2015恒星結(jié)構(gòu)與演化2021

1、第2部分恒星物理狀態(tài)方程輻射傳能第2部分恒星物理對(duì)流傳能核過程與輻射、熱傳導(dǎo)傳能相比，對(duì)流傳能很不一樣，存在有物質(zhì)的整體運(yùn)動(dòng)。3湍動(dòng)對(duì)流的統(tǒng)計(jì)理論對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論對(duì)流超射區(qū)和半對(duì)流流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性對(duì)流發(fā)生的熵判據(jù)對(duì)流和對(duì)流傳能æöd ln T1< çç1-d ln PG÷÷不出現(xiàn)對(duì)流，輻射平衡èø2æöd ln T1> çç1-d ln PG÷ø出現(xiàn)對(duì)流è24久期不穩(wěn)定性熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性輻射平衡區(qū)的絕熱振蕩流體元的

2、振動(dòng)不穩(wěn)定性？在動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的流體區(qū)域中，運(yùn)動(dòng)的流體元將受浮力或重力(形成回復(fù)力)推回平衡位置，于是在平衡位置附近上下來回振動(dòng)。 （Gravity Waves）求振動(dòng)頻率假定：流體元從平衡位置向外移動(dòng)了Dr，在新位置 上其密度比周圍介質(zhì)高出Dr 可寫 為Dr= Dre - Drs有近似éæadP öùæ d dT öæadP öæ d dT öæ jdmö= rêç P- ç T- ç P+ ç T- ç m dr&#

3、250; ×Drdr ÷dr ÷dr ÷dr ÷÷ëèøeèøeèøsèøsèøs ûdr ö-1éùæjd ln möæd ln T öæd ln T öæ= rê- çdd ln P ÷+ çdd ln P ÷- ç 1 d ln P ÷

4、0; ×Dr ×ç -P dP ÷èøeèøsèøs ûèøë= rdjÑe - Ñ + dÑmDrHP6Hº -dr= -P drpd ln PdPd ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m輻射平衡區(qū)的絕熱振蕩(Oscillation of a Displaced element)體積的上的浮力(向上為正)度。顯然此密度差將導(dǎo)致浮力，如每Kr

5、 = -g Dr ，它使流體元獲得gdj¶2 (Dr) =éùKrr = - HêëÑe- Ñ + d Ñm úû Dr¶t 2P假定:流體元在動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)做絕熱運(yùn)動(dòng)。 絕熱即Ñe = Ñad 。 動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定，有Dr / Dr 0，此 流元的度方向始終指向平衡位置，等效為回復(fù)力。7Dr = rd Ñ- Ñ + j Ñ Dr HedmP否則能量損失（吸收）會(huì)有振蕩形式的解，iwtDr = Dr0e,其中絕熱振蕩頻率，w = wad，

6、稱為布倫特-韋伊塞拉頻率(Brunt-Väisälä frequency) ，為= gd æjdöwçÑad- Ñ +Ñ2÷madHèøP相應(yīng)的振蕩周期為Tad = 2p / wad ，在對(duì)恒星非徑向振蕩的研究中 起著很重要的作用。g-mode: Gravity (g) modes, driven by buoyancy8如果wad 為純虛數(shù)，則給出Ledoux判據(jù)，即存在有 發(fā)散項(xiàng),振幅不斷地放大,不穩(wěn)定。¶2 (Dr) = - gd éÑ -

7、 Ñ + j Ñ ùD¶t 2Hêëedm úûrP重力波，英文名：gravity waves，屬于流體力學(xué)領(lǐng)域，是在液體介質(zhì)內(nèi)或兩種介質(zhì)界面間（例如大氣與海洋間）的一種波，其恢復(fù)力來自于重力或浮力。當(dāng)一小團(tuán)液體離開液面（界面類型）或者在液體 中到了一個(gè)液體密度不同之區(qū)域（液體內(nèi)類型）， 透過重力作用，這團(tuán)液體會(huì)以波動(dòng)形式在平衡態(tài) 之間擺蕩。在液體介質(zhì)內(nèi)的類型又稱為內(nèi)波，在 兩界面間的類型又稱為表面重力波或表面波。引力波，英文：gravitational wave，屬于天體物理學(xué)領(lǐng)域，是廣義相對(duì)論的一個(gè)現(xiàn)象Oxfo

8、rd University PressGravitational Waves Volume 1 Theory and ExperimentsGravitational Waves, Volume 2 Astrophysics andCosmology重力波引力波ÑeNon-adiabaticæ1 öd ln T< çç1-d ln PG÷÷不出現(xiàn)對(duì)流，輻射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出現(xiàn)對(duì)流è2 ø10久

