2012文科數(shù)學(xué)回歸教材 4三角函數(shù)

1、新課標(biāo)回歸教材三角函數(shù)1.角的概念的推廣:平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形.按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角,一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí),稱它形成一個(gè)零角.射線的起始位置稱為始邊,終止位置稱為終邊.OR1radR2.象限角的概念:在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.3. 弧度制:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1(rad)=,(rad).弧長(zhǎng)公式:,扇形面積公式:. 典例:已知扇形的周長(zhǎng)是6cm,

2、該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.（答:2）4.終邊相同的角的表示: (1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.典例:與角的終邊相同,且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是,合弧度.(2)終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為:.典例:的終邊與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱,則.(3)各種角的集合表示名稱角度表示形式()弧度表示形式()第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角終邊落在x軸上終邊落在y軸上終邊落在y=x軸上終邊落在y=-x軸上判斷一個(gè)角的終邊在哪個(gè)象限？是第幾象限角？是解決后面一系列問題的基礎(chǔ).那么我們是如何判定？通常是把一個(gè)絕對(duì)值很大的角化成, 或者

3、是化成,這樣只要判定是第幾象限角就可以了.典例: (1),因?yàn)槭堑谝幌笙藿?所以的終邊也在第一象限;(2) ,因?yàn)槭堑谝幌笙藿?所以的終邊也在第一象限.yx12341234y=xy=x5.與的終邊關(guān)系:由“兩等分各象限、一二三四”確定.如圖,若角終邊在第一(二、三、四)象限,則角的終邊位于右圖中標(biāo)有數(shù)字1(2、3、4)區(qū)域.這個(gè)方法叫做等分象限法.典例:若是第二象限角,則是第 一、三 象限角.xyTAMPO6.任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè)是任意一個(gè)角,P是的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),它與原點(diǎn)的距離是,那么,.三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān).典例:(1)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)

4、P(5,12),則的值為;(2)設(shè)是第三、四象限角,則的取值范圍是;(3)若,試判斷的符號(hào)（答:負(fù)）7.三角函數(shù)線的特征是:正弦線MP“站在軸上(起點(diǎn)在軸上)”、余弦線OM“躺在軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT“與圓切在點(diǎn)處(起點(diǎn)是)”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式.典例:(1)若,則的大小關(guān)系為;(2)若為銳角,則的大小關(guān)系為;(3)函數(shù)的定義域是8.特殊角的三角函數(shù)值:3045600901802701575010110101002-2+1002+2-9.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:(1)平方關(guān)系:;(2)商數(shù)關(guān)系:.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是,已知一個(gè)角

5、的三角函數(shù)值,求此角的其它三角函數(shù)值.在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí),要根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值,盡可能地壓縮角的范圍,以便進(jìn)行定號(hào);在具體求三角函數(shù)值時(shí),一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號(hào),再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值.解題方法總結(jié)L(1)已知一弦值,求正切.通常是利用、求另一弦值,然后利用求正切.要注意的象限,分象限定符號(hào).(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程組.方法二是利用一個(gè)推導(dǎo)公式直接求,公式,不過還是要注意開根號(hào)時(shí)的正負(fù)的確定.(3)解題中常用的三種技巧:一、切化弦;二、1的代換;三、分子分母同時(shí)除以或者.(4)解題中常

6、用的兩組公式:;.典例:(1)函數(shù)的值的符號(hào)為大于0;(2)若,則使成立的的取值范圍是;(3)已知,則;(4)已知,則;(5)已知,則等于 B A.B.C.D.;(6)已知,則的值為 1 .10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式()的本質(zhì)是:奇變偶不變(對(duì)而言,指取奇數(shù)或偶數(shù)),符號(hào)看象限(看原函數(shù),同時(shí)可把看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值,其一般步驟:“負(fù)化正,大化小,化成銳角再查表”即:(1)負(fù)角變正角,再寫成2k+,;(2)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù). 典例:(1)的值為;(2)已知,則,若為第二象限角,則.11.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:;逆:,其中.正:;逆:,其中.

7、正:;變:.正:;變:正:;變:(降角升冪公式),逆:(降冪升角公式);(半角正切)典例:(1)下列各式中,值為的是 C A. B. C. D.(2)命題P:,命題Q:,則P是Q的 C 條件.A、充要B、充分不必要C、必要不充分D、既不充分也不必要;(3)已知,那么的值為;(4)的值是 4 ;(5)已知,求的值(用表示)甲求得的結(jié)果是,乙求得的結(jié)果是,對(duì)甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是 甲、乙都對(duì) .12.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是:一角二名三結(jié)構(gòu).即首先觀察角與角之間的關(guān)系,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系,通?！扒谢摇?

8、第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)通常是分式要因式分解、通分后約分、根號(hào)下配方后開方.基本的技巧有:(1)巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.如:,等.典例:(1)已知,那么的值是;(2)已知,且,求的值;(3)若為銳角,則與的函數(shù)關(guān)系為. (2)三角函數(shù)名互化(切化弦),典例:(1)求值= 1 ;(2)已知,求的值(3)公式變形使用（.典例:(1)已知A、B為銳角,且滿足,則;(2)中,則此三角形是 等邊 三角形.(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式:,與升冪公式:,).典例:(1)若,化簡(jiǎn)為;(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對(duì)角、函

