淺談數(shù)學(xué)歸納法在高考中的應(yīng)用

1、贛南師范學(xué)院2015屆本科生畢業(yè)論文1、數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法，人類天才的思維、巧妙的方法、精致的工具，解決無限的問題。它體現(xiàn)的是利用有限解決無限問題的思想，這一思想凝結(jié)了數(shù)學(xué)家們無限的想象力和創(chuàng)造力，這無疑形成了數(shù)學(xué)證明中一道絢麗多彩的風景線。它的巧妙讓人回味無窮，這一思想的發(fā)現(xiàn)為后來數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了道路，如用有限維空間代替無限維空間（多項式逼近連續(xù)函數(shù)）用有限過程代替無限過程（積分和無窮級數(shù)用有限項和答題，導(dǎo)數(shù)用差分代替）。1.1數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷史自古以來，人們就會想到問題的推廣，由特殊到一般、由有限到無限，可人類對無限的把握不順利。在對無窮思考的過程中，古希臘出現(xiàn)了許多悖論，

2、如芝諾悖論，在數(shù)列中為了確保結(jié)論的正確，則必須考慮無限。還有生活中一些現(xiàn)象，如烽火的傳遞，鞭炮的燃放等，觸動了人類的思想。安提豐用圓周內(nèi)接正多邊形無窮地逼近圓的方法解決化圓為方；劉徽、祖沖之用圓內(nèi)接正多邊形去無窮地逼迫圓，無窮的問題層出不窮，后來古希臘歐幾里得對命題“素數(shù)的個數(shù)是無窮的”的證明，通過了有限去實現(xiàn)無限，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法遞推思想。但要形成數(shù)學(xué)歸納法中明確的遞推，清晰的步驟確是一件不容易的事，作為自覺運用進行數(shù)學(xué)證明卻是近代的事。伊本海塞姆（10世紀末）、凱拉吉（11世紀上葉）、伊本穆思依姆（12世紀末）、伊本班納（13世紀末）等都使用了歸納推理，這表明數(shù)學(xué)歸納法使用較普遍，尤其是凱

3、拉吉利用數(shù)學(xué)歸納法證明這是數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)歸納法的最早證明。 接著,法國數(shù)學(xué)家萊維.本.熱爾松(13世紀末)用"逐步的無限遞進"，即歸納推理證明有關(guān)整數(shù)命題和排列組合命題。他比伊斯蘭數(shù)學(xué)家更清楚地體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證明的基礎(chǔ)，遞進歸納兩個步驟。 到16世紀中葉，意大利數(shù)學(xué)家毛羅利科對與全體和全體自然數(shù)有關(guān)的命題的證明作了深入的考察在1575年，毛羅利科證明了 其中他利用了逐步推理鑄就了“遞歸推理”的思路，成為了較早找到數(shù)學(xué)歸納中“遞歸推理”的數(shù)學(xué)家，為無限的把握提供了思維。 17世紀法國數(shù)學(xué)家帕斯卡為數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)明作了巨大貢獻，他首先明確而清晰地闡述數(shù)學(xué)歸納法的運用程序，并完整地

4、使用數(shù)學(xué)歸納法，證明了他所發(fā)現(xiàn)的帕斯卡三角形。數(shù)學(xué)家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其中的歸納公理奠定數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。帕斯卡、毛羅利科、伊本穆思依姆等都很自覺地使用歸納推理，傳承運用數(shù)學(xué)歸納法，但一直沒有明確的名稱，而是英國數(shù)學(xué)家德摩根在其命名上邁出了重要的一步，他曾在1838年倫敦出版的小百科全書中，建議將“歸納法（數(shù)學(xué)）”改為“逐次歸納法”，有意思的是在后來的一次無意中他無意中使用了“數(shù)學(xué)歸納法”這便成為了最早的名稱。之后，英國數(shù)學(xué)家托德亨特的代數(shù)（1866年出版）中也采用了“數(shù)學(xué)歸納法”這一名稱，從此這一名稱在英國傳播開了。1.2數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其

5、中的歸納公理奠定數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。歸納公理：由自然數(shù)組成的集合為，,若中任意自然數(shù)的后繼也屬于，則包含了全部自然數(shù)。2、數(shù)學(xué)歸納法的步驟及其類型2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題,如果滿足:(1) 成立；(2) 假設(shè)當時,命題成立；可以推出也成立，則命題對一切自然數(shù)都成立。證明:設(shè)是由滿足命題的自然數(shù)組成的集合 即是自然數(shù)集的子集,由于成立,又由(2)知 即的后繼，由皮亞諾公理的歸納公理5得因此對于一切自然數(shù)，都成立。第一數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明證明: （1）當時，左邊=1=右邊命題成立 （2）假設(shè)時命題成立，即那么當時，即當時命題也成立，所以原命題成立。2.2 第二