9、期不穩(wěn)定性熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性輻射平衡區(qū)的絕熱振蕩w2 = gdæ Ñ- Ñ + föadHçadÑm ÷P èdø流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性能量損失（吸收）會(huì)ÑeÑad 在動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，流體元的振蕩運(yùn)動(dòng)并非完全絕熱。 振蕩的流體元的溫度與周圍介質(zhì)不相同（DT0）。如DT0，則由輻射或熱傳導(dǎo)將熱量散失到周圍介質(zhì)中；如 DT 0，將從周圍介質(zhì)獲得熱量。 令此過程相對(duì)于絕熱過程的偏離非常小，當(dāng)流體元的熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)遠(yuǎn)大于振蕩周期時(shí)(星體內(nèi)溫度梯度不太大時(shí)，此假設(shè)成立) 。流體元和周圍介質(zhì)

10、的溫度差為DT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = -T(Ñ-Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úeëèøeèøs ûHP注意:動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定要求, Dr / Dr 0，即須滿足。條件必11 分析溫度差對(duì)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響Ñ < Ñ + j ÑedmHº -dr= -P drpd ln PdP非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性(Vibrational Sta

11、bility)Ñm= 0 ，則動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定條件變?yōu)?#216;Ñe - Ñ > 0 。 對(duì)Dr 0 ，有DT 0。即流體元從平衡位置向外運(yùn)動(dòng) 時(shí)，它比周圍介質(zhì)冷一些，于是通過輻射或熱傳導(dǎo)從介質(zhì)吸收能量，從而降低Ñe - Ñ 值，使得Dr值降低 。因而使得回復(fù)力或重力差相對(duì)于絕熱情況減小，使得拉著流體元返回平衡位置的度要比絕熱振蕩時(shí)小一些。 流體元振蕩的振幅緩慢地衰減。 顯然上述輻射阻尼效應(yīng)表明其解w中應(yīng)包含了一個(gè)很小的正虛部使振蕩衰減，而振蕩部分即w的實(shí)部仍然非常接近于絕熱的Brunt-Väisälä 頻率。1

12、2iwtDr = Dr0e如果化學(xué)成分均勻，DT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûPD r = rd Ñ -Ñ + j Ñ Dr > 0HedmP 分析溫度差對(duì)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響， Ñm ¹ 0，則有兩種情況。Ø 如1） Ñe - &

13、#209; > 0 ， 穩(wěn)定條件也成立，即史瓦西判據(jù)和Ledoux判據(jù)同時(shí)滿足?？梢?，對(duì)于Dr 0 情況，有 DT 0 ，情形與絕熱過程類似，流體元的振蕩會(huì)因輻射阻尼而衰減。2） Ñe - Ñ 0 ，但對(duì)足夠大的Ñm ，（ Ñ < Ñe + d Ñm ）式成立，即滿足Ledoux判據(jù)，在動(dòng)力學(xué)上是穩(wěn)定的。這個(gè)流體元(氣泡)會(huì)在重力作用下在恢復(fù)原來位置的過程中作上下振蕩運(yùn)動(dòng)。 但對(duì)Dr 0 有DT >0 ，即上升的流體元比路 途中周圍介質(zhì)要熱，它將通過輻射或熱傳導(dǎo)失去過多的熱 量，以使它的溫度趨向接近介質(zhì)溫度，即使得&

14、#209;e - Ñ 負(fù)得少一些，即Ñe - Ñ的代數(shù)值增加， 相應(yīng)的 Dr 也增加，使回復(fù)力或重力差增強(qiáng)。這時(shí)流體元的振幅將緩慢地增長(zhǎng)，將導(dǎo)致振蕩的不穩(wěn)定，稱為振動(dòng)不穩(wěn)定性 。j13Ñ < Ñ + j Ñedm果化學(xué)成分不均勻Ñ < Ñ + j ÑedmDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T (Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ 

15、50;Heëèøeèøs ûPDr = rd Ñ -Ñ + j Ñ Dr > 0HedmP 如何區(qū)分動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性和振蕩穩(wěn)定性？前者適應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)質(zhì)元的純粹的絕熱行為，而后者則是考慮熱交換后的結(jié)果。一個(gè)流體層，如果它的溫度梯度使得Ledoux判據(jù)滿足，但史瓦西判據(jù)則不滿足，即jÑad< Ñ < Ñad + d Ñm ,前面分析結(jié)論則它在動(dòng)力學(xué)上是穩(wěn)定的，但振動(dòng)不穩(wěn)定的。w= - gdÑ H2令Ñ= 0， Ñ <<

16、; Ñ ，于是有而adPmedÑ = d ln r d ln Td ln T d ln P = d ln r d ln P 1 G1于是動(dòng)力學(xué)時(shí)標(biāo)為14t (- w2 )-1 2 (Hg )1 2dadPw 2= gd æÑ- Ñ + j ÑöadHçaddm ÷P èø動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定性增長(zhǎng)的時(shí)標(biāo)為t (H/ g)1/ 2略！dPÑ < ÑadÑ < Ñ+ j Ñaddmæ1 öd ln T< 