9、數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同).典例:(1)= ;(2)求證:; (3)化簡(jiǎn):= .(6)常值變換主要指“1”的變換（等）典例:已知,求=.(7)正余弦“三兄妹”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”.典例:(1)若 ,則,特別提醒:這里;(2)若,求的值.（答: ）;(3)已知,試用表示的值（答:）.13.輔助角公式中輔助角的確定:(其中角所在的象限由a, b的符號(hào)確定,角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起作用.典例:(1)若方程有實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是 2,2 .;(2)當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí),的值是;(3)如果是奇函數(shù),則= 2 ;(4)求值: 32 .14.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象:正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象的作圖方法:五

10、點(diǎn)法:先取橫坐標(biāo)分別為0,的五點(diǎn),再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來,就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.如右圖所示:15.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì):(1)定義域R.(2)值域.對(duì),當(dāng)時(shí),取最大值1;當(dāng)時(shí),取最小值1;對(duì),當(dāng)時(shí),取最大值1,當(dāng)時(shí),取最小值1.典例:(1)若函數(shù)的最大值為,最小值為,則,;(2)函數(shù)（）的值域是 1, 2 ;(3)若,則的最大值和最小值分別是 7 、 -5 ;(4)的最小值是 2 ,此時(shí)=;(5)己知,則的取值范圍;(6)若,則的最大值 1 、最小值.特別提醒L:在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí),你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎?例如前面的關(guān)于求值域的一個(gè)運(yùn)用！(3)

11、周期性:、的最小正周期都是2;和的最小正周期都是.典例:(1)若,則 0 ;(2)函數(shù)的最小正周期為;(3)設(shè),若恒成立,則= 2 .(4)奇偶性與對(duì)稱性:函數(shù)是奇函數(shù),對(duì)稱中心是,對(duì)稱軸是直線;函數(shù)是偶函數(shù),對(duì)稱中心是,對(duì)稱軸是直線（正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最值點(diǎn)且垂直于軸的直線,對(duì)稱中心為圖象零點(diǎn)所在點(diǎn).）典例:(1)函數(shù)的奇偶性是 偶函數(shù) ;(2)已知函數(shù)為常數(shù)）,且,則 5 ;(3)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是、;(4)已知為偶函數(shù),求的值.（答:）(5)單調(diào)性:上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.16.形如的函數(shù):(1)幾個(gè)物理量:A振幅;頻率（周期的倒數(shù)）;相位;初

12、相;(2)求表達(dá)式:A由最值確定;由周期確定;由圖象上的特殊點(diǎn)確定.(3)函數(shù)圖象的畫法:“五點(diǎn)法”設(shè),令0,求出相應(yīng)的值,計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象;圖象變換法:這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法.(4)函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系:的圖象上各點(diǎn)向左(0)或向右(0)平移個(gè)單位得的圖象;圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得到函數(shù)的圖象;圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍,得圖象;圖象上各點(diǎn)向上()或向下(),得到的圖象.特別注意L:由得到的圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移單位.典例:(1)函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到的圖象？（答:向上平移1個(gè)單位得的圖象,再向左平移個(gè)單位得的圖象,橫坐標(biāo)擴(kuò)

13、大到原來的2倍得的圖象,最后將縱坐標(biāo)縮小到原來的即得的圖象）;(2)要得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象向 左 平移個(gè)單位;(3)(現(xiàn)在考綱不作要求)將函數(shù)圖像,按向量平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這樣的向量是否唯一？若唯一,求出;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量);(4)若函數(shù)的圖象與直線有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是.(5)研究函數(shù)性質(zhì)的方法:類比于研究的性質(zhì),只需將中的看成中的,但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí),要特別注意A和的符號(hào),通過誘導(dǎo)公式先將化正.典例:(1)函數(shù)的遞減區(qū)間是;(2)的遞減區(qū)間是;(3)設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,它的周期是,則( C )A、

14、B、在區(qū)間上是減函數(shù)C、D、的最大值是A;(4)對(duì)于函數(shù)給出下列結(jié)論, 其中正確結(jié)論是 .圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱; 圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱;圖象可由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到;圖像向左平移個(gè)單位,即得到函數(shù)的圖像.(5)已知函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)中,距離最近兩點(diǎn)間的距離為,那么此函數(shù)的周期是17.正切函數(shù)的圖象和性質(zhì):(1)定義域:.有關(guān)正切函數(shù)問題時(shí),你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值;(3)周期性:,它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期.絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響:一般說來,某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方,其周期性是:弦減半、切不變

15、.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值,其周期性不變,其它不定.(只作了解即可) 典例:(1),的周期都是.(2)的周期為.(3)的周期都是;(4)奇偶性與對(duì)稱性:是奇函數(shù),對(duì)稱中心是.特別提醒L:正切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類:一類是圖象與軸的交點(diǎn),另一類是漸近線與軸的交點(diǎn),但無對(duì)稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處.(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù).但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性.18.三角形中的有關(guān)公式: (1)內(nèi)角和定理:三角形三角和為,這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性,解題可不能忘記！任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ),任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是

16、銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理:(R為三角形外接圓的半徑).注意:正弦定理的一些變式:;已知三角形兩邊一對(duì)角,求解三角形時(shí),若運(yùn)用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理:等,常選用余弦定理鑒定三角形形狀. (4)面積公式:(其中為三角形內(nèi)切圓半徑).海倫-秦九韶公式 ,其中.典例:中,若,判斷的形狀（答:直角三角形）.特別提醒L:(1)求解三角形中的問題時(shí),一定要注意這個(gè)特殊性:所以有,;(2)求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時(shí),常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.典例:(1)中,A、B的對(duì)邊分別是,且,那么滿足條件的 A、 有一個(gè)解 B、有兩個(gè)解 C、無解 D、不能確定（答:C）;(2)在中,AB是成立的 充要 條件;(3)在中,則;(4)在中,若,則;(5)在中,若其面積,則=