橢圓的一個幾何性質(zhì)和在物理學中的應用

1、橢圓的幾何性質(zhì)和在物理學中的應用1 幾何性質(zhì)為了思路清晰簡明，我們采用羅列命題的方式敘述橢圓的幾何性質(zhì)，但這又不是簡單的羅列，各命題間是有緊密地聯(lián)系的。定義 1：橢圓是到兩個定點（焦點）的距離和等于定長（2a）的點的軌跡。命題 1：橢圓外一點到橢圓兩焦點的距離和大于橢圓上一點到兩焦點的距離和?！咀C明】：如圖 1 所示， M 是橢圓外任一點，MF1 和 MF2 分別是該點到兩焦點F1 和 F2 的距離。由于M 在橢圓之外，所以我們總能夠在橢圓上找到一點N ，使此點在MF1 F2 內(nèi)。所以總有 MF1MF2NF1NF22a 。MNF1F2圖 1下面我們證明命題1 中用到的關(guān)于三角形的一個命題。命題

2、 2：三角形內(nèi)一點到兩個頂點的距離和小于第三個頂點到這兩個頂點的距離和。【證明】：如圖， M 是ABC 中任一點，我們要證明的是AMBM CA CB。延長 AM 與BC交于 D點。在ADC 中，由于兩邊之和大于第三邊，有CACDAMMD ；在BDM 中，由于兩邊之和大于第三邊，有DBMDMB 。上面兩式相加有 AMBM CA CB ，命題得證。CDMAB圖 2命題 3：橢圓內(nèi)一點到兩焦點的距離和小于橢圓上一點到兩焦點的距離和。NMF1F2圖 3【證明】：如圖 3 所示，我們總能夠在橢圓上找一點N，使 M 位于NF1F2 內(nèi)。由命題 2 可知命題正確。我們可以說，橢圓的外部是這樣的點的集合，它到

3、橢圓的兩個焦點的距離之和大于2a；橢圓的內(nèi)部是這樣的點的集合，它到橢圓的兩個核糖點的距離之和小于2a；橢圓上的點到兩個焦點的距離之和恰為 2a。定義 2：與橢圓只有一個公共點的直線稱為橢圓的切線。命題 4：橢圓的切線不可能通過橢圓內(nèi)的任何一點?！咀C明】：假設(shè)切線可過橢圓內(nèi)一點，則必與橢圓交于兩點，這與該線為橢圓的切線相矛盾。命題 5：構(gòu)成橢圓的切線的點的集合中，切點是到兩個焦點的距離和最小的點?！咀C明】：切點在圓上，因此到兩焦點距離和為2a，切線上其它點都在橢圓外，因此到兩焦點的距離和大于 2a，命題得證。命題 6：直線與直線上到兩定點的距離和最小的點跟該兩點的連線成等角?！咀C明】：如圖 4

4、所示，設(shè) PQ 是任一直線，F(xiàn)1 和 F2 是任意的兩個點（在直線的同一側(cè)） 。我們總可以在直線上找一點M ，使此點到兩點F1 和 F2 的距離的和最小。方法如下MQF 3M 1QPMPF 1F 2F 1F 2圖 4圖 5如圖 3 所示，做 F1 關(guān)于 PQ 的對稱點 F3 ，連結(jié) F2 F3 與 PQ 交于 M 點，則 M 點為所求點。原因是簡單的，如圖5 所示，任意在 PQ 上取另一點 M 1 ，則此點到兩定點F1 、 F2 的距離和大于 M 到這兩定點的距離和。 由對稱可知， 角 PMF1 =角 PMF3 ，而角 PMF3 與角 QMF2互為對頂角。所以角PMF1 =角 QMF2 ，命題

5、得證。命題 7：橢圓的切線跟切點和焦點的兩條連線成等角?！咀C明】：因為切點是切線上所有點到兩點的距離之和最小的點，由命題 6 知切線跟切點和焦點的兩條連線成等角。命題 8：切線的垂線平分兩焦點與切點連線所成的角。【證明】：如圖6 所示， F1 與 F2 是橢圓的兩個焦點，M 是橢圓上任一點，PQ是過 M點的切線， MN 是的F1 MF2 的平分線。則有， MNPQ 。MQPF1F2N圖 62 幾何性質(zhì)的解析證明如圖 7 建立直角坐標系，則橢圓的標準方程是x2y2a2b2 1yMF1F2c,0Oc,0x圖 7其中 a 和 b 分別表示橢圓的半長軸和半短軸，參數(shù)方程為x a cos y b sin

6、過橢圓上任一點M a cos,b sin 的切線斜率dydyd1b coskddxb cosa sindxa sin焦點坐標：c,0 、c,0。其中 ca2b2。切點與兩焦點連線的斜率b sink1ca cosb sink2ca cos我們把三個斜率所決定的直線規(guī)定上方向（如圖7 所示），則可用三個二維向量表示其方向。k： asin , b cos， k1 ： acosc,b sin， k2 ： a cos c, bsink 與 k1 所成角的余弦cos1a sin a coscb2 cossin2 sin2b2 cos2a cos c 2b sin2aa2 sincosacsinb2 sin

7、cosa2sin2b2 cos2a2cos2c2b2 sin22ac cosc2 sincosac sina2sin2b2 cos2a2cos2b2 sin2c22ac cos用 a、 c 替換 b 有cosc sina c cos1cosa c cosa c cos a2（ 1）csinac cosac cos同理可計算k 與 k2 所成角的余弦cos 2c sin（ 2）ac cos a csin比較（ 1）（ 2）兩式可得：cos 1cos 2結(jié)合圖 7 可知，上面的結(jié)論說明焦點與橢圓上點M 的兩條連線與切線成等角。3 物理上的應用3.1 光線從焦點F1 射出，經(jīng)橢圓上任一點反射后，反射

8、光線經(jīng)過另一焦點F2 。3.2 如圖 8 所示，系于F1 、 F2 的不可伸長的繩子子上有一滑輪。人用此裝置由左端蕩至右端的過程中，繩子拉力的合力沿角F1MF 2 的平分線。而人的運動方向沿橢圓的切線。由此得合力垂直于速度，因而繩子拉力對人不做功。運動過程中忽略摩擦的情況下機械能是守恒的。F 合F1F2v圖 82012 年 12 月 16 日星期日整理rongnal 出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此誠危急存亡之秋也。然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報之于陛下也。誠宜開張圣聽，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以

9、塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費祎、董允等，此皆良實，志慮忠純，是以先帝簡拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱之曰愚以為營中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所?！澳?”，是以眾議舉寵為督：親賢臣， 遠小人， 此先漢所以興隆也； 親小人， 遠賢臣， 此后漢所以傾頹也。 先帝在時，每與臣論此事， 未嘗不嘆息痛恨于桓、 靈也。 侍中、尚書、 長史、 參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽，茍全性命于亂世，不求聞達于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來二十有一年矣。先帝知臣謹慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，當獎率三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