小學(xué)奧數(shù)總復(fù)習(xí)(下)

1、 知識(shí)點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)梳理1、列方程解應(yīng)用題的方法 （1）綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程，這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。 （2）分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程，這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未知到已知。2、列方程解應(yīng)用題的步驟：（1）分析題意，弄清已知條件和所求問題；（2）根據(jù)分析設(shè)定未知數(shù)； （3）利用等量關(guān)系列出方程；（4）求解方程；（5）將結(jié)果代回原題檢驗(yàn)，答。典型例題精講典型例

2、題精講 （ 生活中問題）例例1. 有兩根繩子，第一根長(zhǎng)56cm，第二根長(zhǎng)36cm,同時(shí)點(diǎn)燃后，平均每分鐘都燒掉2cm,多少分鐘后，第一根繩子的長(zhǎng)度是第二根繩子長(zhǎng)度的3倍。解析解析 解：設(shè)X分鐘后第一根繩子的長(zhǎng)度是第二根繩子長(zhǎng)度的3倍。 56-2X=3(36-2X) X=13 答：13分鐘后第一根繩子的長(zhǎng)度是第二根繩子長(zhǎng)度的3倍。趣味數(shù)學(xué)趣味數(shù)學(xué)例例2. 同學(xué)們參加野炊，一位同學(xué)到負(fù)責(zé)后勤的老師領(lǐng)碗，老師問他領(lǐng)多少，他說領(lǐng)55個(gè)，又問他多少人吃飯，他說一人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)菜碗，三人一個(gè)湯碗，問這名同學(xué)給多少人領(lǐng)碗？解解 答答 解:設(shè)這名同學(xué)給X個(gè)同學(xué)領(lǐng)碗. X=30 答：這名同學(xué)給30個(gè)同學(xué)領(lǐng)

3、碗。5532XXX55611X 雞兔同籠問題雞兔同籠問題例例3. 雞兔同籠，雞比兔多10只，共有腳110只，求雞兔各有幾只？解解 析析方法一方法一： 雞比兔多10只，假設(shè)兔加上10只就和雞一樣多了，這樣要加上40只腳，總共150只腳。然后一對(duì)一配對(duì)，每對(duì)里有一只雞和一只兔子，共6只腳。共配了多少對(duì)，就求出雞的只數(shù)了。 解： （110+104）（4+2）=25（只）雞 25-10=15（只） 兔 答：雞有25只，兔有15只。解答解答 方法二：方法二：用方程做 解設(shè)：有X只兔，有雞（X+10）只。 4X+ 2(X+10)=110 6X=90 X=15 15+10=25(只) 答：雞有25只，兔有1

4、5只。 行程問題行程問題例例4.甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，4小時(shí)相遇，甲車再開3小時(shí)到達(dá)B城。已知甲車每小時(shí)比乙車每小時(shí)快20千米。A、B兩地相距多少千米？解析解析 解設(shè)：乙的速度每小時(shí)行駛X千米，甲的速度是（X+20)千米。 4 X= 3（X+20) （60+20）（4+3）=560千米 X=60 答：AB兩地相距560千米。 工程問題工程問題例例5.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，如果兩人合做，他們的工作效率就要降低，甲只能完成原來(lái)的五分之四，乙只能完成原來(lái)的十分之九?，F(xiàn)在要求8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做的天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少天？解析解析甲的工作效率=11

5、0= ，合做后的工效= 乙的工作效率=115= ，合做后的工效= 效率和= 解設(shè)：合做X天，甲單獨(dú)做（8-X）天。 答：兩個(gè)人合做要用5天。101503109151252541011515075032521)8(101507XX5X例例6. 設(shè)有六位數(shù)1abcde,乘3后，變?yōu)閍bcde1,求這個(gè)六位數(shù)。 數(shù)論問題數(shù)論問題解解 答答 解設(shè)：abcde五位數(shù)為X。 3（100000+X）=10X+1 X=42857 答：這個(gè)六位數(shù)是142857。平面幾何平面幾何例例7.如右圖，以直角三角形ABC的兩條直角邊為直徑作兩個(gè)半圓，已知這兩段半圓弧的長(zhǎng)度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面積最大是

