圓中的比例線段

1、圓中的比例線段圓中的比例線段是由直線和圓的位置關(guān)系反映出線段間的數(shù)量關(guān)系所形成的一類(lèi)幾何問(wèn)題，由于直線和圓的多種不同位置關(guān)系，因此就導(dǎo)致了形式多樣的線段間數(shù)量關(guān)系。盡管如此，圓中比例線段的證明問(wèn)題仍是有規(guī)律可循的，只要掌握正確的解題方法，就可以化難為易，使問(wèn)題迎刃而解。一、 利用相似三角形當(dāng)成比例的四條線段分別位于兩個(gè)三角形中時(shí)，可以從求證的比例式中去尋找相似三角形。利用相似三角形證明線段成比例是解決這類(lèi)問(wèn)題的最基本的方法。例1、 已知如圖，ABC內(nèi)接于O，AD是直徑，CFAD于E，交AB于F。求證：AC2ABAF例2、 已知如圖，ABAC，AB是O的直徑，DM是O的切線，M是DM與AC的交點(diǎn)

2、。求證：DC:ACCM:DC例3、 已知如圖， AB、CD是O的直徑，且ABCD于O，過(guò)C點(diǎn)作弦CF交AB于E。求證：2CO2CECF二、 利用等積或等量代換當(dāng)不能從所求證的比例式中找到兩個(gè)相似三角形，可以根據(jù)已知條件或圖形性質(zhì)，尋求相等線段，替換比例式中線段，也可以尋找等積線段替換乘積中的相應(yīng)線段，再利用相似三角形來(lái)證明。例4、 已知如圖， AB是O的直徑，CDAB于G，P是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PE切O于E，EB交CD于F。求證：PF2PDPC例5、 已知如圖， O的弦ABCD，P是上一點(diǎn)，PA、PB交CD于E、F兩點(diǎn)，O的切線AG交DC延長(zhǎng)線于G。求證：例6、 已知如圖， AB是O的直徑，C

3、切O于F，切AB于D，DC交O于E。求證：ED2ABCD例7、 已知如圖， 點(diǎn)A在O上，A交O于E、F兩點(diǎn)，O的弦AB交A于C，交EF于D。求證：AC2ABAD三、 利用恒等變形有的等積式形式比較復(fù)雜，式子中出現(xiàn)和差問(wèn)題，我們可以將等積式變形，再通過(guò)等量代換證明。例8、 已知如圖，O1與O2外切于點(diǎn)P，CD是O1的直徑，CP、DP的延長(zhǎng)線分別交O2于F、E，過(guò)C作O1的切線CH，交O2于A、H，交PE于B，交EF于G。求證：（1）AC2ABAD（2）BGBCAG2BG2例9、 已知如圖，ABC內(nèi)接于O，BAC的平分線交BC于D，交O于E。求證：AD2ABACBDCD例10、 已知如圖，AB是O

4、的直徑，P為O外一點(diǎn)，PMAB，M為垂足，PM交O于N，PCD為O的割線，分別交O于C、D兩點(diǎn)。求證：PCPD+ MAMBPM2例11、 已知如圖，O1與O2相關(guān)于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作O2的切線CM，交O1于C，直線CB交O2于D，DA的延長(zhǎng)線交O1于E，連結(jié)CE。求證：（1）CAE是等腰三角形（2）DADECD2 CE2例12、 已知如圖，過(guò)O上一點(diǎn)A作A交O于B、C，過(guò)點(diǎn)A的直線交O于E、A，交A于D、G，交BC于F。求證：EFAFAD2 AF2四、 尋求隱含關(guān)系有些題目中所求證的比例線段（或等積線段）左右兩邊的方次不同，這往往是由于約去了相同的線段所造成的，因此，應(yīng)該正確地尋找所約去的線段，才能進(jìn)一步解決問(wèn)題。例13、 已知如圖，PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PCBO的割線，與O交于B、C，M為AC的中點(diǎn)，PM的延長(zhǎng)線交AB于D。求證：例14、 已知如圖，AB、CD為O的兩條平行弦，過(guò)點(diǎn)A作O的切線交DC延長(zhǎng)線于E。求證：例15、 已知如圖，ABC內(nèi)接于O，過(guò)點(diǎn)A作O的切