37切線長定理教學設計

1、第三章 圓切線長定理教學設計說明廣東省佛山市石門實驗中學 譚紅良一、學生起點分析學生的知識技能基礎：學生在七、八年級已經(jīng)學習了軸對稱圖形、三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，在本章圓前面已經(jīng)學習了切線的定義、判定與性質(zhì)、圓的對稱性.因此學生對前面圓的相關知識都有一定的認識，這對本節(jié)課的學習有一定的幫助，學習過程不會很困難，理解也不很困難，但書寫證明過程有一定的難度.學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明垂徑定理的經(jīng)驗，和尺規(guī)作圖等動手操作能力 ，經(jīng)歷了對數(shù)學問題進行觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程. 同時在以前的數(shù)學學習中

2、學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的動手實踐、自主探索與合作交流的能力. 二、教學任務分析 本節(jié)課是在學習了切線的性質(zhì)和判定的基礎之上，繼續(xù)對切線的性質(zhì)的研究，是在垂徑定理之后對圓的對稱性又一次的認識.體現(xiàn)了圖形的認識、圖形的變換、圖形的證明的有機結合.在習題和內(nèi)切圓的計算中體現(xiàn)了把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題后解決問題，從而滲透轉(zhuǎn)化思想和方程思想，提高應用意識.切線長定理的探究，通過設計讓學生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、最后歸納得出切線長定理，使學生的直觀操作與邏輯推理有機的整合到一起，讓學生在探究的過程中體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性，證明過程

3、的嚴謹性以及結論的確定性. 應用了“實驗幾何論證幾何”的探究方法，并初步建立了由動手操作抽象出數(shù)學條件進而解決問題的意識.讓學生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確的追求過程中，使學生體驗數(shù)學發(fā)展的過程.它也是為證明線段，角相等，弧相等，垂直關系等提供了理論依據(jù).為此，本節(jié)課的教學目標是：1. 使學生理解切線長定義.2. 使學生掌握切線長定理，并能初步運用.3. 通過本節(jié)教學，進一步培養(yǎng)學生的動手操作能力和創(chuàng)新意識.4. 學生在猜想、探索、驗證切線長定理活動中通過相互間的合作與交流，進一步發(fā)展學生合作交流的能力和數(shù)學表達能力.5. 通過分

4、析問題、解決問題的過程，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣，使學生積極參與、體驗成功.三、教學設計分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：一、創(chuàng)設情景，引入新課二、 合作學習，探究新知三、應用新知，體驗成功四、梳理小結，盤點收獲五、延伸思考，提升層次六、推薦作業(yè)，鞏固拓展.第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設情景，引入新課 活動內(nèi)容： 問題:有一天,同學們?nèi)ネ趵蠋熂易隹?王老師正在洗鍋,就問:誰能測出這個鍋蓋的半徑,就可以得到一根雪糕,同學們都躍躍欲試,但老師家里只有一個曲尺,到底誰能得到這根雪糕呢?這里讓學生們小組討論,那么,該如何測量這個鍋蓋的半徑呢?學生們眾說紛紜,可能會利用90的圓周角所對的弦是直徑來作答,也有可能會利用曲尺的兩邊

5、與圓構造正方形來解答, 哪一種方法更好呢?ABOPCDABOP 教師引導學生發(fā)現(xiàn)A、B分別為O與PA、PB的切點，連結OB,OA,則四邊形OBAP是正方形,所以，圓的半徑為A點或B點的刻度，PA=PB.如果這根尺子的夾角不是90，是否還能得到PA=PB？ 活動目的：課標指出：“對數(shù)學的認識，應處處著眼于數(shù)學與人的發(fā)展和現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系”根據(jù)這一理念和九年級學生的年齡特點、心理發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系生活中喜聞樂見的話題，創(chuàng)設有一定挑戰(zhàn)性的問題情景，目的在于激發(fā)學生的探索激情和求知欲望，把學生的注意力較快地集中到本課的學習中.教師通過對話交往，引導學生把對概念的感性認識上升到理性認識，然后在圖形中進

6、行識別，從而認識概念的本質(zhì)特征，理解概念的外延.第二環(huán)節(jié) 合作學習，探究新知（一）、切線長定義1、板書定義：從圓外一點可以引圓的兩條切線，這一點和切點之間線段的長度叫做圓的切線長2、剖析定義：（1）找出中心詞，把定義進行縮句.（線段的長叫做切線長）（2）定義中的“線段”具有什么特征？ 在圓的切線上；兩個端點一個是切點，一個是圓外已知點.3、在圖形中辨別：（1）已知：如圖1，PC和O相切于點A ，點P到O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？ （線段PA） （2）已知：如圖2，PA和PB分別與O相切于點A、B ，點P到O的切線長可以用哪一條線段的長來表示？（線段PA或線段PB）（3）如圖2，思考：

