1 所示， M 是橢圓外任一點(diǎn)，MF1 和 MF2 分別是該點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1 和 F2 的距離。由于M 在橢圓之外，所以我們總能夠在橢圓上找到一點(diǎn)N ，使此點(diǎn)在MF1 F2 內(nèi)。所以總有 MF1MF2NF1NF22a 。MNF1F2圖 1下面我們證明命題1 中用到的關(guān)于三角形的一個(gè)命題。命題

2、 2：三角形內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和小于第三個(gè)頂點(diǎn)到這兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和。【證明】：如圖， M 是ABC 中任一點(diǎn)，我們要證明的是AMBM CA CB。延長 AM 與BC交于 D點(diǎn)。在ADC 中，由于兩邊之和大于第三邊，有CACDAMMD ；在BDM 中，由于兩邊之和大于第三邊，有DBMDMB 。上面兩式相加有 AMBM CA CB ，命題得證。CDMAB圖 2命題 3：橢圓內(nèi)一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和小于橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和。NMF1F2圖 3【證明】：如圖 3 所示，我們總能夠在橢圓上找一點(diǎn)N，使 M 位于NF1F2 內(nèi)。由命題 2 可知命題正確。我們可以說，橢圓的外部是這樣的點(diǎn)的集合，它到

3、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和大于2a；橢圓的內(nèi)部是這樣的點(diǎn)的集合，它到橢圓的兩個(gè)核糖點(diǎn)的距離之和小于2a；橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和恰為 2a。定義 2：與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為橢圓的切線。命題 4：橢圓的切線不可能通過橢圓內(nèi)的任何一點(diǎn)?！咀C明】：假設(shè)切線可過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則必與橢圓交于兩點(diǎn)，這與該線為橢圓的切線相矛盾。命題 5：構(gòu)成橢圓的切線的點(diǎn)的集合中，切點(diǎn)是到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)?！咀C明】：切點(diǎn)在圓上，因此到兩焦點(diǎn)距離和為2a，切線上其它點(diǎn)都在橢圓外，因此到兩焦點(diǎn)的距離和大于 2a，命題得證。命題 6：直線與直線上到兩定點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)跟該兩點(diǎn)的連線成等角?！咀C明】：如圖 4

4、所示，設(shè) PQ 是任一直線，F(xiàn)1 和 F2 是任意的兩個(gè)點(diǎn)（在直線的同一側(cè)） 。我們總可以在直線上找一點(diǎn)M ，使此點(diǎn)到兩點(diǎn)F1 和 F2 的距離的和最小。方法如下MQF 3M 1QPMPF 1F 2F 1F 2圖 4圖 5如圖 3 所示，做 F1 關(guān)于 PQ 的對(duì)稱點(diǎn) F3 ，連結(jié) F2 F3 與 PQ 交于 M 點(diǎn)，則 M 點(diǎn)為所求點(diǎn)。原因是簡(jiǎn)單的，如圖5 所示，任意在 PQ 上取另一點(diǎn) M 1 ，則此點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1 、 F2 的距離和大于 M 到這兩定點(diǎn)的距離和。 由對(duì)稱可知， 角 PMF1 =角 PMF3 ，而角 PMF3 與角 QMF2互為對(duì)頂角。所以角PMF1 =角 QMF2 ，命題

5、得證。命題 7：橢圓的切線跟切點(diǎn)和焦點(diǎn)的兩條連線成等角?！咀C明】：因?yàn)榍悬c(diǎn)是切線上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)，由命題 6 知切線跟切點(diǎn)和焦點(diǎn)的兩條連線成等角。命題 8：切線的垂線平分兩焦點(diǎn)與切點(diǎn)連線所成的角。【證明】：如圖6 所示， F1 與 F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M 是橢圓上任一點(diǎn)，PQ是過 M點(diǎn)的切線， MN 是的F1 MF2 的平分線。則有， MNPQ 。MQPF1F2N圖 62 幾何性質(zhì)的解析證明如圖 7 建立直角坐標(biāo)系，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y2a2b2 1yMF1F2c,0Oc,0x圖 7其中 a 和 b 分別表示橢圓的半長軸和半短軸，參數(shù)方程為x a cos y b sin

6、過橢圓上任一點(diǎn)M a cos,b sin 的切線斜率dydyd1b coskddxb cosa sindxa sin焦點(diǎn)坐標(biāo)：c,0 、c,0。其中 ca2b2。切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的斜率b sink1ca cosb sink2ca cos我們把三個(gè)斜率所決定的直線規(guī)定上方向（如圖7 所示），則可用三個(gè)二維向量表示其方向。k： asin , b cos， k1 ： acosc,b sin， k2 ： a cos c, bsink 與 k1 所成角的余弦cos1a sin a coscb2 cossin2 sin2b2 cos2a cos c 2b sin2aa2 sincosacsinb2 sin

7、cosa2sin2b2 cos2a2cos2c2b2 sin22ac cosc2 sincosac sina2sin2b2 cos2a2cos2b2 sin2c22ac cos用 a、 c 替換 b 有cosc sina c cos1cosa c cosa c cos a2（ 1）csinac cosac cos同理可計(jì)算k 與 k2 所成角的余弦cos 2c sin（ 2）ac cos a csin比較（ 1）（ 2）兩式可得：cos 1cos 2結(jié)合圖 7 可知，上面的結(jié)論說明焦點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)M 的兩條連線與切線成等角。3 物理上的應(yīng)用3.1 光線從焦點(diǎn)F1 射出，經(jīng)橢圓上任一點(diǎn)反射后，反射

8、光線經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2 。3.2 如圖 8 所示，系于F1 、 F2 的不可伸長的繩子子上有一滑輪。人用此裝置由左端蕩至右端的過程中，繩子拉力的合力沿角F1MF 2 的平分線。而人的運(yùn)動(dòng)方向沿橢圓的切線。由此得合力垂直于速度，因而繩子拉力對(duì)人不做功。運(yùn)動(dòng)過程中忽略摩擦的情況下機(jī)械能是守恒的。F 合F1F2v圖 82012 年 12 月 16 日星期日整理rongnal 出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以

9、塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。“能 ”，是以眾議舉寵為督：親賢臣， 遠(yuǎn)小人， 此先漢所以興隆也； 親小人， 遠(yuǎn)賢臣， 此后漢所以傾頹也。 先帝在時(shí)，每與臣論此事， 未嘗不嘆息痛恨于桓、 靈也。 侍中、尚書、 長史、 參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，當(dāng)獎(jiǎng)率三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