17、31;ç1-d ln PG÷÷不出現(xiàn)對(duì)流，輻射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出現(xiàn)對(duì)流è2 ø15久期不穩(wěn)定性熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性輻射平衡區(qū)的絕熱振蕩流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性討論DT 0 的流體元向介質(zhì)輻射能量的過程?？疾椋篈 spherical bubble of volume V and diameter d with an average excess T with respect to the surrounding16熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)(The T

18、hermal Adjustment Time)完成Stellar Structure and Evolution p55 就局部而言，該流體元將它過剩的能量輻射到周圍的介質(zhì)中，可令局部輻射流量為 f （不一定沿星體徑向，但將它們迭加在一起，可以給出恒星從內(nèi)向外轉(zhuǎn)移的徑向輻射總流量F）。因流體元同周圍介質(zhì)存在有溫度差，從流體元輻射出來的輻射流量為4acT 33kr¶Tf =,¶n其中¶T/¶n 為沿流體元表面的法向 導(dǎo)數(shù)。 流體元取近似：直徑為d的球形氣泡。則沿其法向方向的溫度梯度： ¶T/¶n » 2 DT / d。泡表面(

19、面積S) 總的輻射走的能量于是時(shí)間內(nèi)通8acT 3SLe = S × f »DTd3kr17F = - 4ac T 3 dT3krdr完成Le 是氣泡的“光度”，決定了體積為V 的氣泡的熱能散失的速率，即¶TdQ= rVcP e ¶t= -Ledt因相對(duì)流體元而言，周圍介質(zhì)非常大，流體元輻射出來的能量不足以改變介質(zhì)的溫度。可用 ¶(DT)/¶t來代替¶(Te)/¶t 。對(duì)于直徑為d 的球，顯然有V / S d / 6 ，于是¶(DT )8acT 33krL1rVcPSdDTtadj= -e= -º

20、; -DTrVcP¶t其中rVc DTkr2cd 2d 2流體元過多的熱量t=p=pº=tadjKH16acT 3L6 K流體元的光度e為熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)，等價(jià)于恒星的Kelvin-Helmholtz時(shí)標(biāo)th。ermal diffusivity對(duì)于遠(yuǎn)離邊緣穩(wěn)定性區(qū)域的充分大的流體元來說，adj1/ad(流體元振蕩周期)。這說明， 流體元通過輻射損失能量的速率相當(dāng)慢，相對(duì)絕熱振蕩的偏離非常小。18t (- w2 )-1 2 (Hg )1 2dadP8acT 3S Le = S × f »3kr DT d完成æ1 öd ln T< 

21、31;ç1-d ln PG÷÷不出現(xiàn)對(duì)流，輻射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出現(xiàn)對(duì)流è2 ø19久期不穩(wěn)定性熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性輻射平衡區(qū)的絕熱振蕩流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性Salt-Finger (or Doubly-Diffusive) Instability恒星內(nèi)部 off-center helium burningin stars the core of a core-collapsesupernova久期不穩(wěn)定性（Secular insta

22、bility or Thermal instability）在超可能會(huì)出現(xiàn)稱為neutron-finger不穩(wěn)定性。引起對(duì)流將子大量帶走中微16 AUGUST 2002 VOL 297 SCIENCE21完成！Salt-finger(鹽指)不穩(wěn)定性（secular instability）在一個(gè)裝有冷水的杯中緩慢注入熱的鹽水。在鹽水冷卻前，它的熱性質(zhì)足以抵消它同水的比重差。因而上層的熱鹽水和下層的冷水之間可以暫時(shí)處于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定狀態(tài) (若將熱鹽水珠向下略微推動(dòng)，浮力仍會(huì)將這鹽水珠推回表層)。但經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間，鹽水冷卻后，會(huì)出現(xiàn)流體動(dòng)力學(xué)中的Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性，即任何微小的擾動(dòng)

23、都會(huì)引起上層比重較大的液體很快(通過許多微小“水泡”)向下沉，而將比重輕的液體翻轉(zhuǎn)到上層。這種熱的鹽水涌進(jìn)杯中冷水的不穩(wěn)定性稱為久期不穩(wěn)定性或熱不穩(wěn)定性 。22久期不穩(wěn)定性（Secular instability or Thermal instability）假設(shè)恒星內(nèi)部相鄰的內(nèi)、外兩層。每層的化學(xué)成分均勻， 即Ñm= 0，但兩層的化學(xué)成分不同，而且外層物質(zhì)平均分子量大于內(nèi)層?？紤]流體內(nèi)一個(gè)氣泡，在內(nèi)、外邊界層附近產(chǎn)生，從外向內(nèi)（擾動(dòng)）運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，氣泡內(nèi)和新位置處的介質(zhì)的化學(xué)成分不同，即 Du 0 。同時(shí)假定流體元周周圍介質(zhì)處于力學(xué)平衡，即DP = Dr = 0。由d ln r =