7、點P到O的切線長可以用三條或三條以上不同的線段的長來表示嗎？這樣的線段最多可以有幾條？為什么？（4）既然點P到O的切線長可以用兩條不同的線段的長來表示，那么這兩條線段之間一定存在著某種關系，是什么關系呢？我們來探索一下，出示探索問題1，從而進入定理教學.（二）、切線長定理：1、探索問題1：從O外一點P引O的兩條切線，切點分別為A、B，那么線段PA和PB之間有何關系？探索步驟：（1）根據(jù)條件畫出圖形；（2）度量線段PA和PB的長度；（3）猜想：線段PA和PB之間的關系；（4）尋找證明猜想的途徑；（5）在圖3中還能得出哪些結論？并把它們歸類. （6）上述各結論中，你想把哪個結論作為切線長的性質(zhì)？請

8、說明理由.活動目的：定理教學的方式是學生自主探索，相互交流相結合.首先出示探索步驟的前三個，等學生猜想出結論后，再明確僅憑觀察、度量、 利用圓的對稱性，通過折疊，猜想并不能說明結論的正確性，還需證明結論的正確性，同時激勵學生尋找證明猜想的途徑.之后，再讓學生探索更多的結論，并由（6）得出定理.定理的剖析以對話形式進行.在整個過程中，教師相應地進行板書.此環(huán)節(jié)讓學生經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、最后歸納得出切線長定理，使學生的直觀操作與邏輯推理有機的整合到一起，讓學生在探究的過程中體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性，證明過程的嚴謹性以及結論的確定性.然后，通過動態(tài)演示強化切線長定理這一核

9、心知識.可以看出設置探究性的問題，可以樹立學生已知與未知、簡單與復雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思想，使學生學會把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復雜問題化為簡單問題，把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題的思考方法.本環(huán)節(jié)教師通過學生探究、學生講解、學生總結、歸納總結得出本節(jié)課的核心知識“切線長定理”，又通過動態(tài)演示強化核心知識.最后通過習題、生活中的實例讓學生應用核心知識，樹立學生的應用意識.這樣多種形式、多種角度強化核心知識，更易學生接受.3、剖析定理：（1）指出定理的題設和結論；（2）用符號語言表示定理：PA、PB分別是O的切線，點A、B分別為切點，（PA、PB分別與O相切于點A、B）PA=PB，APO=B

10、PO.(3)切線和切線長區(qū)別.切線是到圓心距離等于圓的半徑的直線，而切線長是線段，指過圓外一點做圓的切線，該點到切點的距離.活動目的：此處通過學生思考得出結論，再次加深學生對概念的理解，也使學生了解切線長與切線的關系，4.拓展：（1）圖3是軸對稱圖形嗎？如圖4，連結圖3中的兩個切點AB交OP于點C，OP所在的直線交O于點D、E，又能得出什么結論？并把它們分類.（2）如圖5，已知O 的兩條切線互相平行，A、B 兩點為切點，如果連接兩切點AB，則AB是O 的直徑嗎？ 數(shù)學來源于生活，又應用于生活，請同學們再思考下，它們在我們的日常生活中各有什么應用？答：圖3是軸對稱圖形，連接AB，結論 PAB 是

11、一個等腰三角形，并且存在等腰三角形的三線合一定理.ABOP ，出現(xiàn)了圓的垂徑定理. AB是O 的直徑.我們的日常生活中,球放在墻角，V 形架中放入一個圓球等.如圖7 可以應用于解決日常生活中測量球體的直徑. （4） 如圖8中，作出三角形三條切線后與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，圖8中存在切線長定理嗎？. （5）老師有一張三角形的鐵皮，如何在它的上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能最大？ 答：只要作出這個三角形的內(nèi)切圓便是這個三角形中取出的用料.活動目的：此環(huán)節(jié)讓學生指出切線長定理的題設和結論，并讓學生熟練掌握定理的三種幾何語言（符號語言、文字語言、圖形語言）的表示.學生在總結