6、多少平方厘米？（取3.14）解答解答解設(shè)：直角邊長(zhǎng)為X和Y,則弧長(zhǎng)為： X2+Y2=37.68 （X+Y）2=37.68 X+Y=24（厘米）當(dāng)X=Y時(shí)乘積最大 即X=Y=12（厘米） 三角形面積=12122=72（平方厘米） 答：三角形面積是72平方厘米。典型例題精講典型例題精講例例1.如圖所示，平行四邊形ABCD的面積是40平方厘米，求圖中陰影部分的面積。 解析解析 連輔助線BD, SOBD和SOBC是等底等高的三角形，面積相等，是平行四邊形面積的一半。 S陰4022=10（平方厘米）例例2.如圖，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和EC交于H點(diǎn)，已知AB=4厘米，EF=6厘米，

7、則陰影部分的面積是多少平方厘米？解析解析連接DF,三角形DGH的面積等于三角形DFH的面積，原來(lái)陰影部分的面積等于三角形BDF的面積。S大正=66=36（平方厘米）S小正=44=16 36+16=52 （平方厘米）SABD=162=8（平方厘米） SEFD=（ 6-4）62=6（平方厘米） SBFG=（4+6）62=30（平方厘米） S陰=52-8-6-30=8（平方厘米）例例3. 如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，EC=2DE，F(xiàn)是DG的中點(diǎn)，G是BC中點(diǎn)，陰影部分的面積是20平方厘米，則長(zhǎng)方形ABCD的面積是_。 解析解析連接CF , F是中點(diǎn)，SCFG=SCFD, SBDF=SBFG,G是B

8、C中點(diǎn)，SCFG=SBFG=SCFD=SBDF,DE:EC=1：2，SDEF:SCFE=1：2，SCFG:SEFC=3:2, SCFG=2053=12（平方厘米） S長(zhǎng)=1242=96（平方厘米）例例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面積是1，三角形ABO面積是2，三角形BOD的面積是3，則四邊形DCEO的面積是多少？解析解析連接OC，把DCEO分成兩個(gè)三角形ECO和DCO設(shè)ECO面積為x，DCO面積為y由條件知，EO：OB1：2， AO：OD2：3則（AEO+ECO）:DCO2 :3ECO：（DCO+BOD）1:2即： x：(y+3)=1：2 (x+1)：y=2：3 解得：x=9, y=1

9、5所以DCEOx+y24例例5. 已知E為邊長(zhǎng)AD的中點(diǎn),正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，P是CE的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。解析解析連結(jié)BE,三角形BCE的面積=正方形面積的一半=882=32（平方厘米）SBPC的=SBCE2=16（平方厘米） SCDE=842=16（平方厘米）SPDC 的面積=SCDE2=8（平方厘米） S陰=S正2-16-8=8（平方厘米） 例6.如圖ABC是一個(gè)等腰直角三角形，AB=BC=10，求圖中陰影部分的面積。（單位：分米）解析我們做輔助線。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正方形ABCE。S半圓=553.142=39.25（平方厘米）S正=1010=100（平方厘米）SA

10、DE=10152=75（平方厘米）S陰=（39.25+100-75）2=32.125（平方厘米）例例7. 如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的面積是54平方厘米，BE=2AE，CF=2BF，則四邊形ACFE的面積是多少平方厘米？解析解析SABC=542=27連接CE。因?yàn)锳E:EB=1：2，所以：SACE:SBCE=1：2，SACE=273=9(平方厘米),SBCE=27-9=18(平方厘米)因?yàn)锽F:FC=1：2，所以SBEF:SCEF=1：2，SCEF=1832=12(平方厘米)SACFE=9+12=21(平方厘米)課后作業(yè)課后作業(yè)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4厘米，長(zhǎng)方形DEFG的頂點(diǎn)G在BC邊上