24、a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m23對(duì)此問題的分析請(qǐng)參見Kippenhahn 書的P44-45頁(yè)內(nèi)容。簡(jiǎn)單圖象知流體元同新的周圍介質(zhì)的溫度必定不同，DT = j DmdmT若Du 0 (流體元平均量大)，則氣泡比介質(zhì)熱，要向周圍介質(zhì)輻射多余的能量。平衡（DP = 0）的條件下，損失能量將導(dǎo)致氣泡收在sinkmoredensity縮，增加密度，進(jìn)一步下沉，直到又達(dá)到力學(xué)平衡Dr = 0。因 Du 保持不變，上式始終成立，于是仍有上過程將不斷地繼續(xù)下去，氣泡會(huì)一直緩慢反之，若Du 0，則氣泡就不斷的上浮。DT> 0，以沉。24

25、簡(jiǎn)單圖象Q rjQ riQ r0d ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln mvu估算氣泡的運(yùn)動(dòng)速度vu由于存在輻射，氣體溫度的變化率為：-DT / tadj ，其中tadj 為對(duì)流元與周圍介質(zhì)之間的熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)rVc DTkr 2cd 2流體元過多的熱量t t=p=p=adjKH16acT 3L流體元的光度e即便不存在能量變換，當(dāng)氣泡上（下）運(yùn)動(dòng)時(shí)，熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)也在改變。因?yàn)閴簭?qiáng)的改變將引起氣泡絕熱壓縮（或膨脹）。DT 的變化率直接可以寫為æ¶1nPDT ö¶ (DT ) = ç

26、;Ñad¶1nP¶t1¶t- Tt÷÷ - ÑT ¶tèøadj而壓強(qiáng)的變化率為¶1nP = 1 ¶p = 1 dp dr = -vu¶tP ¶tP dr dtHP其中vu為氣泡的運(yùn)動(dòng)速度 。25略！稍復(fù)雜點(diǎn)Q r0注意 (流體元與周周圍介質(zhì)處于力學(xué)平衡: DP = Dr = 0)DT = j DmdmT因Du 保持不變，于是有 ¶(DT) / ¶t = 0 ，聯(lián)立æö1 ¶¶1nP¶1

27、nPDTTt adj(DT ) = çÑad÷ - Ñ-= 0ç÷T ¶t¶t¶tèø¶1nP¶t= - vuHP可得氣泡的運(yùn)動(dòng)速度在熱不穩(wěn)定情形，氣泡因輻射損失熱量而下沉（Du 0， 有 vu 0 ）穿過動(dòng)力學(xué)上穩(wěn)定的介質(zhì)（Ñad Ñ ），時(shí)標(biāo)為熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)tadj 。26略！v= -Hpj Duu(Ñ- Ñ) ×tduadadj¶1nP = 1 ¶p = 1 dp dr = - vu¶

28、tP ¶tP dr dtHP1 ¶æ¶1nPDT ö¶1nP(DT ) = çÑad-÷ - ÑT ¶tç¶tTt adj ÷¶tèø在恒星演化晚期，會(huì)出現(xiàn)類似的不穩(wěn)定性如：質(zhì)量為1M左右的恒星，在其經(jīng)基本上全部轉(zhuǎn)變?yōu)楹?。區(qū)域氫燃燒結(jié)束后，氫已 由于中微子出射，導(dǎo)致區(qū)冷卻，使得恒星內(nèi)部溫度最高點(diǎn)并不在恒星的中心，而是在中心以外的某個(gè)殼層. 從這一殼層向內(nèi)和向外，溫度都逐漸降低。于是在現(xiàn)象。區(qū)域出現(xiàn)溫度反轉(zhuǎn) 一旦，在溫度最高的殼

29、層內(nèi)點(diǎn)燃氦燃燒（3a反應(yīng)）。則反 應(yīng)的12C（以及隨之而來的16O等核素）將在中心以外的燃燒區(qū)，因溫度高，整個(gè)區(qū)域仍處于輻射平衡狀態(tài)即動(dòng)力學(xué)上穩(wěn)定的狀態(tài)。 但這個(gè)C、O豐富的殼層內(nèi)物質(zhì)的平均量將高于內(nèi)部區(qū)，并且比核心區(qū)要熱，于是就會(huì)出現(xiàn)前面所說的熱不穩(wěn)定性。略！æ1 öd ln T< çç1-d ln PG÷÷不出現(xiàn)對(duì)流，輻射平衡è2 øæ1 öd ln T> ç1-d ln PG÷出現(xiàn)對(duì)流è2 ø28久期不穩(wěn)定性熱調(diào)節(jié)時(shí)標(biāo)非絕熱振動(dòng)不穩(wěn)定性輻

