2012文科數學回歸教材 4三角函數

1、新課標回歸教材三角函數1.角的概念的推廣:平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形.按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角,一條射線沒有作任何旋轉時,稱它形成一個零角.射線的起始位置稱為始邊,終止位置稱為終邊.OR1radR2.象限角的概念:在直角坐標系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何象限.3. 弧度制:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1(rad)=,(rad).弧長公式:,扇形面積公式:. 典例:已知扇形的周長是6cm,

2、該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.（答:2）4.終邊相同的角的表示: (1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.典例:與角的終邊相同,且絕對值最小的角的度數是,合弧度.(2)終邊在坐標軸上的角可表示為:.典例:的終邊與的終邊關于直線對稱,則.(3)各種角的集合表示名稱角度表示形式()弧度表示形式()第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角終邊落在x軸上終邊落在y軸上終邊落在y=x軸上終邊落在y=-x軸上判斷一個角的終邊在哪個象限？是第幾象限角？是解決后面一系列問題的基礎.那么我們是如何判定？通常是把一個絕對值很大的角化成, 或者

3、是化成,這樣只要判定是第幾象限角就可以了.典例: (1),因為是第一象限角,所以的終邊也在第一象限;(2) ,因為是第一象限角,所以的終邊也在第一象限.yx12341234y=xy=x5.與的終邊關系:由“兩等分各象限、一二三四”確定.如圖,若角終邊在第一(二、三、四)象限,則角的終邊位于右圖中標有數字1(2、3、4)區(qū)域.這個方法叫做等分象限法.典例:若是第二象限角,則是第 一、三 象限角.xyTAMPO6.任意角的三角函數的定義:設是任意一個角,P是的終邊上的任意一點(異于原點),它與原點的距離是,那么,.三角函數值只與角的大小有關,而與終邊上點P的位置無關.典例:(1)已知角的終邊經過點

4、P(5,12),則的值為;(2)設是第三、四象限角,則的取值范圍是;(3)若,試判斷的符號（答:負）7.三角函數線的特征是:正弦線MP“站在軸上(起點在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點是原點)”、正切線AT“與圓切在點處(起點是)”.三角函數線的重要應用是比較三角函數值的大小和解三角不等式.典例:(1)若,則的大小關系為;(2)若為銳角,則的大小關系為;(3)函數的定義域是8.特殊角的三角函數值:3045600901802701575010110101002-2+1002+2-9.同角三角函數的基本關系式:(1)平方關系:;(2)商數關系:.同角三角函數的基本關系式的主要應用是,已知一個角

5、的三角函數值,求此角的其它三角函數值.在運用平方關系解題時,要根據已知角的范圍和三角函數的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進行定號;在具體求三角函數值時,一般不需用同角三角函數的基本關系式,而是先根據角的范圍確定三角函數值的符號,再利用解直角三角形求出此三角函數值的絕對值.解題方法總結L(1)已知一弦值,求正切.通常是利用、求另一弦值,然后利用求正切.要注意的象限,分象限定符號.(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程組.方法二是利用一個推導公式直接求,公式,不過還是要注意開根號時的正負的確定.(3)解題中常用的三種技巧:一、切化弦;二、1的代換;三、分子分母同時除以或者.(4)解題中常

6、用的兩組公式:;.典例:(1)函數的值的符號為大于0;(2)若,則使成立的的取值范圍是;(3)已知,則;(4)已知,則;(5)已知,則等于 B A.B.C.D.;(6)已知,則的值為 1 .10.三角函數誘導公式()的本質是:奇變偶不變(對而言,指取奇數或偶數),符號看象限(看原函數,同時可把看成是銳角).誘導公式的應用是求任意角的三角函數值,其一般步驟:“負化正,大化小,化成銳角再查表”即:(1)負角變正角,再寫成2k+,;(2)轉化為銳角三角函數. 典例:(1)的值為;(2)已知,則,若為第二象限角,則.11.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:;逆:,其中.正:;逆:,其中.

7、正:;變:.正:;變:正:;變:(降角升冪公式),逆:(降冪升角公式);(半角正切)典例:(1)下列各式中,值為的是 C A. B. C. D.(2)命題P:,命題Q:,則P是Q的 C 條件.A、充要B、充分不必要C、必要不充分D、既不充分也不必要;(3)已知,那么的值為;(4)的值是 4 ;(5)已知,求的值(用表示)甲求得的結果是,乙求得的結果是,對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是 甲、乙都對 .12.三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是:一角二名三結構.即首先觀察角與角之間的關系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數變換的核心！第二看函數名稱之間的關系,通常“切化弦”;

8、第三觀察代數式的結構特點通常是分式要因式分解、通分后約分、根號下配方后開方.基本的技巧有:(1)巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如:,等.典例:(1)已知,那么的值是;(2)已知,且,求的值;(3)若為銳角,則與的函數關系為. (2)三角函數名互化(切化弦),典例:(1)求值= 1 ;(2)已知,求的值(3)公式變形使用（.典例:(1)已知A、B為銳角,且滿足,則;(2)中,則此三角形是 等邊 三角形.(4)三角函數次數的降升(降冪公式:,與升冪公式:,).典例:(1)若,化簡為;(2)的單調遞增區(qū)間為.(5)式子結構的轉化(對角、函