11、，則長(zhǎng)方形的面積為多少平方厘米？典型例題精講典型例題精講例1. 下圖中四個(gè)圓的半徑都是5厘米，求陰影部分的面積。解析 同學(xué)們請(qǐng)看圖，我們將圖形進(jìn)行割補(bǔ)。 把陰影部分割補(bǔ)成四個(gè)半圓形和一個(gè)正方形， 求出陰影部分面積就可以了。 2S圓=553.142=157（平方厘米） S正=（52）（52）=100（平方厘米） S陰=157+100=257（平方厘米）例例2.求圖中陰影部分的面積解 析在圖中分割的兩個(gè)正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個(gè)圓。如右圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分正好等于一個(gè)正方形的

12、面積，55=25。例例3.求圖中陰影部分的面積解析解析如圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補(bǔ)在陰影位置?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。 解： 444-442=4.56。例4. 在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段（見下圖），求圖中陰影部分的面積占整個(gè)圖形面積的幾分之幾。解解 析析從頂點(diǎn)作底邊上的高，得到兩個(gè)相同的直角三角形。將這兩個(gè)直角三角形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形見右圖。顯然，陰影部分正好是長(zhǎng)方形的三分之一，所以原題陰影部分占整個(gè)圖形面積的三分之一。還可以拼成

13、一個(gè)平行四邊形或?qū)⑵浞殖?個(gè)三角形。例例5. 如下圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形中，削去一個(gè)三角形后，剩下一個(gè)上底長(zhǎng)5厘米、下底長(zhǎng)9厘米的等腰梯形（陰影部分）。求這個(gè)梯形的面積。解析解析因?yàn)椴恢捞菪蔚母?，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個(gè)同樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形，圖中陰影部分是邊長(zhǎng)9厘米與邊長(zhǎng)5厘米的兩個(gè)正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（99-55）4=14（平方厘米）。例例6.ABC是三個(gè)圓的圓心，圓的半徑都是10分米，求陰影部分的面積。解析解析 我們用割補(bǔ)法，將陰影部分割補(bǔ)成一個(gè)半圓形，求出陰影部分面積就可以

14、了。 S半圓=10103.142=157平方分米 例例7.如圖所示，空白部分占正方形面積的幾分之幾？ 解解 析析 將陰影割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，正好占正方形面積的一半。例例8.求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。解析解析看圖，我們用割補(bǔ)法，陰影部分的面積等于扇形的面積減去空白三角形的面積。 S扇=443.144=12.56（平方厘米）S=4422=4（平方厘米）S陰=12.56-4=8.56（平方厘米）例例9.如圖，圓O的直徑是8厘米，則陰影部分的面積是多少平方厘米？解析解析 我們用割補(bǔ)法?？磮D，陰影部分的面積就是扇形的面積減去正方形的面積。S扇=883.144=50.24（平方厘米）S正=882=

15、32（平方厘米）50.24-32=18.24（平方厘米） 答：陰影部分的面積是18.24平方厘米。課后作業(yè)課后作業(yè) 以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個(gè)半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長(zhǎng)4厘米，求圖中陰影部分的面積。典型例題精講典型例題精講例例1. 圖中兩塊陰影部分的面積相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直徑，長(zhǎng)20厘米，計(jì)算AB的長(zhǎng)度。解解 析析 解：三角形ABC的面積與半圓形的面積相等 半徑=202=10厘米 10103.142 =3142 =157（平方厘米） 所以AB的長(zhǎng)為： 157220=15.7（厘米） 答：AB的長(zhǎng)是15.7厘米 例例2.如圖所示，平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)BC為1

