電路理論-5_2一般電路系統(tǒng)IO微分方程的建立和求解

1、(1) 數(shù)學準備數(shù)學準備在高階動態(tài)電路和系統(tǒng)分析中，為了運算在高階動態(tài)電路和系統(tǒng)分析中，為了運算和書寫的方便，我們引入了微分算符。和書寫的方便，我們引入了微分算符。一般電路系統(tǒng)一般電路系統(tǒng)I/O微分微分 方程的建立和求解方程的建立和求解5.2.1 電路系統(tǒng)電路系統(tǒng)I/O微分方程的建立微分方程的建立l定義定義微分算符微分算符nnndtdPdtdP , 積分算符積分算符tdtPP11)()()()()()()()(11tfftfdfdtdtPfPtfdfdtdtfPPtt而將上述性質(zhì)推廣，可以得到如下結論：將上述性質(zhì)推廣，可以得到如下結論：如果如果N(P)是算符是算符P的多項式，則的多項式，則1)

2、()(1 , 1)(1)(PNPNPNpN)()()(1)()(1)(tfPNPNtfPNPN并且并且 (2) 廣義阻抗廣義阻抗LPPZtiPZtLPidttdiLtuLPCPPZtiPZtiCPdttiCtuCPRPZtiPZtuRLLLLLLCCCCtCCRRRR)()()()()()( 1)( )()()(1)(1)( 1 )()()()( 因為電感因為電容因為電阻方法方法2 2： 依據(jù)互聯(lián)規(guī)律列依據(jù)互聯(lián)規(guī)律列KCL,KVLKCL,KVL方程方程 依據(jù)元件規(guī)律列依據(jù)元件規(guī)律列VCRVCR 將將代入代入得一組微積分方程組得一組微積分方程組 引入微分算符，進行化簡運算得一元高階微分方程組。引

3、入微分算符，進行化簡運算得一元高階微分方程組。例例1：已知雙耦合電路如圖，試建立響應：已知雙耦合電路如圖，試建立響應u2(t)的的I/O微分方程微分方程解：解：1）定義廣義阻抗）定義廣義阻抗 2）用視察法列寫節(jié)點方程：）用視察法列寫節(jié)點方程：0)()()(1121titutuLPGPCCPPCPCLPGPCCPsnnMMMMun1(t) un2(t)將方程兩邊同時微分一次（即同左乘將方程兩邊同時微分一次（即同左乘P），即得：），即得：0)()()(1)(1)(212222tPitutuLGPPCCPCPCLGPPCCsnnMMMM 3）將微分方程組化為一元高階微分方程（用克萊姆法則）將微分方程

4、組化為一元高階微分方程（用克萊姆法則）2222322222)(1)()(det0)(1)()(PCLGPPCCtiPCPCtPiLGPPCCutuMMsMMsMn即：即：)()(12)( 2)(2)2(32223422tiPCtuLPLGPGLCCPCCGPCCCsMMMM3322222223234242)()(1)(2)()( 2)()(2)()2(dttidCtuLdttduLGdttudGLCCdttudCCGdttudCCCsMMMM注意：雙耦合電路本有注意：雙耦合電路本有5個動態(tài)元件，但微分方程為個動態(tài)元件，但微分方程為4階，是因階，是因為有一個全電容回路，即獨立動態(tài)元件數(shù)只有為有一

5、個全電容回路，即獨立動態(tài)元件數(shù)只有4個。所以為個。所以為4階。階。例例2：已知雙耦合電路如圖，試建立輸出響應：已知雙耦合電路如圖，試建立輸出響應i2(t)的微分方程的微分方程解解 選用網(wǎng)孔電流選用網(wǎng)孔電流i1(t)、i2(t)為變量，作出其等效電路圖如上圖為變量，作出其等效電路圖如上圖所示。據(jù)所示。據(jù)KCL，KVL和和VCR利用網(wǎng)孔法寫出電路方程組：利用網(wǎng)孔法寫出電路方程組：(1) )()()(1)()(2111ttedttdiMdiCtRidttdiL(2) 0)()(1)()(1222tdttdiMdiCtRidttdiL對對(1)、(2)式兩邊微分一次得式兩邊微分一次得 (3) )()(