9、數名、式子結構化同).典例:(1)= ;(2)求證:; (3)化簡:= .(6)常值變換主要指“1”的變換（等）典例:已知,求=.(7)正余弦“三兄妹”的內存聯系“知一求二”.典例:(1)若 ,則,特別提醒:這里;(2)若,求的值.（答: ）;(3)已知,試用表示的值（答:）.13.輔助角公式中輔助角的確定:(其中角所在的象限由a, b的符號確定,角的值由確定)在求最值、化簡時起作用.典例:(1)若方程有實數解,則的取值范圍是 2,2 .;(2)當函數取得最大值時,的值是;(3)如果是奇函數,則= 2 ;(4)求值: 32 .14.正弦函數和余弦函數的圖象:正弦函數和余弦函數圖象的作圖方法:五

10、點法:先取橫坐標分別為0,的五點,再用光滑的曲線把這五點連接起來,就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內的圖象.如右圖所示:15.正弦函數、余弦函數性質:(1)定義域R.(2)值域.對,當時,取最大值1;當時,取最小值1;對,當時,取最大值1,當時,取最小值1.典例:(1)若函數的最大值為,最小值為,則,;(2)函數（）的值域是 1, 2 ;(3)若,則的最大值和最小值分別是 7 、 -5 ;(4)的最小值是 2 ,此時=;(5)己知,則的取值范圍;(6)若,則的最大值 1 、最小值.特別提醒L:在解含有正余弦函數的問題時,你深入挖掘正余弦函數的有界性了嗎?例如前面的關于求值域的一個運用！(3)

11、周期性:、的最小正周期都是2;和的最小正周期都是.典例:(1)若,則 0 ;(2)函數的最小正周期為;(3)設,若恒成立,則= 2 .(4)奇偶性與對稱性:函數是奇函數,對稱中心是,對稱軸是直線;函數是偶函數,對稱中心是,對稱軸是直線（正(余)弦型函數的對稱軸為過最值點且垂直于軸的直線,對稱中心為圖象零點所在點.）典例:(1)函數的奇偶性是 偶函數 ;(2)已知函數為常數）,且,則 5 ;(3)的對稱中心和對稱軸分別是、;(4)已知為偶函數,求的值.（答:）(5)單調性:上單調遞增,在單調遞減;在上單調遞減,在上單調遞增.16.形如的函數:(1)幾個物理量:A振幅;頻率（周期的倒數）;相位;初

12、相;(2)求表達式:A由最值確定;由周期確定;由圖象上的特殊點確定.(3)函數圖象的畫法:“五點法”設,令0,求出相應的值,計算得出五點的坐標,描點后得出圖象;圖象變換法:這是作函數簡圖常用方法.(4)函數的圖象與圖象間的關系:的圖象上各點向左(0)或向右(0)平移個單位得的圖象;圖象的縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?得到函數的圖象;圖象上各點橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍,得圖象;圖象上各點向上()或向下(),得到的圖象.特別注意L:由得到的圖象,則向左或向右平移應平移單位.典例:(1)函數的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？（答:向上平移1個單位得的圖象,再向左平移個單位得的圖象,橫坐標擴

13、大到原來的2倍得的圖象,最后將縱坐標縮小到原來的即得的圖象）;(2)要得到函數的圖象,只需把函數的圖象向 左 平移個單位;(3)(現在考綱不作要求)將函數圖像,按向量平移后得到的函數圖像關于原點對稱,這樣的向量是否唯一？若唯一,求出;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量);(4)若函數的圖象與直線有且僅有四個不同的交點,則的取值范圍是.(5)研究函數性質的方法:類比于研究的性質,只需將中的看成中的,但在求的單調區(qū)間時,要特別注意A和的符號,通過誘導公式先將化正.典例:(1)函數的遞減區(qū)間是;(2)的遞減區(qū)間是;(3)設函數的圖象關于直線對稱,它的周期是,則( C )A、

14、B、在區(qū)間上是減函數C、D、的最大值是A;(4)對于函數給出下列結論, 其中正確結論是 .圖象關于原點成中心對稱; 圖象關于直線成軸對稱;圖象可由函數的圖像向左平移個單位得到;圖像向左平移個單位,即得到函數的圖像.(5)已知函數圖象與直線的交點中,距離最近兩點間的距離為,那么此函數的周期是17.正切函數的圖象和性質:(1)定義域:.有關正切函數問題時,你注意到正切函數的定義域了嗎？(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值;(3)周期性:,它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期.絕對值或平方對三角函數周期性的影響:一般說來,某一周期函數解析式加絕對值或平方,其周期性是:弦減半、切不變

15、.既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值,其周期性不變,其它不定.(只作了解即可) 典例:(1),的周期都是.(2)的周期為.(3)的周期都是;(4)奇偶性與對稱性:是奇函數,對稱中心是.特別提醒L:正切型函數的對稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點,另一類是漸近線與軸的交點,但無對稱軸,這是與正弦、余弦函數的不同之處.(5)單調性:正切函數在開區(qū)間內都是增函數.但要注意在整個定義域上不具有單調性.18.三角形中的有關公式: (1)內角和定理:三角形三角和為,這是三角形中三角函數問題的特殊性,解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補,任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是

16、銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理:(R為三角形外接圓的半徑).注意:正弦定理的一些變式:;已知三角形兩邊一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務必注意可能有兩解.(3)余弦定理:等,常選用余弦定理鑒定三角形形狀. (4)面積公式:(其中為三角形內切圓半徑).海倫-秦九韶公式 ,其中.典例:中,若,判斷的形狀（答:直角三角形）.特別提醒L:(1)求解三角形中的問題時,一定要注意這個特殊性:所以有,;(2)求解三角形中含有邊角混合關系的問題時,常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化.典例:(1)中,A、B的對邊分別是,且,那么滿足條件的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答:C）;(2)在中,AB是成立的 充要 條件;(3)在中,則;(4)在中,若,則;(5)在中,若其面積,則=