人教版初中數(shù)學(xué)講義第9章中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形09圖形的鑲嵌

1、圖形的鑲嵌地板、瓷磚當(dāng)你在為家庭裝修忙碌時(shí)，是否知道這其中也有著數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？例如，最常見(jiàn)的瓷磚拼裝，同樣都是方方正正的瓷磚，為什么效果不一樣呢？如下圖，這是常見(jiàn)的兩種瓷磚如今，家庭裝修大多使用第二種正方形瓷磚這種瓷磚比較適合矩形房間的地面裝飾，通常這種瓷磚圖案形成中心對(duì)稱(chēng)圖形這樣無(wú)論如何鋪設(shè)都能形成圖案而在街道道路上，通常用第一種瓷磚作鋪墊當(dāng)然，還有其他形狀的瓷磚，這里就不一一作介紹了顯而易見(jiàn)，這兩種常規(guī)瓷磚都是正多邊形那么，是不是所有的正多邊形都能作為瓷磚拼裝呢？顯而易見(jiàn)，在現(xiàn)實(shí)生活中，一般就只有這幾種形狀的瓷磚在裝修中，瓷磚拼裝首先要拼基本圖案說(shuō)到拼裝，就要先談一談嵌合圖形的拼裝在一種拼裝

2、圖案里，如果基本元素圖案只有一種，這就叫做單元拼裝在單元拼裝里，如果基本元素是正多邊形，這種拼裝便稱(chēng)為正規(guī)拼裝當(dāng)拼裝時(shí)各個(gè)基本單元圖案的邊與邊完全吻合，這種拼裝可以稱(chēng)為棱對(duì)棱拼裝瓷磚拼裝其實(shí)是正規(guī)的棱對(duì)棱的單元拼裝如圖1，它就是一種棱對(duì)棱的單元正規(guī)拼裝它的基本元素就是圖2的正方形那么，棱對(duì)棱的正規(guī)單元拼裝有幾種呢？是不是所有的正多邊形都能進(jìn)行棱對(duì)棱的單元拼裝呢？由圖1可以看到，它是一個(gè)由4個(gè)小正方形組成的大正方形取它的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)來(lái)分析，在此點(diǎn)周?chē)还簿陀?個(gè)小正方形，同理可得，該大正方形的其他的頂點(diǎn)周?chē)鷳?yīng)該也有4個(gè)小正方形假設(shè)某種N邊的正多邊形能進(jìn)行棱對(duì)棱的單元拼裝，且在它的每一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)蠱

3、個(gè)該正多邊形因?yàn)镸為頂點(diǎn)，所以M應(yīng)該能被360整除由多邊形內(nèi)角和公式可以得到：即因?yàn)镸、N都是正整數(shù)，且N3，所以只有當(dāng)N為3，4，5和6時(shí)符合條件而當(dāng)N5時(shí)，即基本圖形為正五邊形時(shí)，內(nèi)角為108°，而108不能除盡360，所以也舍去所以當(dāng)N3、4、6時(shí)滿足條件因此，只有3種單元正規(guī)棱對(duì)棱的拼裝這也就是為什么現(xiàn)代地瓷裝修主要是這幾種形式以上三種就是正多邊形棱對(duì)棱正規(guī)拼裝的一些示例在三角形、四邊形和六邊形中，當(dāng)多邊形的邊數(shù)為3時(shí)，它的一個(gè)頂點(diǎn)可容納6個(gè)此種多邊形當(dāng)多邊形的邊數(shù)為4時(shí)，它的一個(gè)頂點(diǎn)可容納4個(gè)此種多邊形當(dāng)多邊形的邊數(shù)為6時(shí)，它的一個(gè)頂點(diǎn)可容納3個(gè)此種多邊形當(dāng)基本元素是三角形

4、或矩形時(shí)，環(huán)繞在一個(gè)頂點(diǎn)的多邊形的棱正好形成以此點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形又因?yàn)檎叫闻c現(xiàn)代居室相近，所以現(xiàn)代裝修中瓷磚拼裝以正方形為主變換一下顏色或是改變一下擺放次序，就能產(chǎn)生新的圖案在公園或街道上有時(shí)會(huì)有一種呈矩形的地磚在這種地磚的鏤空處可以種植草坪如：也有像正方形的鏤空地磚，如：在嵌合圖形的拼裝中，正多邊形的棱對(duì)棱的正規(guī)拼裝只是其中極小的一小塊而已有時(shí)候，為了達(dá)到美觀效果，還會(huì)采取多元拼裝，就是一個(gè)基本單元里有兩種以上的基本圖案以上圖中的左圖來(lái)分析，在它的一個(gè)基本單元里，有兩種正多邊形正方形和正八邊形它的一個(gè)頂點(diǎn)有一個(gè)正方形和兩個(gè)正八邊形為什么會(huì)這樣排列呢？因?yàn)檎诉呅蔚囊粋€(gè)內(nèi)角為135&#

5、176;，正方形的一個(gè)內(nèi)角為90°，而135×290360，所以這個(gè)組合可以成功再以上圖中的右圖來(lái)分析，在它的一個(gè)基本單元里，它雖然也只有兩種正多邊形正六邊形和正三角形，但它的頂點(diǎn)就有兩種情況：一是周?chē)辛鶄€(gè)正三角形，二是周?chē)袃蓚€(gè)正三角形和兩個(gè)正六邊形再以下圖為例，它的基本單元里仍是正六邊形和正三角形兩種，在它的一個(gè)頂點(diǎn)周?chē)挥袃蓚€(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形可見(jiàn)，同樣的基本圖形組成的不同的圖形之間有著很大的差異倘若有一個(gè)圖形的基本元素由m個(gè)正M多邊形和n個(gè)正N多邊形組成，且該圖形為多元正規(guī)棱對(duì)棱拼裝，那么會(huì)有幾種這樣的圖形呢？這個(gè)問(wèn)題的答案就留給讀者思考吧上述的圖形拼裝都建立