6、)(1)()(22211212dttdedttidMtiCdttdiRdttidL(4) 0)()(1)()(21222222dttidMtiCdttdiRdttidL(5) )()()(1)()(221112tPetiMPtiCtRPitiLP(6) 0)()(1)()(122222tiMPtiCtRPitiLP 引入微分算子，對聯(lián)立方程消元得到一元高階方程：引入微分算子，對聯(lián)立方程消元得到一元高階方程：(7) )()()()1(2212tPetiMPtiCRPLP(8) 0)()1()(2212tiCRPLPtiMP即即使用克萊姆法則，解此方程組得使用克萊姆法則，解此方程組得2222322

7、22222)()1()(110)(1)(MPCRPLPteMPCRPLPMPMPCRPLPMPtPeCRPLPti)()(12)2(2)( 322223422teMPtiCPCRPCLRRLPPML33222222232342422)()(1)(2)()2()(2)()( dttedMtiCdttdiCRdttidCLRdttidRLdttidML(4) LTI(4) LTI電路系統(tǒng)的電路系統(tǒng)的I/OI/O微分方程微分方程通過上面例子，我們了解了電路系統(tǒng)微分方程建立的方通過上面例子，我們了解了電路系統(tǒng)微分方程建立的方法，同時我們也看到了電路系統(tǒng)微分方程所表征的電路系統(tǒng)法，同時我們也看到了電路系

8、統(tǒng)微分方程所表征的電路系統(tǒng)激勵與響應之間的關系，即表明了電路系統(tǒng)輸入激勵與響應之間的關系，即表明了電路系統(tǒng)輸入輸出的輸出的函數(shù)關系。不涉及電路系統(tǒng)內(nèi)部，因此可以用下面框圖來表函數(shù)關系。不涉及電路系統(tǒng)內(nèi)部，因此可以用下面框圖來表示。示。 這就是所謂黑箱模型。至于系統(tǒng)黑箱內(nèi)可以是電網(wǎng)絡系統(tǒng)，這就是所謂黑箱模型。至于系統(tǒng)黑箱內(nèi)可以是電網(wǎng)絡系統(tǒng)，也可以是其它物理系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)或經(jīng)濟系統(tǒng)，等等。也可以是其它物理系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)或經(jīng)濟系統(tǒng)，等等。 定義：任意一個定義：任意一個LTI單單I/O電路系統(tǒng)，可以用下列表示其輸入電路系統(tǒng)，可以用下列表示其輸入f(t)與輸出與輸出y(t)之間關系的一元之間關系的一元n

9、階微分方程來描述：階微分方程來描述：)()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn這種描述方法稱為系統(tǒng)時域的輸入這種描述方法稱為系統(tǒng)時域的輸入輸出描述法，并用如輸出描述法，并用如下定義來表述下定義來表述 或者表示為微分算符形式或者表示為微分算符形式)()(01110111tfbPbPbpbtyaPaPaPmmmmnnn式中，式中，a0、a1、an-1、an與與b0、b1、bm-1、bm為常數(shù)，它為常數(shù)，它們?nèi)Q于元件的數(shù)值和系統(tǒng)的內(nèi)部結構，而與外加激勵無關。們?nèi)Q于元件的數(shù)值和系統(tǒng)的內(nèi)部結構，而與外加激勵

10、無關。對于一切用物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，輸入與輸出的導數(shù)最對于一切用物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，輸入與輸出的導數(shù)最高階次高階次n和和m都必須滿足不等式：都必須滿足不等式：nm。數(shù)量數(shù)量n稱為系統(tǒng)的階，它等于系統(tǒng)中獨立動態(tài)元件的個稱為系統(tǒng)的階，它等于系統(tǒng)中獨立動態(tài)元件的個數(shù)或獨立初始條件的個數(shù)。數(shù)或獨立初始條件的個數(shù)。5.2.2 初始條件的確定初始條件的確定 通常電路與系統(tǒng)給定的已知條件，是換路前通常電路與系統(tǒng)給定的已知條件，是換路前(t=0-)瞬間的狀瞬間的狀態(tài)即態(tài)即起始狀態(tài)起始狀態(tài)，而我們要求的初始條件是指換路后，而我們要求的初始條件是指換路后(t=0+)瞬間的瞬間的狀態(tài)狀態(tài)(初始狀態(tài)初始狀態(tài))，即，即y(