16、0厘米，直角三角形BCE的直角邊EC為8厘米，已知陰影部分的面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求CF的長(zhǎng)。 解析：解析： 因?yàn)镃F是平行四邊形的高，要想求出CF的長(zhǎng)，我們只要求出平行四邊形的面積就可以了。根據(jù)已知條件，我們可以求出三角形的面積。三角形的面積加10就是平行四邊形的面積。 解：S平=10 8 2+10=50（平方厘米） CF=50 10=5（厘米） 答：CF長(zhǎng)5厘米。 例例3.如右圖，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米；以A為圓心，EF為圓弧，組成扇形AEF；陰影部分甲與乙的面積相等。求扇形所在的圓面積。 解析 我們將圖甲和圖乙放大，同樣加上一個(gè)空白，就可以得到三角形和一個(gè)扇

17、形。因?yàn)榧缀鸵业拿娣e相等，所以，三角形的面積和扇形的面積相等。SABC=10102=50（平方厘米）。 S扇=508=400（平方厘米） 答：扇形所在的圓面積是400平方厘米。例例4.如圖A與B是兩個(gè)圓（只有四分之一）的圓心。那么，兩個(gè)陰影部分的面積相差多少平方厘米？（單位：厘米）解析解析 長(zhǎng)方形的面積=陰影1+空白，扇形的面積=陰影2+空白+S小扇。 所以，陰影2+空白=S大扇-S小扇， 陰影部分的差=（陰影2+空白）-（陰影1+空白） S長(zhǎng)=24=8(平方厘米) S小扇=223.144=3.14(平方厘米) S大扇=443.144=12.56(平方厘米) 12.56-3.14=9.42(平

18、方厘米) S陰差=9.42-8=1.42(平方厘米)例例5.如圖所示，扇形ABD的半徑是4厘米，陰影部分比陰影部分大6.56平方厘米，求直角梯形ABCD的面積。解析解析如果求出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)梯形面積公式就可以求出梯形的面積。根據(jù)放大法，圖比圖大6.56平方厘米，扇形DAB的面積比三角形ABC的面積大6.56平方厘米。S扇=443.144=12.56（平方厘米）SABC=12.56-6.56=6（平方厘米）BC=624=3（厘米）S梯=（4+3）42=14（平方厘米）例例6. 圖中BOA90，以AO為直徑畫半圓交OD于E。如果圖中的面積為1平方厘米，求陰影部分的面積。解析解析 大圓的半徑OA是

19、小圓的直徑，即小圓與大圓的直徑比為1：2，則小圓與大圓的面積比為：1:4 小圓半圓的面積就是大圓面積的：1/41/21/8。 大圓中圓心角為45度的扇形OAD的面積也是大圓面積的1/8。 S扇OAD=S半圓，如果從這兩個(gè)圖形里都減去不規(guī)則的OAE（空白部分），剩下部分圖形面積一定也相等。即所求陰影部分面 積就等于圖中的面積為1平方厘米。例例7. 圖中平行四邊形的長(zhǎng)邊是6厘米，短邊長(zhǎng)是3厘米，高是2.6厘米，求陰影部分的面積。解析觀察圖，是由2個(gè)半徑6厘米的扇形、2個(gè)半徑3厘米的扇形和一個(gè)平行四邊形組合而成的。陰影部分是以O(shè)為圓心大扇形OAB與以D為圓心的小扇形DAC的重疊部分，分解圖形可得，陰

20、影部分和的面積和就等于這兩個(gè)扇形的面積和減去平行四邊形的面積: 3.146663.1433662.67.95(平方厘米) S陰=7.95215.9(平方厘米)課后作業(yè)課后作業(yè) 如圖，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)是8厘米，寬6厘米，延長(zhǎng)BC到E，陰影部分甲比乙面積多16平方厘米，求CE長(zhǎng)。體積和容積體積和容積體積概念：常用的體積單位：長(zhǎng)方體的體積公式：正方體的體積公式：長(zhǎng)方體和正方體統(tǒng)一公式：用字母表示：容積概念：容積單位：典型例題精講典型例題精講例例1. 一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積是368平方厘米，底面積是40平方厘米，底面周長(zhǎng)是36厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。解解 答答 368-402=288平方厘米 2883

