11銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、第一章 直角三角形的邊角關(guān)系銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明深圳市華一實(shí)驗(yàn)學(xué)校 萬(wàn)劍波一、學(xué)生知識(shí)狀況分析在本節(jié)課以前，學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形的邊邊關(guān)系（如勾股定理）、角角關(guān)系（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）等知識(shí).對(duì)于邊角關(guān)系，平面幾何中在特殊的直角三角形中有所接觸，如“在直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”等.但還不能從根本上掌握直角三角形的邊與角之間的內(nèi)在聯(lián)系.本課時(shí)從學(xué)生觀察比較熟悉的生活工具梯子的傾斜程度來(lái)展開(kāi)，便于學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討更本質(zhì)的東西，即由直觀感受轉(zhuǎn)為定性分析，最終進(jìn)行定量研究，從而揭示直角三角形邊角關(guān)系的內(nèi)在本質(zhì).由于學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)有一定的直觀感受，因

2、此學(xué)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容就有了很好的生活基礎(chǔ)，降低了學(xué)習(xí)難度.但要準(zhǔn)確刻畫梯子傾斜程度，就需要通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)利用直角三角形邊與邊的關(guān)系來(lái)判斷.二、教學(xué)任務(wù)分析本課是九年級(jí)下冊(cè)第一章第一節(jié)銳角三角函數(shù)的第一課時(shí).先由學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)直觀感受、判斷梯子的傾斜程度，然后通過(guò)不易于判斷的個(gè)例呈現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的演算、比較、推理，教師采用教育技術(shù)實(shí)驗(yàn)的方法，借助幾何畫板，通過(guò)幾何直觀，幫助學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)到直角三角形中邊與角之間確實(shí)存在著一定的關(guān)系，最終探索出直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比是隨銳角的變化而變化的.說(shuō)明在直角三角形中，用一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的的比來(lái)定義正切是合理的.在問(wèn)題解決的過(guò)程

3、中，要滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和符號(hào)感.由于不同學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解是不一樣的，教師應(yīng)尊重學(xué)生間的差異，不要急于否定學(xué)生的答案，而要鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展討論，給學(xué)生提供成果展示的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)學(xué)生的交流能力及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：知識(shí)與技能：1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用表示直角三角形中兩直角邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度（坡比）等.3.能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.過(guò)程與方法：1.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.2.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展學(xué)

4、生的幾何直觀能力和符號(hào)感，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.情感態(tài)度與價(jià)值觀：1.通過(guò)本節(jié)課程的學(xué)習(xí)，促使學(xué)生更加熱愛(ài)生活，理解數(shù)學(xué)源于生活，又為生活服務(wù).2.進(jìn)一步鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)解釋身邊的事物，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì).教學(xué)重點(diǎn)：理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)：理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境；第二環(huán)節(jié)：探求新知；第三環(huán)節(jié)：應(yīng)用與拓展；第四環(huán)節(jié)：變式練習(xí)；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)內(nèi)容活動(dòng)內(nèi)容1：介紹世界文化遺產(chǎn)意

5、大利比薩斜塔，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣我們都知道世界著名的建筑意大利比薩斜塔.但你知道比薩斜塔是如何傾斜的和傾斜角度是多少嗎?如下圖，小明說(shuō)，只要測(cè)得垂直中心線、塔身中心線的長(zhǎng)度及塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離這三個(gè)數(shù)據(jù)中的任意兩個(gè)，他就可以計(jì)算出塔身傾斜角的大小.你想知道小明是如何做的嗎？那么，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)吧.通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，你就會(huì)明白小明這樣做的道理.活動(dòng)目的：讓學(xué)生初步從實(shí)際問(wèn)題中去體會(huì)直角三角形的邊角之間存在一定的關(guān)系，并通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，讓學(xué)生留意身邊的數(shù)學(xué)；初步感受到傾斜程度在生活中的隨處可見(jiàn)，并可以用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述.教學(xué)效果：學(xué)生對(duì)小明的方法感到好奇，生動(dòng)的課堂引入激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲

6、望.并能初步感受到傾斜程度是可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)描述的.活動(dòng)內(nèi)容2：觀察梯子的傾斜程度由活動(dòng)1知道，傾斜的物體在生活中隨處可見(jiàn)，那我們?cè)撊绾闻袛辔矬w的傾斜程度呢？大家都會(huì)用“陡峭”或“平緩”來(lái)描述.1.圖11和圖12中，這里擺放的兩個(gè)梯子，你能辨別出那一個(gè)比較陡一些嗎？你是如何判斷的？圖11圖122.圖13中，這里擺放的兩個(gè)梯子，你能辨別出那一個(gè)比較陡一些嗎？你又是如何判斷的？圖13表1對(duì)于圖13，學(xué)生可能難于下手，這時(shí)老師可以借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生比較對(duì)邊與鄰邊的比值，即比較表一中的與大小，當(dāng)、時(shí)，借助幾何畫板直觀的驗(yàn)證梯子的傾斜程度，以突破學(xué)生認(rèn)識(shí)上的障礙.（為了方便研究，表格中的數(shù)

7、據(jù)精確到十分位）活動(dòng)目的：先讓學(xué)生從圖1-1和圖1-2中直觀感受梯子的傾斜程度，再讓學(xué)生理性思考該如何尋找方法判斷圖1-3中梯子的傾斜程度.這樣學(xué)生會(huì)感到知識(shí)上的匱乏，從而對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.讓他們從實(shí)例中體會(huì)不同情況下比較梯子的傾斜程度只靠直觀感受是不夠的，還需要其他方法用邊的比進(jìn)行比較.活動(dòng)效果：學(xué)生可以很快用不同的方法從圖11和圖12中分辨出哪個(gè)梯子更陡.但對(duì)于圖13，學(xué)生則普遍感到有一定難度.教師通過(guò)運(yùn)用幾何畫板的演示活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生比較對(duì)邊與鄰邊的比，來(lái)比較梯子的傾斜程度.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這是個(gè)新的知識(shí)，需要利用這個(gè)新的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)梯子的傾斜程度，這為引入本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)正切值埋下了伏筆.

8、 第二環(huán)節(jié) 探求新知活動(dòng)內(nèi)容1：在小明家的墻角處放有一架較長(zhǎng)的梯子，墻很高，又沒(méi)有足夠長(zhǎng)的尺來(lái)測(cè)量，你有什么巧妙的方法得到梯子的傾斜程度呢？圖14如圖1-4，小明想通過(guò)測(cè)量及，算出它們的比，來(lái)說(shuō)明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為通過(guò)測(cè)量及 ，算出它們的比，也能說(shuō)明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎？（1）和有什么關(guān)系？（2）和有什么關(guān)系？（3）如果改變?cè)谔葑由系奈恢媚兀?由此你得出什么結(jié)論？活動(dòng)目的：通過(guò)對(duì)前面問(wèn)題的討論，學(xué)生已經(jīng)知道可以用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊之比來(lái)刻畫梯子的傾斜程度.這個(gè)活動(dòng)旨在說(shuō)明，當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.這一比值只與傾斜角度有關(guān)，而與直角三角形的大小無(wú)關(guān).教

9、學(xué)效果：學(xué)生能借助三角形相似的知識(shí)理解兩個(gè)比的關(guān)系，通過(guò)簡(jiǎn)單推理獲得結(jié)論：，并能發(fā)現(xiàn)如果改變?cè)谔葑由系奈恢茫杂?能理解這個(gè)關(guān)系之所以不變，是由于銳角不變的原因，為學(xué)生理解下面的知識(shí)：用對(duì)邊與鄰邊的比來(lái)定義正切，奠定了基礎(chǔ).活動(dòng)內(nèi)容2：結(jié)合活動(dòng)內(nèi)容1，請(qǐng)同學(xué)們思考：既然直角三角形中，一個(gè)銳角一旦確定，它的對(duì)邊與鄰邊的比也隨之確定.那么這個(gè)確定的比我們能不能用一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示呢？數(shù)學(xué)上，我們把這個(gè)確定的比叫做一個(gè)銳角的正切.如圖15，我們把的對(duì)邊與的鄰邊的比，叫做的正切（tangent），記作.即 圖15的鄰邊的對(duì)邊對(duì)于正切的定義，同學(xué)們必須明確以下幾點(diǎn)：1. 中常省略角的符號(hào)“”.用希臘字母

