數(shù)字電子電路課程第1章

1、第1章 數(shù)制與編碼 第第1章章 數(shù)制與編碼數(shù)制與編碼 1.1 數(shù)制數(shù)制 1.2 編碼編碼 第1章 數(shù)制與編碼 1.1 數(shù)數(shù) 制制 1.1.1 進位計數(shù)制進位計數(shù)制 按進位的原則進行計數(shù)，稱為進位計數(shù)制。每一種進位計數(shù)制都有一組特定的數(shù)碼，例如十進制數(shù)有 10 個數(shù)碼， 二進制數(shù)只有兩個數(shù)碼，而十六進制數(shù)有 16 個數(shù)碼。 每種進位計數(shù)制中允許使用的數(shù)碼總數(shù)稱為基數(shù)或底數(shù)。 在任何一種進位計數(shù)制中，任何一個數(shù)都由整數(shù)和小數(shù)兩部分組成， 并且具有兩種書寫形式：位置記數(shù)法和多項式表示法。 第1章 數(shù)制與編碼 1. 十進制數(shù)十進制數(shù)(Decimal) 采用 10 個不同的數(shù)碼0、 1、 2、 、 9和

2、一個小數(shù)點(.)。 進位規(guī)則是“逢十進一”。 若干個數(shù)碼并列在一起可以表示一個十進制數(shù)。例如在435.86這個數(shù)中，小數(shù)點左邊第一位的5代表個位，它的數(shù)值為5； 小數(shù)點左邊第二位的 3 代表十位，它的數(shù)值為3101；左邊第三位的 4 代表百位，它的數(shù)值為4102；小數(shù)點右邊第一位的值為810-1；小數(shù)點右邊第二位的值為610-2。可見，數(shù)碼處于不同的位置，代表的數(shù)值是不同的。這里102、101、100、 10-1、10-2 稱為權或位權，即十進制數(shù)中各位的權是基數(shù) 10 的冪，各位數(shù)碼的值等于該數(shù)碼與權的乘積。因此有 第1章 數(shù)制與編碼 2101210610810510410486.435上式

3、左邊稱為位置記數(shù)法或并列表示法，右邊稱為多項式表示法或按權展開法。 一般，對于任何一個十進制數(shù)N， 都可以用位置記數(shù)法和多項式表示法寫為 1221100112211210121101010101010101010)(nmiiimmnnnnmnnaaaaaaaaaaaaaaaN第1章 數(shù)制與編碼 式中，n代表整數(shù)位數(shù)，m代表小數(shù)位數(shù)，ai(-min-1)表示第i位數(shù)碼，它可以是0、1、2、3、9 中的任意一個，10i為第i位數(shù)碼的權值。 上述十進制數(shù)的表示方法也可以推廣到任意進制數(shù)。對于一個基數(shù)為R(R2)的R進制計數(shù)制，數(shù)N可以寫為 1221100112211210121)(nmiiimmnn

4、nnmnnRRaRaRaRaRaRaRaRaaaaaaaaN式中，n代表整數(shù)位數(shù)，m代表小數(shù)位數(shù)，ai為第i位數(shù)碼，它可以是0、1、 、(R-1)個不同數(shù)碼中的任何一個，Ri為第i位數(shù)碼的權值。 (1-2)第1章 數(shù)制與編碼 2. 二進制數(shù)二進制數(shù) 二進制數(shù)的進位規(guī)則是“逢二進一”，其進位基數(shù)R=2， 每位數(shù)碼的取值只能是0或1，每位的權是2的冪。表1-1列出了二進制位數(shù)、權和十進制數(shù)的對應關系。 表1-1 2的冪與十進制值 第1章 數(shù)制與編碼 任何一個二進制數(shù)，根據(jù)式(1-2)可表示為 1221100112211210121222222222)(nmiiimmnnnnmnnaaaaaaaaa

5、aaaaaaN例如： 1032101232)375.11(21212021212021)011.1011(第1章 數(shù)制與編碼 可見，一個數(shù)若用二進制數(shù)表示要比相應的十進制數(shù)的位數(shù)長得多，但采用二進制數(shù)卻有以下優(yōu)點： 因為它只有0、1 兩個數(shù)碼，在數(shù)字電路中利用一個具有兩個穩(wěn)定狀態(tài)且能相互轉換的開關器件就可以表示一位二進制數(shù)，因此采用二進制數(shù)的電路容易實現(xiàn)， 且工作穩(wěn)定可靠。 算術運算規(guī)則簡單。二進制數(shù)的算術運算和十進制數(shù)的算術運算規(guī)則基本相同，惟一區(qū)別在于二進制數(shù)是“逢二進一”及“借一當二”，而不是“逢十進一”及“借一當十”。 第1章 數(shù)制與編碼 例如：例如： 第1章 數(shù)制與編碼 3. 八進制