11、0+)、y(1)(0+) y(n-1)(0+)，只有確定了它們，只有確定了它們之后，才能求解微分方程。之后，才能求解微分方程。(1) 沒有強迫躍變時電路初始條件的確定沒有強迫躍變時電路初始條件的確定(滿足換路定律情況滿足換路定律情況)： 如果系統(tǒng)中電容電流如果系統(tǒng)中電容電流和電感電壓是有界的，那么電容端和電感電壓是有界的，那么電容端電壓和電感電流以及電荷和磁鏈都是連續(xù)的。它們不能躍電壓和電感電流以及電荷和磁鏈都是連續(xù)的。它們不能躍變，即它們遵守換路定律：變，即它們遵守換路定律：)0()0()0()0(LLCCiiuu)0()0()0()0(qql方法步驟：方法步驟： 求求t0-時的時的iL(0

12、-)和和uC(0-) 由換路定律求由換路定律求iL(0+)和和uC(0+) 由由t=0+電路，求電路，求y(0+) 求得微分初始條件求得微分初始條件例例5.8 已知電路如圖所示，開關已知電路如圖所示，開關K閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，當閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，當t=0時，開關時，開關K閉合，求初始條件：閉合，求初始條件：(0 )(0 ) , CCdiidt解：解：1) 作出作出t=0-時等效電路，求出時等效電路，求出uC(0-) 和iL(0-) ：(0 )0(0 )0CLui2) 作出作出t=0+時等效電路，求出時等效電路，求出iL(0+)和和uC(0+)。因為電路中無強迫躍變，可以由因為電路中無強迫

13、躍變，可以由換路定律得換路定律得(0 )(0 )0(0 )(0 )0CCLLuuii所以所以t=0+時等效電路如圖，因此時等效電路如圖，因此2124(0 )2 (A) (0 )(0 )1 22 (V)1 1SCLCUiuR iRR 3) 根據(jù)電路方程和根據(jù)電路方程和t=0+時電路初始狀態(tài)，確定微分初始條件時電路初始狀態(tài)，確定微分初始條件(0 )Cdidt因為因為 12( )( )( )CCSRi tutR itU( )( )( )CLi titi t所以所以121() ( )( )( )CSCLRR itUutRi t即即( )2 0.5( ) 0.5 ( )CCLi tu ti t ( )(

14、 )( )0.5 ( )0.5( ) ( ) , ( )CCLCLCLditdutdititutitCutLdtdtdt 微分得微分得0( )0.5 (0 )0.5(0 )2CCLtditiudt (2) 有強迫躍變時電路初始條件的確定有強迫躍變時電路初始條件的確定(不滿足換路定律情況不滿足換路定律情況): 當電路中有沖擊電流（或階躍電壓）強迫作用于電容，當電路中有沖擊電流（或階躍電壓）強迫作用于電容，或沖擊電壓（或階躍電流）強迫作用于電感，這時或沖擊電壓（或階躍電流）強迫作用于電感，這時iC，uL ，即電路發(fā)生了強迫躍變，換路定律不成立，上述方，即電路發(fā)生了強迫躍變，換路定律不成立，上述方法

15、失效。通常有兩種情況：法失效。通常有兩種情況：. 電路形式有強迫跳變可能性；電路形式有強迫跳變可能性；. 激勵信號為奇異信號時初始條件確定。激勵信號為奇異信號時初始條件確定。l 電路有強迫躍變的特點：電路有強迫躍變的特點：1) 存在全部由純電容組成的閉合回路；存在全部由純電容組成的閉合回路；2) 存在由純電容和理想電壓源組成的閉合回路；存在由純電容和理想電壓源組成的閉合回路；. 電路形式有強迫跳變可能性情形電路形式有強迫跳變可能性情形3) 存在有全部由含電感的支路組成的節(jié)點存在有全部由含電感的支路組成的節(jié)點(割集割集)；4) 存在含電感的支路和理想電流源組成的節(jié)點存在含電感的支路和理想電流源組

16、成的節(jié)點(割集割集) 。l 方法步驟：方法步驟：. 對含電容節(jié)點列電荷守恒方程對含電容節(jié)點列電荷守恒方程 (含電感回路列磁鏈守恒方含電感回路列磁鏈守恒方 程程) 。)0()0(qq. 將將qCuC (=LiL)代入方程代入方程。. 根據(jù)根據(jù)KVL列回路方程列回路方程(根據(jù)根據(jù)KCL列節(jié)點方程列節(jié)點方程) 。. 對對和和聯(lián)解，即求得電路初始條件。聯(lián)解，即求得電路初始條件。)0()0(例例 已知電路如圖所示，在開關已知電路如圖所示，在開關K閉合前，各電容上的初始電荷為閉合前，各電容上的初始電荷為零。當零。當t=0時，開關時，開關K閉合，求閉合，求t=0+時各電容上的電壓。時各電容上的電壓。 解解