30、射平衡區(qū)的絕熱振蕩流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性與輻射、熱傳導(dǎo)傳能相比，對(duì)流傳能很不一樣存在有物質(zhì)的整體運(yùn)動(dòng)。29湍動(dòng)對(duì)流的統(tǒng)計(jì)理論對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論對(duì)流超射區(qū)和半對(duì)流流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性對(duì)流發(fā)生的熵判據(jù)對(duì)流和對(duì)流傳能在恒星晚期演化和超對(duì)流出現(xiàn)的熵判據(jù)。的研究中，人們經(jīng)常使用30對(duì)流不穩(wěn)定的Ledoux判據(jù)Schwarzschild對(duì)流發(fā)生的條件：熵判據(jù)對(duì)流發(fā)生的熵判據(jù)當(dāng)某一流體元（氣泡）相對(duì)于周圍介質(zhì)從r0處向外（向上）運(yùn)動(dòng)了dr時(shí)。1)強(qiáng)相等； 2)假如果上升過程比較緩慢（亞聲速），可以認(rèn)為流體元定流體元與周圍介質(zhì)之間不存在熱交換（溫差小），流體元內(nèi)部可以近似做絕熱過程處理； 3)假定化學(xué)成分均勻

31、。物理量的改變= æ ¶T ödP drDTç ¶P ÷eèøSdr= æ ¶T ödP dr + æ ¶T ödS drDTç ¶P ÷ç ¶S ÷sèøSdrèøPdr= æ ¶r ödP drDrç ¶P ÷eèøSdr= æ ¶r ödP d

32、r + æ ¶r ödS drDrç ¶P ÷ç ¶S ÷/ drsèøSdrèøPdr 對(duì)流不穩(wěn)定的條件為Dre < Drsr = r (P , S , m)T = T (P , S, m)推導(dǎo)流體元將受到浮力，更進(jìn)一步偏離初始位置。此條件即æ ¶r ödS> 0ç÷è ¶S øP dr可證明（完成）æ ¶r ö= - r 2T Ñ&

33、#231; ¶S ÷adèøPP對(duì)于穩(wěn)定的星體有，Ñad > 0 ，于是對(duì)流不穩(wěn)定性出現(xiàn)的條 件為天體內(nèi)部存在有負(fù)熵梯度。Schwarzschild criterion因取了絕熱近似，以上條件僅僅是必要條件，不是充分條件。 From star formation to the final remnants, the 課后請(qǐng)分析: 如果考慮熱傳導(dǎo)和粘滯的貢獻(xiàn)，對(duì)對(duì)流不穩(wěn)定性有何影響?whole stellar evolution tends to remove entropy from the interior of stars to pu

34、t it in the surrounding Universe32dS < 0drBe careful ！Dre =Dr =+ æ ¶r ödS drsç ¶S ÷drèøPDre < Drsæ ¶r ödP drç ¶P ÷drèøSæ ¶r ödP drç ¶P ÷drèøSLord RayleighRcr由系統(tǒng)的幾何性質(zhì)以及邊界條件決定.

35、bT = D(ÑT ) = - T dSc p dr33完成Rayleigh(1916)給出了，對(duì)流不穩(wěn)定性出現(xiàn)的更一般的判據(jù)g ×a× b × h43R =TT> Rcr » 10kTng為引力度，h為厚度(尺度)，aT = - (¶ln r / ¶T)P 為熱膨脹系數(shù)，bT = (¶T / ¶r)S - (dT / dr) = D(ÑT)為溫度梯度相對(duì)于絕熱溫度梯度的超出，kT = le / r cP 為溫度擴(kuò)散系數(shù)， le 為熱傳導(dǎo)系數(shù)，n = h / r ，其中h為粘滯系數(shù)。Ray

36、leigh criterion for convection3)如果化學(xué)成分不均勻(介質(zhì))，物理量的改變= æ ¶r ödP dr + æ ¶r ödS dr + æ ¶r ödu drDrç ¶P ÷ç ¶S ÷ç ¶u ÷sèøS ,udrèøP,udrèøP,Sdr于是對(duì)流不穩(wěn)定性出現(xiàn)的條件為L(zhǎng)edoux criterion注意: 通常(¶S