10、表示角時(shí)也可省略如：、等.但用三個(gè)字母表示角和用阿拉伯?dāng)?shù)字表示角時(shí)，不能省略角的符號(hào)“”，要寫成或、等；2、沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值；3、是一個(gè)完的整數(shù)學(xué)符號(hào)，不可分割，不表示“”乘以“”；4、一個(gè)角的正切是在直角三角形中定義的，因此，只能在直角三角形中適用；請(qǐng)同學(xué)們思考，梯子的傾斜程度與的值有關(guān)嗎？的值越大，梯子越陡活動(dòng)目的：通過(guò)對(duì)直角三角形中邊角關(guān)系的探索，合理的引出正切的定義；通過(guò)對(duì)定義的辨析，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感；通過(guò)探究梯子的傾斜程度與的值的關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；進(jìn)一步體會(huì)正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.教學(xué)效果：通過(guò)觀察、探索梯子的傾斜程度自然的引出了正切的定義，能理解規(guī)定的合理

11、性，經(jīng)歷了由形到數(shù)的過(guò)程；通過(guò)探索結(jié)論“的值越大，梯子越陡”體驗(yàn)了由數(shù)到形的過(guò)程，體會(huì)到利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.第三環(huán)節(jié) 應(yīng)用與拓展活動(dòng)內(nèi)容1：例題1：圖16表示甲、乙兩個(gè)手扶電梯，哪個(gè)手扶電梯比較陡？圖16 活動(dòng)目的：通過(guò)計(jì)算正切值判斷梯子的傾斜程度，這是對(duì)第二環(huán)節(jié)中得出結(jié)論的直接運(yùn)用，旨在鞏固正切的定義以及發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力教學(xué)效果：學(xué)生經(jīng)歷了觀察、探索等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展了合情推理的能力，并都能通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得出結(jié)論，而且能有條理、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).圖17活動(dòng)內(nèi)容2：認(rèn)識(shí)

12、坡角、坡度（坡比）坡角：坡面與水平面的夾角；坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切. 如圖17，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100米就升高60，那么山坡的坡角是，坡度（坡比）就是：教學(xué)目的：認(rèn)識(shí)坡角、坡度（坡比），理解坡度（坡比）其實(shí)質(zhì)就是坡角的正切.體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系.教學(xué)效果：通過(guò)工程學(xué)上的例子，學(xué)生能理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)聯(lián)第，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).第四環(huán)節(jié) 變式練習(xí)活動(dòng)內(nèi)容：1、如圖18，在中，若，則= ； 2、如圖19，在中，則 ； 圖18圖193、如圖110,某人從山腳下的點(diǎn)走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn).已知

13、山頂?shù)缴侥_下的垂直距離是55m.求山坡的坡度(結(jié)果精確到0.001m).圖110活動(dòng)目的：為學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題提供資源，并將進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的方法.讓學(xué)生嘗試用正切表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，學(xué)會(huì)運(yùn)用正切的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.教學(xué)效果：以上3個(gè)例題都是基礎(chǔ)題，其中第2題學(xué)生需要添加簡(jiǎn)單的輔助線，加深了學(xué)生對(duì)正切的理解，體會(huì)到正切是在直角三角形中定義的，因此使用的前提必須是在直角三角形中使用.第五環(huán)節(jié) 課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)本堂課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和體會(huì)；談?wù)剬?duì)本節(jié)知識(shí)的理解.活動(dòng)目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談自己的收獲與感想（學(xué)生暢所欲言，教師給予鼓勵(lì)），讓學(xué)生能正確闡述對(duì)正切、傾斜程度、坡度等數(shù)學(xué)意義的理解.教學(xué)效果：學(xué)生能暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)掌握更加透徹.不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得了不同的發(fā)展.第六環(huán)節(jié) 布置作業(yè)作業(yè)： 習(xí)題 1.1 1、2四、教學(xué)反思本課時(shí)結(jié)合學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，依據(jù)初中