6、數(shù)八進制數(shù)(Octal) 八進制數(shù)的進位規(guī)則是“逢八進一”，其基數(shù)R=8，采用的數(shù)碼是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的權是 8 的冪。 任何一個八進制數(shù)也可以根據(jù)式(1-2)表示為 188)(nmiiiaN例如： 1010128)5 .254(5 . 068764384868783)4 .376(第1章 數(shù)制與編碼 4. 十六進制數(shù)十六進制數(shù)(Hexadecimal) 十六進制數(shù)的特點是： 采用的 16 個數(shù)碼為0、 1、 2、 、 9、 A、 B、 C、 D、 E、 F。 符號AF分別代表十進制數(shù)的1015。 進位規(guī)則是“逢十六進一”，基數(shù)R=16，每位的權是16的冪。

7、 任何一個十六進制數(shù)， 也可以根據(jù)式(1-2)表示為 11616)(nmiiiaN102101216)0664.939(16116116111610163)113(AB例如： 第1章 數(shù)制與編碼 1.1.2 進位計數(shù)制之間的轉換進位計數(shù)制之間的轉換 1. 二進制數(shù)與十進制數(shù)之間的轉換二進制數(shù)與十進制數(shù)之間的轉換 1) 二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)按權展開法 二進制數(shù)轉換成十進制數(shù)時，只要將二進制數(shù)按式(1-3)展開，然后將各項數(shù)值按十進制數(shù)相加，便可得到等值的十進制數(shù)。 例如： 10211242)75.22(2121212121)11.10110( 同理，若將任意進制數(shù)轉換為十進制數(shù)，只需將數(shù)(N)

8、R寫成按權展開的多項式表示式，并按十進制規(guī)則進行運算， 便可求得相應的十進制數(shù)(N)10。 第1章 數(shù)制與編碼 2) 十進制數(shù)轉換成二進制數(shù) 整數(shù)轉換除2取余法。若將十進制整數(shù)(N)10轉換為二進制整數(shù)(N)2，則可以寫成 01011232110011221110222222222)(aQaaaaaaaaaNnnnnnnnn ）（如果將上式兩邊同除以2，所得的商為 )222(11232211aaaaQnnnn 余數(shù)就是a0。 第1章 數(shù)制與編碼 同理，這個商又可以寫成 1242311)22(2aaaaQnnnn 顯然，若將上式兩邊再同時除以2，則所得余數(shù)是a1。重復上述過程，直到商為0，就可得

9、二進制數(shù)的數(shù)碼a0、a1、an-1。 第1章 數(shù)制與編碼 例如，將(57)10轉換為二進制數(shù)： 第1章 數(shù)制與編碼 小數(shù)轉換乘2取整法。若將十進制小數(shù)(N)10轉換為二進制小數(shù)(N)2，則可以寫成 mmaaaN 222)(221110將上式兩邊同時乘以2， 便得到 )22()(2112110 mmaaaN令小數(shù)部分 112312)222(Faaamm 則上式可寫成 1110)(2FaN因此，2(N)10乘積的整數(shù)部分就是a-1。若將2(N)10乘積的小數(shù)部分F1再乘以2，則有 第1章 數(shù)制與編碼 )222(22241321 mmaaaaF所得乘積的整數(shù)部分就是a-2。顯然，重復上述過程，便可求

10、出二進制小數(shù)的各位數(shù)碼。 例如，將(0.724)10轉換成二進制小數(shù)。 第1章 數(shù)制與編碼 可見，小數(shù)部分乘2取整的過程，不一定能使最后乘積為0，因此轉換值存在誤差。通常在二進制小數(shù)的精度已達到預定的要求時，運算便可結束。 將一個帶有整數(shù)和小數(shù)的十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)時，必須將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別按除2取余法和乘2取整法進行轉換，然后再將兩者的轉換結果合并起來即可。 同理，若將十進制數(shù)轉換成任意R進制數(shù)(N)R，則整數(shù)部分轉換采用除R取余法；小數(shù)部分轉換采用乘R取整法。 第1章 數(shù)制與編碼 2. 二進制數(shù)與八進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的相互轉換二進制數(shù)與八進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的相互轉換 八進制

11、數(shù)和十六進制數(shù)的基數(shù)分別為8=23，16=24， 所以三位二進制數(shù)恰好相當一位八進制數(shù)，四位二進制數(shù)相當一位十六進制數(shù)， 它們之間的相互轉換是很方便的。 二進制數(shù)轉換成八進制數(shù)的方法是從小數(shù)點開始， 分別向左、向右，將二進制數(shù)按每三位一組分組(不足三位的補0)，然后寫出每一組等值的八進制數(shù)。 例如，求(01101111010.1011)2的等值八進制數(shù)： 第1章 數(shù)制與編碼 例如，求(01101111010.1011)2的等值八進制數(shù)： 二進制 001 101 111 010 . 101 100 八進制 1 5 7 2 . 5 4 所以 (01101111010.1011)2=(1572.54

