2022年“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計1、設(shè)計意圖與學(xué)情分析三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)爭論函數(shù)的一個重要載體，是應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的好素材；本節(jié)課是在復(fù)習(xí)“二次函數(shù)”基礎(chǔ)上的一節(jié)高三復(fù)習(xí)探究課，同學(xué)已初步搭建起爭論函數(shù)的基本平臺，借助導(dǎo)數(shù)的工具來爭論三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，符合同學(xué)的認(rèn)知規(guī)律；通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，既可以整合函數(shù)圖象和性質(zhì)、不等式、方程、函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)學(xué)問， 完善同學(xué)的學(xué)問結(jié)構(gòu)，體會其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，同時也有利于擴(kuò)展同學(xué)的數(shù)學(xué)視野， 體驗再發(fā)覺和再制造的過程，進(jìn)展同學(xué)獨立獵取數(shù)學(xué)學(xué)問的才能，提高同學(xué)

2、應(yīng)用所學(xué)學(xué)問解決問題的才能；另外，作為高三復(fù)習(xí)教學(xué)，力求想走出簡潔重復(fù)與承襲過去的怪圈，三次函數(shù)在近幾年全國各地高考及模擬試題中頻繁顯現(xiàn)，但教材和各種資料中往往只從求導(dǎo)、求極值、 求單調(diào)區(qū)間等角度進(jìn)行一些零碎的、淺表的探究， 而很少對它作出比較系統(tǒng)地、實質(zhì)性地闡述；2、教學(xué)目標(biāo)與重點難點通過這節(jié)課的教學(xué)想達(dá)到以下三個目標(biāo)：1）學(xué)問目標(biāo)：讓同學(xué)明白三次函數(shù)的概念、 定義域、 值域； 能利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)等學(xué)問爭論三次函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)覺三次函數(shù)圖象的對稱性， 進(jìn)一步懂得函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、 極值， 能利用圖象來爭論三次方程實根的個數(shù)，體會分類爭論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想方法；2）才能目標(biāo)：

3、培育同學(xué)識圖才能、探究才能和創(chuàng)新意識，提高運用所學(xué)學(xué)問解決問題的才能；3）情感目標(biāo)：讓同學(xué)經(jīng)受從特殊到一般的熟悉事物和發(fā)覺規(guī)律的過程，勉勵同學(xué)勇于探究、設(shè)法尋到解決問題的方案，體驗“再制造”的樂趣；這節(jié)課的教學(xué)重點是爭論三次函數(shù)的單調(diào)性和相應(yīng)三次方程實根的個數(shù)，發(fā)覺三次函數(shù)圖象的對稱性，其中發(fā)覺并驗證三次函數(shù)圖象的對稱性是本節(jié)課的教學(xué)難點；3、設(shè)計思想與教學(xué)方法這節(jié)課的設(shè)計強調(diào)同學(xué)主動探究式的學(xué)習(xí)方式，強調(diào)同學(xué)探究新學(xué)問的經(jīng)受和獲得新學(xué)問的體驗， 注意培育同學(xué)的終生學(xué)習(xí)才能；按建構(gòu)主義觀點，學(xué)問需要經(jīng)過學(xué)習(xí)者自身體驗，才能被有效地同化和順應(yīng)；自然，同學(xué)在探究的過程中會遇到障礙，需要得到老師的適

4、 時引導(dǎo)和幫忙， 老師應(yīng)當(dāng)環(huán)繞同學(xué)的“最近進(jìn)展區(qū)” 做文章； 本節(jié)課始終貫徹的教學(xué)方式是：問題情形啟發(fā)思維探究爭論解決問題理性歸納因此，不是簡潔地給出三次函數(shù)的概念、單調(diào)性、對稱性，而是通過創(chuàng)設(shè)情境，搭設(shè)臺階，類比二次函數(shù)，從特別到一般，從詳細(xì)到抽象，從感性到理性，利用多媒體出現(xiàn)三次函數(shù)的圖象，憑借圖象的直覺去發(fā)覺、去探究，從直覺層面、幾何層面、代數(shù)層面、導(dǎo)函數(shù)分析層面， 數(shù)形結(jié)合層面進(jìn)行摸索逐步加深對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的熟悉，最終， 借助連續(xù)函數(shù)的零點存在定理來爭論三次方程的實根的個數(shù)，作為對三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用；在整個教學(xué)過程中，同學(xué)的主體位置得到充分發(fā)揮，老師起組織者、幫忙者和促進(jìn)者