17、設設t 0時，時，C1，C2，C3上的電上的電荷分別為荷分別為q1，q2，q3，電壓分別，電壓分別為為U1，U2，U3。1) 列出電荷守恒方程式列出電荷守恒方程式在在t=0-時，與時，與A點相連的各電容極板上的總電荷為點相連的各電容極板上的總電荷為0，開關閉，開關閉合后，合后， 滿足電荷守恒定律，所以：滿足電荷守恒定律，所以：q(0+)= q(0-)=0123(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )0qqqqq 2)2)因為因為111222333(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )qCUqC UqC U112233(0 )(0 )(0 )0 (a)CUC UC U所以所以3) 根據(jù)

18、基爾霍夫定律對兩個回路列根據(jù)基爾霍夫定律對兩個回路列KVL方程方程 1223(0 )(0 ) (b) (0 )(0 )0 (c) sUUUUU 4) 聯(lián)解聯(lián)解(a)、(b)、(c)式得式得 231123(0 )SCCUUCCC123123(0 )(0 )SCUUUCCC例例 已知電路如圖所示，在開關閉已知電路如圖所示，在開關閉合后各電感中沒有初始能量，當合后各電感中沒有初始能量，當t=0時，開關閉合，求各電感電流時，開關閉合，求各電感電流的初始值。的初始值。解解 1) 列磁鏈守恒定律方程列磁鏈守恒定律方程因為各電感都沒有初始能量，故在因為各電感都沒有初始能量，故在t=0-時，由時，由L1，L2

19、，R組成組成的閉合回路所包含的磁鏈應等于的閉合回路所包含的磁鏈應等于0，即，即(0-)=0，根據(jù)磁鏈守，根據(jù)磁鏈守恒定律，恒定律，t=0+時閉合回路的總磁鏈則應為時閉合回路的總磁鏈則應為0，即：，即：12(0 )(0 )0又因為又因為)0()0( ),0()0(222111iLiL(a) 0)0()0(2211iLiL所以所以 3) 聯(lián)立聯(lián)立(a)，(b)求解即得：求解即得：12(0 )(0 ) (b)siiI21121212(0 )(0 )ssLiILLLiILL2) 在在t=0+時列時列KCL方程方程解解：1) 開關閉合后形成全電容回路，因此電路中獨立的相當開關閉合后形成全電容回路，因此電

20、路中獨立的相當與只有一個獨立的電容，所以可以采用三要素分析法求與只有一個獨立的電容，所以可以采用三要素分析法求u(t):)0( )()()0()(tueuutut.求求u(0+):.列電荷守恒方程：列電荷守恒方程：)0()0( qq因為)0()0()0()0( )0()0()0()0( 21212121qqqqqqqq即又因為電路又因為電路t=0-無儲能無儲能0)0()0( 21qq所以0)0()0(21qq.將將q=CuC代入上式得：代入上式得： (1) 0)0()0(2211CCuCuC.列回路列回路KVL方程：方程：(2) )0()0(21sCCUuu.聯(lián)解聯(lián)解(1)、(2)兩式得：兩式

21、得：)0()0(2112uUCCCusC.求求u()： 因為穩(wěn)態(tài)時，因為穩(wěn)態(tài)時，C開路，由分壓公式可得：開路，由分壓公式可得：sURRRu212)(.求求 令獨立源令獨立源Us=0，則可知，則可知C1和和C2并聯(lián)，并聯(lián)，R1和和R2并聯(lián)并聯(lián) )( / 2121210212121021RRCCRRCRRRRRRRRCCC. 求求u(t) 由三要素法公式可得：由三要素法公式可得：122121212( )tsssCRRu tUUeUCCRRRR211211RRRCCC令令則電路過渡過程為則電路過渡過程為02211CRCR 采用對網(wǎng)絡方程兩邊從采用對網(wǎng)絡方程兩邊從0-到到0+進行積分來求得進行積分來求

22、得t=0+時的初時的初始條件始條件因為對于因為對于0-0+無窮小區(qū)間，若被積函數(shù)不是無窮小區(qū)間，若被積函數(shù)不是無窮大，則在這無窮小區(qū)間內(nèi)積分為無窮大，則在這無窮小區(qū)間內(nèi)積分為0。.電路形式無強迫跳變可能性，激勵信號為奇異信號時初始電路形式無強迫跳變可能性，激勵信號為奇異信號時初始條件確定條件確定例例 已知如圖電路系統(tǒng)起始無儲能，已知如圖電路系統(tǒng)起始無儲能，即即22(0 )(0 )0 , 0diidt解解 (1)建立電路微分方程建立電路微分方程22222222( )( )( )()2( )d i tdi tdU tLMRLR i tMdtdtdt試求試求22(0 )(0 ) , diidt222