12、出切線長定理的同時，又通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)了圓心和這一點的連線為圓的對稱軸，利用對稱性還可得到更多的邊等、角等、弧等的結論.接著讓學生觀察三角形的內(nèi)切圓從而發(fā)現(xiàn)其中也存在切線長定理.問題的引入自然流暢，層層遞進不僅符合學生認知規(guī)律，也激發(fā)了學生進一步研究的興趣，達成本節(jié)課知識目標的教學.最后，通過在三角形鐵皮上裁下一個最大的圓的實際問題的探究，幫助學生從實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，運用所學知識解決實際問題，提高他們數(shù)學的應用意識和解決問題的能力.（三）圓的外切四邊形的性質(zhì).請同學們先在草稿本中作出有關已知圓O 的四條切線，再互相交流與討論你的發(fā)現(xiàn)與結論并加以驗證.結論：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.活

13、動目的：學生通過在圖形中識別切線長定理的基本圖形，總結的出圓外切四邊形的性質(zhì)，學生再次應用本節(jié)核心知識發(fā)現(xiàn)新的結論.這樣教學，教師不只是讓學生“見到樹木，也看到了他們所在的森林”.第三環(huán)節(jié) 應用新知，體驗成功 活動內(nèi)容： (一)例題學習1.例題：已知如圖，RtABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，O 是ABC 的內(nèi)切圓，切點分別為D,E,F，求O 的半徑.變式一：由于切線長定理的運用是本節(jié)的難點，為了化解難點，在例題完成后，將例題加以變式訓練，將 RtABC變?yōu)橐话鉇BC.即：課本96頁知識技能第2題已知：如圖5，ABC的內(nèi)切圓O與BC，CA,AB分別相切于點 D，E，F(xiàn)，且AB=9cm,

14、BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長.OABDCEP變式二：在變式一完成后，將變式一再加以變式訓練，將切線AC平移到圓的另一側，即知識技能第1題例1、如圖，P是O外一點，PA與PB分別O切于A、B兩點，DE也是O的切線，切點為C，PA=PB=5cm，求PDE的周長.讓學生分析問題后，提出問題：1、從圖中可得出哪些結論？請說明理由.2、求PDE的周長時，應如何利用已知條件？提出引導問題的目的讓學生對所學的知識加以歸納，形成知識系統(tǒng)，問題2是解決本題的關鍵，可以引導學生尋找思路，請一學生板演完成此題，并讓學生進行題后小結. 活動目的：本環(huán)節(jié)利用由簡入深的變式，充分發(fā)揮學生的主體地

15、位，加深學生對本課內(nèi)容的學習與了解，加強數(shù)學思想的滲透力，從而提高學生自主建構知識網(wǎng)絡，分析、解決問題的能力，達到觸類旁通?。ǘ╈柟叹毩?.填空：如圖10，PA、PB分別與O相切于點A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO= （2）若PO=10，AO=6，則PB= ；（3）若PA=4，AO=3，則PO= ；PD= ；2.已知,如圖10，PA、PB分別與O相切于點A、B，PO與O相交于點D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.現(xiàn)在讓我們回到鍋蓋的半徑問題上，如何解決這個問題呢？3.為了測量一個圓形鍋蓋的半徑，某同學采用了如下辦法：將鍋蓋平放在水平桌面上，用一個銳角為30的三角板

16、和一個刻度尺，按圖中所示的方法得到相關數(shù)據(jù)，進而可求得鍋蓋的半徑，若測得PA=5cm，則鍋蓋的半徑長是多少？（引導學生連結OA、OB、OP，利用切線長定理解答）PABO活動目的：本環(huán)節(jié)加深了學生對知識的理解，讓學生體驗數(shù)學的嚴謹性，意在培養(yǎng)學生自主學習的習慣、自主探索、引導學生愛讀書敢質(zhì)疑、能自主建構切線長，并利用切線長定理解答問題，對本節(jié)知識進行鞏固練習.第四環(huán)節(jié) 梳理小結，盤點收獲活動內(nèi)容：1、你的學習心得、體會是什么？2、你有哪些好的經(jīng)驗可推廣？3、你還存在哪些困難、疑問？提醒學生注意由切線長可得到一個等腰三角形這一點和圓心的連線不但平分兩切線的夾角，還垂直平分兩切點間的線段讓學生自由提