5、的作用，利用情境、 對話等學(xué)習(xí)環(huán)境充分發(fā)揮同學(xué)的主動性、積極性和制造精神，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)， 享受探究帶來的成就感，激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，提高他們發(fā)覺問題、分 析問題、解決問題的才能，這正是新課程所提倡的教學(xué)理念；4、教學(xué)流程4 1三次函數(shù)概念32T：類比二次函數(shù)，請同學(xué)們自己對三次函數(shù)下定義； 板書 形如 yaxbxcxd a0 的函數(shù)叫做三次函數(shù)；定義域：R ；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -T：要求三次項的系數(shù)不為

6、0，那么三次項的系數(shù)a 與函數(shù)值變化有什么關(guān)系？S：當(dāng) a0 時，讓 x 無限增大， 對函數(shù)值y 起打算位置的是ax 3 項，即 x， y；同樣地當(dāng) x時， y，（讓同學(xué)體會極限的思想方法） 板 書 ： 值 域 為 R T：下面我們從已搭建的爭論函數(shù)的一般“平臺”動身來探討三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；4 2三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)4 2 1 單 調(diào) 性 ： T：爭論三次函數(shù)的單調(diào)性，常用什么工具？ S：導(dǎo)數(shù)；T：下面我們一起先來做兩個題目：多媒體演示例1、例 2例 1、已知f xax33x2x1 在 R 上是減函數(shù)，求a 的取值范疇；例 2、試確定函數(shù)f xx33x 的單調(diào)區(qū)間，并在同一坐y標(biāo)系中畫出此

7、函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)圖象；（以上兩題由同學(xué)們自己完成，然后溝通；旨在復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)、極值二次不等式恒成立等相關(guān)學(xué)問，引導(dǎo)同學(xué)從特別的簡潔OOx的情形動身，先從圖象上直觀感知三次函數(shù)的單調(diào)性，并能結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象（如圖1）分析，為接下來得出一般性結(jié)論作鋪墊）T：要使函數(shù)yax3bx2cxda0 在 R 上是單調(diào)函數(shù)，系數(shù)應(yīng)滿意什么條件？要使函數(shù)yax3bx2cxd a0圖 1在 R 上不是單調(diào)函數(shù)，那么它在R 上肯定有幾個單調(diào)區(qū)間，系數(shù)又應(yīng)滿意什么條件？（通過同學(xué)自主探究，相互溝通、爭論，得出以下結(jié)論） 板書 一般地，當(dāng)b 23ac0 時，三次函數(shù)yax 3bx 2cxd a0 在 R 上是單調(diào)函數(shù)；當(dāng) b

8、23ac0 時，三次函數(shù)yax3bx2cxd a0 在 R 上有三個單調(diào)區(qū)間；（依據(jù) a0,a0 兩種不憐憫形進(jìn)行分類爭論）4 2 2 對 稱 性 ： T：依據(jù)你的體會，三次函數(shù)的圖象有何特點？ S：象“閃電”一樣； T：三次函數(shù)是否具有奇偶性？S：有些是奇函數(shù)，有些不是奇函數(shù)，但不行能是偶函數(shù)； T：奇函數(shù)的本質(zhì)是什么？ S：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；T：下面我們一起來觀看幾個三次函數(shù)的圖象，表達(dá)式中的系數(shù)a ,b,c, d請同學(xué)們供應(yīng)；（多媒體演示幾個三次函數(shù)的圖象）y精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -

9、 -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -yyOxOxOxT：三次函數(shù)圖象有什么共性？圖象有對稱中心嗎？（同學(xué)的思維被激活，他們開頭爭論，有些說有對稱中心，有些說沒有對稱中心）S1：三次函數(shù)圖象好象都是關(guān)于某個點成對稱，且對稱中心就在三次函數(shù)的圖象上；（直覺是發(fā)覺的前奏）2S2 ： 老 師 ， 因 為 三 次 函 數(shù)f xax3bx2cxd a0 的 導(dǎo) 函 數(shù) 是 二 次 函 數(shù)f x3ax2bxc a0，二次函數(shù)是軸對稱圖形，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，說明三次函數(shù)的圖象上關(guān)于某個點對稱的兩點處的導(dǎo)數(shù)值始終相等，說明這兩點處切線的斜率相等；S3：是的，我猜想：三

10、次函數(shù)f xax3bx2cxd a0 對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點的橫坐標(biāo)xb；3a（老師勉勵他們，連續(xù)引導(dǎo)同學(xué)從感性向理性過渡）T： f xx3 ，f xAx 3Bx ，它們都是奇函數(shù)， 所以他們的對稱中心均為原點0,0 ；T：函數(shù)f xA xx 3B xx0 有對稱中心嗎？30S4：有，是點 x0 ,0 .T：追問：函數(shù)f xAxx0 Bxx0 y0 有對稱中心嗎？S5：有，是點 x0 , y0 .S6：（搶著說）老師，我知道了，三次函數(shù)肯定有對稱中心，你任憑給我一個三次函數(shù)，我總可以把它化為f xA xx 3B xx0 y0 的形式；0T：為什么？S6：我象二次函數(shù)配方那樣，對三次

11、函數(shù)“配三次方”，肯定可以把二次項“隱匿”起來； T：出色！二次函數(shù)經(jīng)過“配方”，“配”出了一條對稱軸，三次函數(shù)經(jīng)過“配三次方”，“配”出了一個對稱中心；請大家一起來試試； 板書 例 3、試求函數(shù)f xx 33x 26x6 圖象的對稱中心；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -S：找到了，點1,2 ；（用圖象來驗證）T： 板書 f x x1 33 x12函數(shù)f x 的圖象關(guān)于點1,2 對稱；事實上這里的B, x0 , y0 被 b, c,d

12、所確定， 任意一個三次函數(shù)yax3bx 2cxd a0肯定能化為f xa xx0 Bxx0 y0 的形式；3（培育同學(xué)化歸意識，也表達(dá)了方程思想）T：我們把它叫三次函數(shù)的“什么式”？S7：聯(lián)想到二次函數(shù)的解析式有：一般式、頂點式、兩根式，把它叫“中心式”；S8 ：老師，我想用以前學(xué)過的一個結(jié)論（函數(shù)f x，對于定義域內(nèi)的任意x ，都有f axf ax2b 成立的充要條件是函數(shù)f x 的圖象關(guān)于點a, b 對稱） 來證明？但感覺很麻煩；bbbT：想法很好，我們只需證明f x3af x2 f 3a3a，請同學(xué)們課后完成；（老師歸納總結(jié)，結(jié)合三次函數(shù)圖象及它的導(dǎo)函數(shù)圖象，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來加以說明

13、：三次函數(shù)f xax3bx 2cxd a0 對稱中心的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)的極值點的橫坐3標(biāo)，并歸納證明三次函數(shù)對稱性的兩種方法）方法一：任意一個三次函數(shù)都可化為f xA xx0 B xx0 y0 的形式；方法二： 用結(jié)論 （函數(shù)f x ，對于定義域內(nèi)的任意x ，都有f axf ax2b 成立的充要條件是函數(shù)f x 的圖象關(guān)于點 a,b 對稱）來證明； 板 書 三 次 函 數(shù)f xax3bx2cxd a0 是 關(guān) 于 點 對 稱 ， 且 對 稱 中 心 為 點b , f 3ab ，此點的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點的橫坐標(biāo)；3a4 4 應(yīng)用爭論三次方程實根的個數(shù)32 板書 例 4、爭論方程axbxcxd