23、222222222( )( )2( )( ) (1)d i tdi tRLRMi ttdtdtLMLMLM220002222222222200002220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM 2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 2000222222220000220( )2( )( )di tRLRdti t dti t dtdtLMLMMdtLM 因為對于因為對于00無窮小區(qū)間，若被積函數(shù)不是無窮大，則在無窮小區(qū)間，若被積函數(shù)不是無窮大，則在

24、這無窮小區(qū)間內(nèi)積分為這無窮小區(qū)間內(nèi)積分為0。 0 0所以所以0)(002dtdttdi22(0 )(0 )0ii則則2(0 )0ib.求求)0(2dtdi對對(1)式兩邊進行一次式兩邊進行一次00的積分得的積分得22000222222220000220( )( )2( )( )d i tdi tRLRdtdti t dtdtdtLMLMMt dtLM22222222(0 )(0 )2 (0 )(0 )0didiRLMiidtdtLMLM0)0(2dtdi 0又又222(0 )diMdtLM)0()0(dtdydtdy(1) 當激勵為奇異信號時，先建立電路方程；當激勵為奇異信號時，先建立電路方程

25、；(2) 對方程兩邊從對方程兩邊從00進行適當?shù)姆e分：進行適當?shù)姆e分： 進行與微分方程階次相同次的積分，求進行與微分方程階次相同次的積分，求y(0+)-y(0-)降一階的積分，求降一階的積分，求5.2.3 5.2.3 ( )( )( ) hpy ty tyt自由響應強迫響應自由響應強迫響應. . 求齊次方程的齊次解求齊次方程的齊次解( (自由響應自由響應) )求特征方程的特征根求特征方程的特征根 00111aaannn查下表得齊次解查下表得齊次解(系數(shù)系數(shù)Ai未定未定)特征方程特征方程的根的根齊次解表達式齊次解表達式特征根互異特征根互異(即無重根即無重根)特征根有特征根有k重根重根特征根有一特

26、征根有一對共扼復根對共扼復根j2, 11111111( )kintttthkkii ky tA eA teAteAe 12121( )nintttthniiytAeA eA eAe123(t)(cossin)intthiiyeAtAtAei表表5.1 齊次解表達式齊次解表達式. 求齊次方程的特解求齊次方程的特解(強迫響應強迫響應)對于一般激勵信號，特解的求取是困難的，但對于一對于一般激勵信號，特解的求取是困難的，但對于一些典型激勵信號，特解的函數(shù)形式與激勵形式有關。將激些典型激勵信號，特解的函數(shù)形式與激勵形式有關。將激勵函數(shù)代入微分方程的右端，代入后，右端的函數(shù)式稱為勵函數(shù)代入微分方程的右端，

27、代入后，右端的函數(shù)式稱為“自由項自由項”。通常，由觀察自由項試選特解函數(shù)式，再代。通常，由觀察自由項試選特解函數(shù)式，再代入方程求得特解函數(shù)式。入方程求得特解函數(shù)式。 )()()()()()()()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnn 自由項自由項部分特解函數(shù)式列于下表部分特解函數(shù)式列于下表 自由項自由項(典型激勵信號典型激勵信號)響應響應y(t)的特解的特解yp(t)E(常數(shù)常數(shù))pttetsintcos1121( )PPpPpytBtB tB tB( )tpytBe12( )cossinPytBtBttettPcos111

28、1( )()cos)sinptPpPptppytBtB tBetC tC tCet( )pytBtettPsin表表5.25.2特解表達式特解表達式注：（1）表中B，C是待定系數(shù)。 （2）若f(t)由幾種激勵函數(shù)組合，則特解也為其相應的組合。 （3）若表中所列特解與齊次解重復，則應在特解中增加一項，即t倍乘表中特解；若這種重復形式有k次（特征根為k重根），則依次倍乘t2，tn諸項。例如 ，而齊次解也是 ，則特解為 ；若是k重根，則特解為tetf)(tettteBteB10tktktkeBetBetB110 將將yp(t)代入非齊次方程，通過比較系數(shù)法，求得其系數(shù)。代入非齊次方程，通過比較系數(shù)法