6、數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題,如果滿足:(1) 成立；(2)假設(shè)對于所有滿足的自然數(shù)成立，則也成立；那么,命題對一切自然數(shù)都成立。證明:設(shè),又設(shè)(差集)假設(shè)不空,由自然數(shù)的最小數(shù)原理, 有最小數(shù)由條件(1)知,故因此,又由條件(2)知,必有這與矛盾,所以A為空集從而,則命題對一切自然數(shù)n都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法是第一數(shù)學(xué)歸納法的加強，在高考數(shù)學(xué)中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以開拓一個學(xué)生的思維，體會其中的思想奧妙，在一定程度上可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促使學(xué)生去創(chuàng)新，與此同時可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。2.3 數(shù)學(xué)歸納法其他類型（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法當時，成立，假設(shè)時成立，由此推得時，也成立，

7、那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果a) 對無限多個正整數(shù)成立；b) 假設(shè)時，命題成立，則當時命題也成立，那么根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（3）蹺蹺板數(shù)學(xué)歸納法針對兩個與自然數(shù)有關(guān)命題a) 證明成立；b) 假設(shè)成立，遞推證明成立，即成立推出成立；又假設(shè)成立，由此遞推證明出也成立，即成立推出。于是，對于任意自然數(shù)，結(jié)論都成立3、結(jié)合高考試題體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法3.1 高考中數(shù)學(xué)歸納法題型的分析在高考數(shù)學(xué)中，運用數(shù)學(xué)歸納法的證明一般不單獨命題，考查常常滲透到數(shù)列綜合題中，既考查推理論證能力，又考查探究思維能力。近年江西高考壓軸題的數(shù)列不等式，常常會用到數(shù)學(xué)歸納法

8、，且常與放縮法有關(guān)。其他省的高考題趨勢也差不多，數(shù)學(xué)歸納法在高考中出現(xiàn)的幾種題型主要是與數(shù)列、不等式、整除相結(jié)合考察，難度不是很大，但能體現(xiàn)出解題的效率大大增加，化復(fù)雜為容易、抽象為具體，是一個非常值得考察的知識點。3.2 數(shù)學(xué)歸納法在代數(shù)中的應(yīng)用在高考中數(shù)學(xué)歸納法知識的考察往往是結(jié)合代數(shù)一起進行的，而代數(shù)方面主要體現(xiàn)在數(shù)列、整除、不等式方面，但是在幾何方面也是一個命題點，這樣在一定程度上考察了學(xué)生的創(chuàng)新能力與想象能力，符合現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué)目標。下面就這兩大方面進行分析闡述。3.2.1數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)中結(jié)合數(shù)列來體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法是非常常見的題，有些數(shù)列的通項不好求，我們可以先對前面

9、幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而進行猜想，繼而用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，這不失一種很好解決問題的方法。在生活上可以將此精髓應(yīng)用，可以達到很好的效果。例2 2014·重慶卷 設(shè)，(1)若，求，及數(shù)列的通項公式(2)若，問：是否存在實數(shù)c使得對所有成立？證明你的結(jié)論解：(1) 變下形式有 根據(jù)這個規(guī)律進行猜想有下面用數(shù)學(xué)歸納法證明以上結(jié)論：證明：1、（1）當時，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)時命題成立 即則當時命題也成立所以2、設(shè)則令 即解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題（1）當時， 結(jié)論成立（2）假設(shè)時結(jié)論成立，即易知在(，1上為減函數(shù)，從而即再由在(，1上為減函數(shù)，得故因此當時命題也成立綜上，存在使對所有成立3.2

10、.2數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式可以有效提高解題效率，解題過程得到優(yōu)化甚至可以使避免一些具體問題或簡化。直接使用數(shù)學(xué)歸納法進行不等式的證明時，在歸納和過渡往往存在一定的困難，如果能靈活地使用不等式的傳遞性和可加性，在恰當?shù)臅r候使用過渡不等式和假設(shè)不等式與目標不等式的特征關(guān)系，通過放縮常數(shù)和強化命題等技巧,可以順利完成歸納和過渡。同時，在利用它來解決不等式問題時首先要細心地觀察，然后大膽地進行聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)一些內(nèi)在的聯(lián)系從而為解決問題提供了方法和途徑。例3 2014·安徽卷 設(shè)實數(shù)，整數(shù)，。(1)證明：當且時， ；(2)數(shù)列滿足，證明：。證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下