37、 / ¶m)r,P > 0, 如果平均量d/dr > 0,將有利于輻射平衡(常出現(xiàn)在大質(zhì)量恒星氫燃燒區(qū)域). 但如出現(xiàn)平均量向外增加(出現(xiàn)反轉(zhuǎn)現(xiàn)象),即使Schwarzschild判據(jù)下 dS/dr > 0, 只要d/dr 足夠大, 仍出現(xiàn)對(duì)流. Ledoux對(duì)流34Homework（選做）：請(qǐng)證明上面的判據(jù)與Ñ> Ñ+ j Ñradaddm等價(jià)。dS - æ ¶S ödu < 0drç ¶u ÷drèør ,PDr = æ ¶

38、;r ödP dreç ¶P ÷drèøSr = r (P , S , m)b is positive35dS - æ ¶S ödu < 0drç ¶u ÷drèør ,P與輻射、熱傳導(dǎo)傳能相比，對(duì)流傳能很不一樣存在有物質(zhì)的整體運(yùn)動(dòng)。36湍動(dòng)對(duì)流的統(tǒng)計(jì)理論對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論對(duì)流超射區(qū)和半對(duì)流流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性對(duì)流發(fā)生的熵判據(jù)對(duì)流和對(duì)流傳能與輻射、熱傳導(dǎo)傳能相比，對(duì)流傳能很不一樣存在有物質(zhì)的整體運(yùn)動(dòng)。37湍動(dòng)對(duì)流的統(tǒng)計(jì)理論對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論對(duì)流超

39、射區(qū)和半對(duì)流流體元的振動(dòng)不穩(wěn)定性對(duì)流發(fā)生的熵判據(jù)對(duì)流和對(duì)流傳能38進(jìn)一步補(bǔ)充完成 Mixing-Length Theory 39 對(duì)生的條件！具體來看對(duì)流傳能！40討論logW-logU圖極限情形混合長(zhǎng)方程的解對(duì)流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長(zhǎng)理論的基本方程組Fcon的表達(dá)式混合長(zhǎng)理論的基本圖象對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論kinematic viscositycharacteristic dimension U is the mean velocity of the fluid (SI units: m/s).= U / cs燃燒 convection remains a wea

40、k point in the theory of stellar evolution.41 在動(dòng)力學(xué)不穩(wěn)定的區(qū)域，溫度不同的物質(zhì)層之間，宏觀上相互交換流體元（或氣泡）：熱氣泡向上，冷氣泡下沉。運(yùn)動(dòng)的流體元最后總會(huì)在它的新環(huán)境下，與周圍物質(zhì)完全混合，以此來傳遞它過多的熱量或者從周圍介質(zhì)吸取它不足的熱量。此過程總效果就使得能量通過物質(zhì)對(duì)流的方式從內(nèi)部的高溫區(qū)流向外層的低溫度，這就稱為對(duì)流傳能。 嚴(yán)格處理對(duì)流和對(duì)流傳能非常。因?yàn)樾求w內(nèi)物質(zhì)處于高度可壓縮的氣體狀態(tài)中，湍流運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)移著巨大的能量。對(duì)湍流的本質(zhì)及其規(guī)律仍未很好的了解?；旌祥L(zhǎng)度 convection remains a weak point

41、in the theory of stellar evolution.42難， 弱點(diǎn)基本圖像混合長(zhǎng)(mixing-length)理論的基本圖象 對(duì)流理論，星風(fēng)損失質(zhì)量和熱核反應(yīng)率的不確定是影響。(也有提旋轉(zhuǎn))恒星演化理論研究的三大 計(jì)算恒星內(nèi)部結(jié)構(gòu)和演化的對(duì)流理論很多，可分為兩大類：一種為混合長(zhǎng)理論，另一種為湍動(dòng)對(duì)流的統(tǒng)計(jì)理論。 混合長(zhǎng)理論由Prandtl （普蘭特）在1925年提出，“only a rough approximation” ，后由Biermann首先應(yīng)用于恒星的研究，再經(jīng)Vitens(1958)等人加以發(fā)展。 混合長(zhǎng)理論的實(shí)質(zhì)：完全類比于氣體的熱量轉(zhuǎn)移的方式而引入的一個(gè)簡(jiǎn)明的

42、對(duì)流圖象。不過，此時(shí)能量傳遞的基元不是，而是宏觀的質(zhì)元，其平均自由程稱為“混合長(zhǎng)度”（Mixing-Length），即對(duì)流元經(jīng)過這個(gè)特征尺度后就在其新的周圍介質(zhì)中混合。與周圍介質(zhì)完全43理論的實(shí)質(zhì)Convection is a very complex process for which we dont yet have a good theoretical m 混合的特征尺度： lm 混合長(zhǎng)度，無法從理論本身求出，僅作為可調(diào)的自由參量（與壓強(qiáng)標(biāo)高有關(guān)，lm = a Hp , a 1）。用得多的是簡(jiǎn)單的定常、局部混合長(zhǎng)理論，其基本前提：所討論的恒星處于流體動(dòng)力學(xué)平衡之中，而且對(duì)流區(qū)域和對(duì)流整體