17、問，同時也可利用這個機會，輔導有困難的學生，從而使每個學生都能達標.活動目的：為讓學生形成知識網(wǎng)絡，完善認知結構，小結時引導學生參與總結，在引導學生針對以上問題，反思自己學習過程. 第五環(huán)節(jié) 延伸思考，提升層次活動內(nèi)容：這節(jié)課我們所探索的有關切線長的知識是在給出圓的兩條切線的情況下得出的，那么要是圓的三條切線兩兩相交，又會有什么樣的結論呢？如果有四條切線呢？這些問題有待于我們課后去研究 . 活動目的：把數(shù)學的學習延伸到課外的探索和研究中去.第六環(huán)節(jié) 推薦作業(yè)，鞏固拓展活動內(nèi)容： A層：1.已知：如圖5，O是ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，（1）圖中共有幾對相等線段？（2）若AF=4，BD

18、=6，CE=8，則ABC的周長是 ；（3）若AB=9，BC=15，AC=12，則AF= ，BD= ，CE= .ABPDOEC 第2題圖2.如圖，PA、PB分別切O于A、B兩點，C是上任意一點，過C作O的切線，交PA及PB于D、E兩點，已知P=50，PA=PB=6cm，則DOE= ，PDE的周長是 .B層：1、如圖，過O外一點作O的切線PA、PB，A、B為切點，C為 上一點，設APB= .ABPCO 求證：ACB=.分析：本題主要運用切線的性質(zhì)和圓周角定理及四邊形的內(nèi)角和進行解答.2如圖，PA、PB切O于A、B，PO交AB于E，等式AE=BE；AO2=OEOP；OAB=APB；PA=PB中，成立

19、的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個活動目的： 分層作業(yè)，使“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展” 四、教學設計反思1要創(chuàng)造性的使用教材“數(shù)學課程標準”指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展的過程.”教師要引導學生主動參與數(shù)學活動，在有效的數(shù)學活動中體驗、感悟和理解數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，進而引發(fā)數(shù)學思考，構建數(shù)學模型，使數(shù)學課堂教學因活動而精彩.同時，新課程和教學改革提出了“用教材教而不是教教材”的新理念，這就要求教師在使用教材時要針對學生的學習情況對教材的處理有靈活性和自主性.教材只是為了達到課程目標而使用的教學

20、材料，并不是課程的全部.教材的優(yōu)點是標準、規(guī)范，但這種規(guī)范往往會約束教師的創(chuàng)造性，導致老師照本宣科地“教”教材，從而影響了學生對知識的理解和掌握.這就涉及老師自己要能靈活地駕馭教材.如何駕馭教材呢？ 本人對切線長定理及切線的拓展稍作加工處理，將教材設置轉(zhuǎn)化為三個活動情景，充分發(fā)揮學生的自主學習的主動性和探究性. 2相信學生并為學生提供充分展示自己的機會，讓學生自主體驗，自我發(fā)展，在學習過程中進一步體驗到學習數(shù)學知識的方法、探索知識形成過程樂趣和奧秘.本節(jié)課切線長定理的探索以三個學生動手操作作圖的活動為平臺，結合學生的自主探索和教師的啟發(fā)式提問，對所學有關切線性質(zhì)的基礎知識作簡單的遷移，師生以一

21、種平等民主的方式進行教與學的活動.在對話中，師生互相補充，互相促進，最終達到師生在具體情境中共同進步與發(fā)展.在這種活動情境中，學生樂于進行自我發(fā)現(xiàn)和反思，真正做到“吃一塹，長一智”.教師在整個活動過程只是參與者、指導者、合作者、設計者，幫助學生從具體的作圖中提煉有效圖形，建立數(shù)學模型.在學生有困難的情況下，采用互助式合作學習，培養(yǎng)其協(xié)作精神.另外通過層層遞進的提問與活動，在具體情境中發(fā)展學生的發(fā)散思維及創(chuàng)新能力，激發(fā)學習興趣，使學生真正體驗成功的快樂.在本堂課中，我立足于學生已有的切線的性質(zhì)與判定的知識和基本能力，通過設計三個學生活動操作情景，將切線的拓展與探究的問題拋給學生，全由學生自主實驗，觀察，猜測，發(fā)現(xiàn)，探究與驗證.在學生的自主探究、合作交流的過程中，有關切線的外延與內(nèi)涵知識一點一點地被學生挖出來，讓學生經(jīng)歷了觀察，操作，猜想，探究，發(fā)現(xiàn)和驗證過程，更為關鍵的是讓學生參與、經(jīng)歷了這個知識的發(fā)生，發(fā)展，形成過程以及知識的建構過程.這樣的知識將永遠存在學生的頭腦中，更為可貴的是給了學生學習知識，探究知識的思維方法與思維過程，讓學生在學習過程中進一步體驗到學習數(shù)學知識的