14、0a0 的實根的個數(shù)；分析：函數(shù)f xax3bx 2cxd a0 的圖象與x 軸有幾個交點，方程便有幾個根；（通過同學(xué)的自主探究，師生溝通，共同完成以下結(jié)論）1、當(dāng) = 4b 212ac0 時，由于不等式f x0 恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根；2、當(dāng) = 4b 212ac0 時，由于方程f x0 有兩個不同的實根x1 , x2 ，不妨設(shè)x1x2 ，由圖象可知， x1 ,f x1 為函數(shù)的極大值點，y x2 ,f x2 為微小值點，且函數(shù)yyf x 在x1Ox2xf x1 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 6 頁 - - - - - -

15、 - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -, x1 和 x2 , 上單調(diào)遞增，在 x1 , x2上單調(diào)遞減；此時：1） 如f x1 f x2 0 ，即函數(shù) yf x 極大值點和微小值點在x 軸同側(cè)，圖象均與 x 軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根（如圖2、3）；圖 2圖 3y2） 如f x1 f x2 0 ，即函數(shù) yf x 極大值點f x1 與微小值點在x 軸異側(cè)，圖象與 x 軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根（如圖 4）；Ox2xx13） 如f x1 f x2 0 ，即f x2 f x1 與 f x2 中有且只有一個圖 4值為

16、0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等（如圖5、6）；yyx1Ox2xx1Ox2x圖 5圖 64 5 課堂小結(jié)4 6 課外練習(xí)5、課后反思與探討在新課程理念的指導(dǎo)下，我設(shè)計了這樣一節(jié)復(fù)習(xí)探究課；總的看來，課堂氣氛民主、和諧，同學(xué)普遍有深厚的愛好，參加度高，大多數(shù)同學(xué)既能自主探究，敢于發(fā)表自己的見解，也能傾聽別人的想法，師生之間、同學(xué)之間的思想不斷碰撞，教學(xué)資源不斷生成（原先的教精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 6 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -案中沒有“配三次方” 、

17、“三次函數(shù)的中心式”等內(nèi)容），充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢，出現(xiàn)各種三次函數(shù)圖象（這是以往教學(xué)難以實現(xiàn)的），給同學(xué)創(chuàng)設(shè)了寬闊的思維空間，既增強了同學(xué)的感性熟悉，從變化中去查找不變的東西，為發(fā)覺三次函數(shù)的對稱中心供應(yīng)了想象的基礎(chǔ)，又為探究贏得了時間；也讓我再次領(lǐng)會到同學(xué)無窮的潛能，老師要做的是努力去開發(fā)他們； 課堂教學(xué)永久是門“遺憾的藝術(shù)”，有很多問題值得探討；第一，教學(xué)目標(biāo)是否適切，是否有超出要求之嫌；三次函數(shù)的對稱中心也稱奇特切點，屬于高等數(shù)學(xué)爭論范疇，但理論層面上講是極為初等的，具有可操作性， 假如在運算機(jī)上用切線法模擬查找該對稱點，將特別快速， 精度很高； 這一點是否有必要在課堂上進(jìn)行演示，以加深同學(xué)對三次函數(shù)對稱中心 的懂得；另外，由于課堂上沒有嚴(yán)格證明“三次函數(shù)圖象的對稱性”，是否會損害數(shù)學(xué)的嚴(yán) 謹(jǐn)性和教學(xué)的完整性；其次，課堂容量是否太大，在探究“對稱性”過程中，由于教學(xué)時間的局限性，有些環(huán)節(jié)“放”的仍不夠，個別新生成的教學(xué)資源沒有充分開