11、 當時，原不等式成立 假設(shè)時，不等式成立當時， 所以當時，原不等式也成立。綜合可得，當，時，對一切整數(shù)，不等式均成立。(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明當時，由題設(shè)知成立；假設(shè)時，不等式成立。由易知，當時， 由得由(1)中的結(jié)論得因此，即，所以當時，不等式也成立。綜合可得，對一切正整數(shù)n，不等式均成立。再由可得，即綜上所述，點評：此高考題是用數(shù)學(xué)歸納法來證明著名不等式貝努利不等式，在一定程度上有回歸到課本上的節(jié)奏，這題出現(xiàn)在高考試題上不僅是考察數(shù)學(xué)歸納法的知識，更重要的體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的功效，可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，給學(xué)生想象空間，減少學(xué)生在探究未知知識時的畏懼心理。在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，有些時候需

12、要對命題的加強進而去證明，這樣就可以把一個無從下手的題目進行處理，證得加強后的命題，因此原命題也成立。此方法在簡答過程是由一定難度的，在學(xué)生成績水平中具有區(qū)分度，但是很有必要讓學(xué)生訓(xùn)練掌握，下面分析一個此類型的典高考題，體會下其中的思想、奧妙所在。例4 2008·遼寧卷在數(shù)列，中，且等差數(shù)列，成等比數(shù)列1) 求及由此猜測的通項公式，并證明你的結(jié)論；2) 證明： 證明：1）略，直接寫出幾項進行歸納猜想進而用數(shù)學(xué)歸納法進行證明。 2）分析：由于此問右邊的式子與無關(guān)，不能直接用數(shù)學(xué)歸納法證明，因此可以加強結(jié)論之后再用數(shù)學(xué)歸納法證明。 當時，不等式顯然成立 現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明a） 當時，有

13、1）知，命題成立b） 假設(shè)當時命題成立，那么當時由歸納假設(shè)有所以當時命題也成立故得證。3.2.3數(shù)學(xué)歸納法在整除中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法與整除性問題相結(jié)合，在一定程度上考察了一個學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換的能力，同時可以體現(xiàn)出學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解與掌握程度。在最近幾年里，各省未出此類題型，但是很有命題的趨勢，并且有時候技巧性很強，所以值得去研究學(xué)習(xí)。例5 求證能被9整除（為正整數(shù)）證明：令（1） 當時，能被9整除，所以命題成立（2） 假設(shè)時命題成立，即能被9整除那么當時，由假設(shè)知能被9整除，而也能被9整除所以能被9整除 因此當時命題也成立，所以原命題正確，得證。說明：此類題型很多考生不能很好的配湊出假設(shè)結(jié)論出

14、來，那么就要加一項減一項進行處理，對于整除本身是個抽象的問題就感覺困難，如果能找出此題的突破口，此類題就是比較好處理的。但是往往同學(xué)們很難把握到，針對這個問題，我們尋求另一種論證方法：“作差”，即求的差，其優(yōu)點是方法統(tǒng)一，容易顯露問題的核心，便于尋求推證的途經(jīng)，讀者可以將這兩種方法進行比較。另證：令(1)當時，能被9整除，所以命題成立(2)假設(shè)時命題成立，即能被9整除那么當時，則 其中為整數(shù)所以當時命題也成立所以原命題正確3.3數(shù)學(xué)歸納法在幾何中的應(yīng)用高考中用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題至今高考題中還沒出現(xiàn)，但是思維是活躍的，可以激發(fā)學(xué)生的空間想象潛力，在將來知識爆炸的時代，選擇優(yōu)秀的人才，用數(shù)學(xué)歸

15、納法證明幾何問題將會是很好的選擇，下面探究用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的典型試題。 例6 平面內(nèi)有條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點，求證它們：（1） 共有個交點；（2） 互相分割成條線段；（3） 把平面分割成個部分分析 本題利用幾何法證明比較困難，因與自然數(shù)有關(guān)，可考慮數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合圖形，只要明確增加一條直線后發(fā)生的變化即可進行證明。證明 （1）當時與圖形性質(zhì)相同，命題成立。 (2) 假設(shè)時，命題成立，則當時，考查及 增加一條直線，這一條直線與原來的條直線的關(guān)系是它們都相交，各有一個交點。所以又因為增加的一條直線被原來的條直線分割成段（即增加的個點把分成段）而又把原來的條直線每條多分出