6、在正規(guī)棱對(duì)棱拼裝的基礎(chǔ)上，其實(shí)嵌合圖形的種類(lèi)很多，只要是能填滿一個(gè)平面的圖案就叫做嵌合圖嵌合圖形是數(shù)學(xué)和美術(shù)的結(jié)合，而瓷磚拼裝是其中的一個(gè)典范怎么樣？小小的瓷磚拼裝還是大有學(xué)問(wèn)的吧？只要稍微留心一下，生活中處處都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的所在以下是一些是埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）荷蘭最著名的版畫(huà)，大家可從中感受鑲嵌圖形的魅力 埃舍爾（Maurits Cornelis Escher，1898-1972）是荷蘭最著名的版畫(huà)家，1937年以前埃舍爾并沒(méi)有多大的名氣，那時(shí)他的作品盡可能真實(shí)地描繪現(xiàn)實(shí)客觀世界一次到西班牙的Alhambra宮殿訪問(wèn)激發(fā)了他新的創(chuàng)作靈感

7、并使他成名他不再描繪他所看到的而是開(kāi)始構(gòu)思他自己的視覺(jué)觀念這就有了他后來(lái)流行的規(guī)則的平面分割、轉(zhuǎn)變，錯(cuò)綜復(fù)雜的謎一般的版畫(huà)和他天才的空間建筑他的家庭設(shè)想他將來(lái)能跟隨他的父親從事建筑事業(yè)，但是他在學(xué)校里那可憐的成績(jī)以及對(duì)于繪畫(huà)和設(shè)計(jì)的偏愛(ài)最終使得他從事圖形藝術(shù)的職業(yè)他的工作成果直到五十年代才被注意，1956年他舉辦了他的第一次重要的畫(huà)展，這個(gè)畫(huà)展得到了時(shí)代雜志的好評(píng)，并且獲得了世界范圍的名望在他的最熱情的贊美者之中不乏許多數(shù)學(xué)家，他們認(rèn)為在他的作品中數(shù)學(xué)的原則和思想得到了非同尋常的形象化因?yàn)檫@個(gè)荷蘭的藝術(shù)家沒(méi)有受過(guò)中學(xué)以外的正式的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，因而這一點(diǎn)尤其令人贊嘆隨著他的創(chuàng)作的發(fā)展，他從他讀到的數(shù)

8、學(xué)的思想中獲得了巨大靈感，他工作中經(jīng)常直接用平面幾何和射影幾何的結(jié)構(gòu)，這使他的作品深刻地反映了非歐幾里德幾何學(xué)的精髓，下面我們將看到這一點(diǎn)他也被悖論和“不可能”的圖形結(jié)構(gòu)所迷住，并且使用了羅杰·彭羅斯的一個(gè)想法發(fā)展了許多吸引人的藝術(shù)成果這樣，對(duì)于學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，埃舍爾的工作圍繞了兩個(gè)廣闊的區(qū)域：“空間幾何學(xué)”和我們或許可以叫做的“空間邏輯學(xué)”鑲嵌圖形：規(guī)則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒(méi)有重疊并且沒(méi)有空隙的封閉圖形的排列一般來(lái)說(shuō)，構(gòu)成一個(gè)鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類(lèi)似的常規(guī)形狀，例如經(jīng)常在地板上使用的方瓦然而，埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規(guī)的還是不規(guī)則的；并且對(duì)一種他稱(chēng)為

9、metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，并且有時(shí)突破平面的自由他的興趣是從1936年開(kāi)始的，那年他旅行到了西班牙并且在Alhambra看到了當(dāng)?shù)厥褂玫耐叩膱D案他花了好幾天勾畫(huà)這些瓦面，過(guò)后宣稱(chēng)這些“是我所遇到的最豐富的靈感資源”，1957年他寫(xiě)了一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章，其中評(píng)論道：“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，規(guī)則的平面分割已從理論上研究過(guò)了，難道這意味著它只是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的問(wèn)題嗎？按照我的意見(jiàn)，它不是數(shù)學(xué)家們打開(kāi)了通向一個(gè)廣闊領(lǐng)域的大門(mén)，但是他們自己卻從未進(jìn)入該領(lǐng)域從他們的天性來(lái)看他們更感興趣的是打開(kāi)這扇門(mén)的方式，而不是門(mén)后面的花園” 無(wú)論這對(duì)數(shù)學(xué)家是否公平

10、， 有一點(diǎn)是真實(shí)的他們指出了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌但許多其他不規(guī)則多邊形平鋪后也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)則的五角星形狀埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學(xué)中的反射、平滑反射、變換和旋轉(zhuǎn)來(lái)獲得更多的變化圖案他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動(dòng)物、鳥(niǎo)和其他的形狀這些改變不得不通過(guò)三次、四次甚至六次的對(duì)稱(chēng)以便得到鑲嵌圖形這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的     鳥(niǎo)分割的平面（21k）、蜥蜴（65k）、循環(huán)（40k）、逐步展開(kāi)1（59k）    在 “蜥蜴”里，鑲嵌而成的蜥蜴嬉笑地逃離二維平面的束縛到桌面放風(fēng)，然后又重新陷入原來(lái)的圖案埃舍爾在許多六邊形的鑲嵌圖形