12、) 8 二進制數(shù)轉換成十六進制數(shù)的方法和二進制數(shù)與八進制數(shù)的轉換相似，從小數(shù)點開始分別向左、向右將二進制數(shù)按每四位一組分組(不足四位補0)，然后寫出每一組等值的十六進制數(shù)。 第1章 數(shù)制與編碼 例如，將(1101101011.101)轉換為十六進制數(shù)： 00 11 01 10 10 11 . 10 103 6 B . A 所以 (1101101011.101)2=(36B.A)16 八進制數(shù)、十六進制數(shù)轉換為二進制數(shù)的方法可以采用與前面相反的步驟，即只要按原來順序將每一位八進制數(shù)(或十六進制數(shù))用相應的三位(或四位)二進制數(shù)代替即可。 例如，分別求出(375.46)8、(678.A5)16的等

13、值二進制數(shù)： 八進制 3 7 5 . 4 6 十六進制 6 7 8 . A 5 二進制 011 111 101 . 100 110 二進制 0110 0111 1000.1010 0101 所以 (375.46)8=(011111101.100110)2, (678.A5)16=(011001111000.10100101)2 第1章 數(shù)制與編碼 1.2 編編 碼碼 1.2.1 二二十進制編碼十進制編碼(BCD碼碼) 二十進制編碼是用四位二進制碼的10 種組合表示十進制數(shù)09，簡稱BCD碼(Binary Coded Decimal)。 這種編碼至少需要用四位二進制碼元，而四位二進制碼元可以有

14、16 種組合。當用這些組合表示十進制數(shù)09時， 有六種組合不用。由 16 種組合中選用 10 種組合，有 101016109 . 2)!1016(!16A第1章 數(shù)制與編碼 表 1-2 幾種常用的BCD碼 十進制數(shù) 8421碼 5421碼 2421碼 余 3 碼 BCD Gray碼 01234567890000000100100011010001010110011110001001000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110011010001010110011110001001

15、1010101111000000000100110010011001110101010011001000第1章 數(shù)制與編碼 1. 8421 BCD碼碼 8421 BCD碼是最基本和最常用的BCD碼， 它和四位自然二進制碼相似， 各位的權值為8、 4、 2、 1， 故稱為有權BCD碼。和四位自然二進制碼不同的是， 它只選用了四位二進制碼中前 10 組代碼，即用00001001分別代表它所對應的十進制數(shù)， 余下的六組代碼不用。 第1章 數(shù)制與編碼 2. 5421 BCD碼和碼和2421 BCD碼碼 5421 BCD碼和2421 BCD碼為有權BCD碼，它們從高位到低位的權值分別為5、 4、 2、

16、1和2、4、2、1。 這兩種有權BCD碼中，有的十進制數(shù)碼存在兩種加權方法，例如， 5421 BCD碼中的數(shù)碼5，既可以用1000表示，也可以用0101表示，2421 BCD碼中的數(shù)碼6，既可以用1100表示， 也可以用0110表示。這說明5421 BCD碼和2421 BCD碼的編碼方案都不是惟一的，表1-2只列出了一種編碼方案。 表1-2中2421 BCD碼的 10 個數(shù)碼中，0和9、1和8、2和7、3和6、 4和5的代碼的對應位恰好一個是0時，另一個就是1。我們稱0和9、1和8互為反碼。因此2421 BCD碼具有對9互補的特點，它是一種對9的自補代碼(即只要對某一組代碼各位取反就可以得到9

17、的補碼)，在運算電路中使用比較方便。 第1章 數(shù)制與編碼 3. 余余3 碼碼 余 3 碼是8421 BCD碼的每個碼組加3 (0011)形成的。 余 3 碼也具有對 9 互補的特點，即它也是一種 9 的自補碼，所以也常用于BCD碼的運算電路中。 用BCD碼可以方便地表示多位十進制數(shù)，例如十進制數(shù)(579.8)10可以分別用8421 BCD碼、余 3 碼表示為 碼余碼3842110)1011.110010101000()1000.100101110101()8 .579(BCD第1章 數(shù)制與編碼 1.2.2 可靠性編碼可靠性編碼 1. Gray碼碼(格雷碼格雷碼) Gray碼也稱循環(huán)碼，其最基本

18、的特性是任何相鄰的兩組代碼中，僅有一位數(shù)碼不同，因而又叫單位距離碼。 Gray碼的編碼方案有多種，典型的Gray碼如表1-3所示。從表中看出，這種代碼除了具有單位距離碼的特點外，還有一個特點就是具有反射特性，即按表中所示的對稱軸為界，除最高位互補反射外，其余低位數(shù)沿對稱軸鏡像對稱。利用這一反射特性可以方便地構成位數(shù)不同的Gray碼。 第1章 數(shù)制與編碼 Gray碼的單位距離特性有很重要的意義。假如兩個相鄰的十進制數(shù) 13 和 14， 相應的二進制碼為1101和1110。在用二進制數(shù)作加 1 計數(shù)時，如果從 13 變 14， 二進制碼的最低兩位都要改變， 但實際上兩位改變不可能完全同時發(fā)生， 若最低位先置0， 然后次低位再置1，則中間會出現(xiàn)110111001110， 即出現(xiàn)暫短的誤碼1100，而Gray碼因只有一位變化，因而杜絕了出現(xiàn)這種錯誤的可能。 BCD Gray碼是一種具有單位距離特性的B