16、一段（即增加的個交點把各交點所在的線段一分為二），共增加了條線段。所以又因為被分割成段，每段把該段所在的部分平面分成兩部分，總共多出個部分平面。所以，由假設(shè)易知，故時命題成立由（1）（2）知，對任何命題都成立。點評 利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要語言敘述準確清楚，一定要講清從到時，新增加量是多少，也就是變化的狀態(tài)。一般地，證明第二步時，常用的方法是加一法，即在原來的基礎(chǔ)上，再增加1個，進而證明。也可以從個中分減1個來，剩下的個利用假設(shè)。4、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)研究4.1 對數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)建議數(shù)學(xué)歸納法的知識點對于第一次接觸的高中生來講是一個很難理解的抽象問題，在一定程度上會阻礙他們理解該知識點，因

17、此合理的教學(xué)在一定程度上會幫助學(xué)生克服面臨的困難，與此同時可以幫助學(xué)生更好把握數(shù)學(xué)歸納法的題目，奪得更高的分數(shù)。下面提出幾點教學(xué)的建議，此建議是根據(jù)普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法知識排版選題提出的。(1) 對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解是這一節(jié)的難點，一定要特別注意對數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的特別方法，其實它更應(yīng)該反映的是一種遞推的數(shù)學(xué)思想，先存在一個使結(jié)論成立的最小正整數(shù)，這是遞推的基礎(chǔ)，在這個基礎(chǔ)上，假設(shè)當時，命題成立，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當n=k+1時命題也成立，那么久可以遞推出對所有不小于的正整數(shù)命題都成立。這是遞推的一句。有了這個一句，加上遞推的基礎(chǔ)，就可

18、以說明對所有的正整數(shù)n，命題都成立。(2) 通過教學(xué)要讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可。數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可，教學(xué)中要向?qū)W生強調(diào)這一點。如果命題只證到成立，就斷定對一切正整數(shù)n都成立，即不做第二步證明，這就是不完整歸納，不足以證明命題的正確性。但沒有第一步，也是不正確的。有些命題，如果只作第二步，完全可以做通，但事實上它們是不成立的。如。若n=k時,則可推得n=k+1時，然而n=1時命題成立顯然不成立。這個例子說明，數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟是問題的兩個方面，一個是命題成立的基礎(chǔ)，另一個是遞推的依據(jù)（延續(xù)關(guān)系），二者缺一不可，教學(xué)中可以通過反例來讓學(xué)生體會這一點。(3) 教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)

19、學(xué)生特別注意根據(jù)題意找準初始值（不是每個問題的初始值都是1）教材所給例子中雖然第一步中的起始值都是從n=1開始的，但其實n從幾開始要依據(jù)題目而論，只不過從n=1開始的題目比較普遍，難度也不太大，這一點教師可以依據(jù)學(xué)生情況做一補充。另外，在第一步驟中，只需證明n取第一個值時命題成立就可以了，無需繼續(xù)驗證其他有限個值，因為一旦有了“第一個”的基礎(chǔ)，再有第二部遞推的依據(jù)，即保證了n取第2個，第3個值時命題的正確性。4.2 數(shù)學(xué)歸納法解題技巧（1）起點前移：有些時候驗證1比較困難，可以用驗證成立代替驗證，當然其他的點也可以向前移動，只要符合前移的起點對結(jié)論成立并且容易驗證，為了簡化問題，有意向前移動起點。（2）起點增多：有些命題在證明向這一步時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，可以改變跨度來實現(xiàn)，但是這樣操作就會使起點增多。（4）選擇恰當?shù)募僭O(shè)方式：歸納假設(shè)不是一定要用“假設(shè)時命題成立”，我們可以根據(jù)題目的意思選取第一類、第二類、跳躍、反向數(shù)學(xué)歸納法的假設(shè)形式，靈活巧妙的處理。（5）變換命題：有些時候我們需要利用一個輔助命題來幫助完成證明，也有的時候可以改成等價命題或則將證明的結(jié)論加強。這樣才可以使用數(shù)學(xué)歸納法證明。參考文獻1 孫宏安.