43、圖象與時(shí)間無關(guān)（即定常）。 如果恒星內(nèi)部某位置發(fā)出的整個(gè)光度完全通過輻射(含熱傳導(dǎo))向外轉(zhuǎn)移，則恒星內(nèi)部將會(huì)維持一種輻射溫度梯度 Ñrad，其表達(dá)式為但如果對(duì)流也參與傳遞能量，則真實(shí)的溫度梯度 Ñ 比Ñrad 小 。 具體來計(jì)算 ÑÑ=3k l(r) Prad16pacGmT 4L(r) = F= - 4ac T 3 dT4p r 2rad3krdrdP =- Gm(r) rdrr2置處的總能流 Ftot = l / 4pr2，應(yīng) 為 在星體內(nèi)部某給F= F+ Ftotradcon其中Frad為輻射(含熱傳導(dǎo))輸送的能流，F(xiàn)con為對(duì)流輸送的能

44、流，而輻射溫度梯度的定義Ñrad為：4acG T 4mFrad + Fcon= l / 4pr=Ñrad23kP r2 真正地由輻射傳輸?shù)哪芰鲬?yīng)為4acG T 4m=srad Ñ =ÑFrad3kP r2其中Ñ （真實(shí)的溫度梯度）未知，要計(jì)算它。45 應(yīng)先給出Fcon的表達(dá)式需要求出Ñ=3klP rad16pacG mT 46稍微瑣碎討論logW-logU圖極限情形混合長(zhǎng)方程的解對(duì)流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟混合長(zhǎng)理論的基本方程組Fcon的表達(dá)式混合長(zhǎng)理論的基本圖象對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論7稍微瑣碎 設(shè)對(duì)流元在開始運(yùn)動(dòng)

45、時(shí)，僅僅是小擾，在初值近似有DT0 = 0，v0 = 0。 對(duì)流元與周圍環(huán)境之間存在溫度差別，受到浮力的作用，隨著對(duì)流元的上升(或下沉)，DT 和運(yùn)動(dòng)速度 v 在不斷地增加，直到經(jīng)過一段距離 lm 后，這個(gè)對(duì)流元同周圍介性質(zhì)。lm稱質(zhì)混合并失去它的為混合長(zhǎng)度(the mixing length)。Schematic illustration of a mixing-length approximation for convective motion. The mixing length m determines the vertical distance scale over which ri

46、sing and falling blobs move before merging with the surrounding medium.8Ñe< ÑFcon的表達(dá)式 在某時(shí)刻，通過半徑為 r 的某球面的各個(gè)流體元可以有不同的 v 和 DT，這源于它們可能是從不同的位置(從零到lm)開始運(yùn)動(dòng)。 設(shè)想一個(gè)“平均”的對(duì)流元，當(dāng)它通過該球面時(shí)，已經(jīng)運(yùn)動(dòng)了距離lm / 2，考慮到則有 the T excess1¶(DT )æöéùûúDTl=×mç÷T ë

47、4;¶rèTø2) lm1= (Ñ - Ñe2 HP¶1nP = 1 ¶p= 1 dp= - 1 ¶rP ¶rPdrHPDT = éæ dT ö -æ dT ö ùDr = - T(Ñ -Ñ)Drêç dr ÷ç dr ÷ úHeëèøeèøs ûP （現(xiàn)有的理論）假設(shè)這個(gè)流體元在定壓條件下將熱量出來。 照前

48、面分析，流體元在路途中輻射損失的能量幾乎可以忽略（絕熱）， 只是運(yùn)動(dòng)到對(duì)流條件不再成立的位置的熱量以后逐漸，最后與周圍介質(zhì)混合，消失時(shí)，才把熱量出來。的熱量主要是由流體元與周圍介質(zhì)溫差 DT 造成，的熱量為 DP = 0ÑQ = cp DT 1/adadjæ DT ö = (Ñ - Ñ ) lm1ç T÷e2 HèøP 設(shè)流體元經(jīng)過這段路程的平均速度為 v流為(注意，溫差DT也應(yīng)取平均值)，則傳遞的能量= rvcp DTFcon質(zhì)量流體的能量元ÑQ = c DTprv物質(zhì)流v51對(duì)流傳輸?shù)哪芰鞔?/p>

49、小與流體元的平均速度 v有關(guān)。： 質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)是受到浮力作用，使其上升。體積流體元所受浮力為，f = -g Dr ，其中g(shù) = G m / r2為局部 的重力元運(yùn)動(dòng)的起始位置，內(nèi)外物質(zhì)密度相同，而經(jīng)過距離內(nèi)、外物質(zhì)密度差為度。在流體lm 后，流體元éæ d r ö-æ d r ö ù = léæ d r ö-æ d r öùDr = lm êç dr ÷ç dr ÷ úm êç dr ÷&