29、，求得其系數(shù)。. 由已知起始條件，求得初始條件；由已知起始條件，求得初始條件；. 由完全解和初始條件定出通解系數(shù)由完全解和初始條件定出通解系數(shù)Ai，即得全解，即得全解y(t)()()(tytytyzszp. . 由已知起始條件求得初始由已知起始條件求得初始條件；條件；. . 求零輸入響應求零輸入響應( )(1)(1)110(1)( )( )( )( )0 (0 ),(0 ),(0 )nnnnytayta yta y tyyy求特征方程的特征根求特征方程的特征根 00111aaannn查表查表5.1 得得yzp(t)(系數(shù)系數(shù)Ai未定未定)( )(1)(1)110()(1)(1)110(1)(

30、)( )( )( )( )( )( )( ) (0 )0,(0 )0,(0 )0nnnmmmmnytayta yta y tb ftbftb ftb f tyyy解法同方法解法同方法1，所以可求得，所以可求得. 疊加：疊加：)()()(tytytyzszp(2) 兩種解法的區(qū)別兩種解法的區(qū)別l 相同點相同點零輸入響應和自由響應都具有相同的函數(shù)形式，都滿足齊零輸入響應和自由響應都具有相同的函數(shù)形式，都滿足齊次微分方程。次微分方程。零狀態(tài)響應與強迫響應都僅僅與輸入激勵有關，與電路無零狀態(tài)響應與強迫響應都僅僅與輸入激勵有關，與電路無關。關。l 不同點不同點確定待定系數(shù)確定待定系數(shù)Ai的先后次序不一樣

31、的先后次序不一樣 自由響應零輸入響應零狀態(tài)響應中的自由分量自由響應零輸入響應零狀態(tài)響應中的自由分量 強迫響應零狀態(tài)響應中的強迫分量強迫響應零狀態(tài)響應中的強迫分量12( )sin2( ), (0 )0,(0 )0CCe ttU tuu且0)(t 2sin6)(6)(7)(2) 1 (2)2(2ttututu067212=-1 , 6 6212( )tthutk ek e所以通解為所以通解為(2) 求特解：求特解： 因為激勵是正弦，所以因為激勵是正弦，所以212( )sin2cos2PutBtBtB1B2ttBtBtBtBdtdtBtBdtd2sin6)2cos2sin( 6)2cos2sin(7

32、)2cos2sin(21212122ttBBtBB2sin62cos)214(2sin)142(2121112122324650 14202150BBBBBB 6212321( )sin2cos25050ttu tk ek ett(4) 求初始條件，定系數(shù)求初始條件，定系數(shù)ki1122(0 )0(0 )0 (0 )0(0 )0CCCCuuuu由換路定律由換路定律因為流過因為流過R2得電流即為得電流即為iC2，而而1222(0 )(0 )(0 )0CCCuuiR222(0 )(0 )0CCdiidtC故方程的初始條件為：故方程的初始條件為：22(0 )0(0 )0CCididt121122211

33、205025 63605050kkkkkk 62123321( )sin2cos225505050ttu teettl 用疊加法：用疊加法：(1) 零輸入響應為零（因為初始條件為零輸入響應為零（因為初始條件為0）(2) 零狀態(tài)響應：就是該題所求得的上完全響應零狀態(tài)響應：就是該題所求得的上完全響應dttdftydttdydttyd)()()(2)(22試求電路的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，試求電路的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應。自由響應，強迫響應。解：將激勵代入微分方程得：解：將激勵代入微分方程得：(1)( )( ) , (0 )1 , (0 )2t

34、f te U tyy(2)(1)(1)( )2( )( )( )( ) (1) (0 )1 , (0 )2tytyty tte U tyy(2)(1)(1)( )2( )( ) (2) (0 )1 , (0 )2tytyty teyy當當t0時，電路微分方程為：時，電路微分方程為：方法方法1.經(jīng)典法：經(jīng)典法：y(t)=yh(t)+yp(t)(1) 求齊次方程通解：求齊次方程通解：0)()(2)()1()2(tytyty0122121特征根為：theAtAty)()(21通解：(2) 求特解：求特解： 因為信號因為信號f(t)是在是在t0時輸入的，特解只在時輸入的，特解只在t0時才成立，時才成立，而這時而這時(t)=0，激勵只有，激勵只有-e-t，因為其指數(shù)，因為其指數(shù)-1與特征根與特征根相同，相同，而特征根又是重根，所以特解應設為：而特征根又是重根，所以特解應設為：2