50、#231; dr ÷úëèøeèøs ûëèøadèøû 如果化學(xué)物質(zhì)均勻（對(duì)流區(qū)，D = 0），另外始終處于與外界壓強(qiáng)平衡狀態(tài) DP = 0，有æ Dr öæ DT ö1lmçç÷÷ = -d çç÷÷ = -d (Ñ -Ñe ) H.2rTèøèøp52æ DT &

51、#246; = (Ñ - Ñ ) lm 1ç T ÷e 2 HèøP平均速度的估計(jì)d ln r = a × d ln P -d × d ln T +j × d ln m 在運(yùn)動(dòng)過程中，流體元不斷地受到浮力作用，與當(dāng)?shù)氐臍馀輧?nèi)外物質(zhì)密度差成正比。流體元在上升經(jīng)過距離lm過程中，其中每克物質(zhì)所度(方向?yàn)閺较蛳蛲?可近似表為受的平均浮力，即平均的lma = f / r = -g Dr / r = gd (Ñ - Ñ)e2Hp 前面已假定：在某時(shí)刻, 對(duì)一個(gè)給定的球面 r處來說，這個(gè)“平均”的

52、流體元在通過它之前已經(jīng)運(yùn)動(dòng)了lm/2的距離。并假定在這段路程上的運(yùn)動(dòng)近似為勻運(yùn)動(dòng)，其平均度為a，因初速為零。在到達(dá)球面時(shí)，運(yùn)動(dòng)速度為v=2aæ lmöç 2 ÷mèø53f = -g Dræ Drö1 lç÷ = -d(Ñ - Ñ ). mç r ÷e H2èøplm2H pa = gd(Ñ - Ñ )e12v =æ l ö 在運(yùn)動(dòng)過程中平均速度為vm，于是有vm =2aç m 

53、7;è 2 ø于是得到對(duì)流轉(zhuǎn)移的能量由局部物理量決定。（將宏觀過程，非局域?qū)α餍袨榫钟蚧?44acG T 4m Frad = s rad Ñ =3k P r2 Ñ接下來構(gòu)造混合長(zhǎng)理論的基本方程組。F=s(Ñ - Ñ )3/ 2concone=(Ñ - Ñ )3/2 e2rc Tgd lmH -3/ 2p42P太陽(yáng)內(nèi)部 v 4.1´102 cm s-1, 約200天時(shí)間可以傳出太陽(yáng)表面。問：如何估算？v =lméë gd(Ñ- Ñ ) / H ù1/ 22

54、2ep ûFcon = rvcp DTDT = éæ dT ö - æ dT ö ù Dr = - T (Ñ - Ñ). lmêç dr ÷ç dr ÷ úHe2ëèøeèøs ûP55討論logW-logU圖極限情形混合長(zhǎng)方程的解對(duì)流效率無量綱方程組和各特征物理量的求解方法和步驟s= rdl2-3/ 2concpTg mHP42混合長(zhǎng)理論的基本方程組Fcon = s con (

55、9; -Ñe)3/ 2Fcon的表達(dá)式混合長(zhǎng)理論的基本圖象4acG T 4m Frad = s radÑ =3k P r2 Ñ對(duì)流傳能的混合長(zhǎng)理論Ñe流體元內(nèi)部溫度 Te 的變化: 由兩個(gè)因素引起1） 流體元的絕熱膨脹或壓縮；2） 通過輻射與周圍介質(zhì)交換能量。（假定對(duì)流元直徑為d，表面積為S，體積為V） 流體元在時(shí)間通過表面輻射的總能量, Le (是由于流體元同其周圍介質(zhì)的溫度差別引起)為 因輻射（與周圍介質(zhì)交換能量）造成的溫度變化æ ¶Te= ¶Tedt = 1 ¶TeöLerVc v» -&

56、#231; ¶r÷¶tdrv ¶tèøLp56rVc¶Te = -LP¶te混合長(zhǎng)理論的基本方程組 因此，每上升距離對(duì)流元溫度下降的總梯度為æ dT ö= æ dT ö+ æ ¶T ö= æ dT öLerVc v-ç dr ÷ç dr ÷ç ¶r ÷ç dr ÷èøeèøadèøLèøadp其中, 第一項(xiàng)是由于流體元絕熱膨脹或壓縮過程產(chǎn)生的溫度梯度，第二項(xiàng)則是因流體元向外輻射或吸收輻射造成的溫度梯度。等式兩邊同時(shí)乘以 -HP / T，換為以壓強(qiáng)P作為自變量，有Le H pÑ- Ñ=rVc vTeadP代入右邊兩