21、6=8（厘米） V=408=320（立方厘米） 答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是320立方厘米。例例2 .將一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)減小5厘米，變成了正方體，正方體表面積比原來(lái)長(zhǎng)方體表面積減少了60平方厘米。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解解 答答604=15（平方厘米）155=3（厘米）33（5+3）=72（平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是72立方厘米。例例3. 有甲，乙兩個(gè)水箱，從里面測(cè)量，甲水箱長(zhǎng)15分米，寬10分米，高8分米，乙水箱長(zhǎng)10分米，寬10分米，高9分米，甲水箱裝滿水，乙水箱空著，現(xiàn)將甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使兩箱水水面高度一樣，兩個(gè)水箱的水面高度是多少分米？解解 答答甲水箱的體積=1

22、5108=1200（立方分米）1200（1510+1010）=4.8（分米） 答：兩個(gè)水箱的水面高度是4.8分米。例例4. 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為12厘米，高為8厘米，前后兩個(gè)面，上面和側(cè)面各一個(gè)面的面積之和是392平方厘米，求另外兩個(gè)面積是多少平方厘米？這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？2022-3-15解解 答答 （1）另外兩個(gè)面積是:392-1282=200（平方厘米） （2）200（12+8）=10（厘米） 體積=12108=960（立方厘米） 答：另外兩個(gè)面積是200平方厘米， 長(zhǎng)方體的體積是960立方厘米。例例5. 某工人用薄板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵包包裝箱，并用編織繩在三個(gè)方向上加固，使用的

23、編織繩長(zhǎng)度分別為365厘米、405厘米、485厘米。若每根編織繩加固時(shí)結(jié)頭都是5厘米，則這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米？ 解析（365-5）2=180厘米（405-5）2=200厘米（485-5）2=240厘米 長(zhǎng)+寬+高= (180+200+240)2=310厘米 長(zhǎng)= 310-180=130厘米 寬=310-200=110厘米 高=310-240=70厘米 V=13011070=1001000立方厘米=1.001立方米例例6.有甲乙丙三種大小不同的正方體木塊，其中甲的棱長(zhǎng)是乙的棱長(zhǎng)的二分之一，乙的棱長(zhǎng)是丙的棱長(zhǎng)的三分之二。如果用甲乙丙三種木塊拼成一個(gè)盡可能小的大正方體（每塊至少用一塊）

24、，那么最多需要這三種木塊共多少塊？最少需要用這三種木塊共多少塊？解析解析 根據(jù)已知條件得知甲乙丙棱長(zhǎng)之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱長(zhǎng)是3厘米的丙正方體拼成較大的正方體，至少用8塊，拿掉一塊丙用乙和甲來(lái)補(bǔ)，需要乙1塊，甲19塊，共需要甲+乙+ 丙=19+1+7=27塊。（2）最多用92塊。如果拼成棱長(zhǎng)是5厘米的正方體，用一塊丙和一塊乙，需要甲=555-222-333=90（塊）90+1+1=92（塊） 例例7. 在底面邊長(zhǎng)是60厘米的正方形的一個(gè)長(zhǎng)方體容器里，直立著一個(gè)長(zhǎng)100厘米，底面為邊長(zhǎng)15厘米的正方形的四棱柱鐵棍，這時(shí)容器里的水深為50厘米，現(xiàn)在把鐵棍輕輕地向正上方提

25、起24厘米，露出水面的四棱柱，浸濕部分長(zhǎng)多少厘米？ 方法一、方法一、151524（6060-1515） =1.6厘米 24+1.6=25.6厘米 答：浸濕部分長(zhǎng)25.6厘米。解解 答答解解 答答 方法二、方法二、 解設(shè)：拔出24厘米后，浸在水里的部分為X厘米。 （6060-1515）X+606024=（6060-1515）50 3375X=82350 X=24.4 50-24.4=25.6（厘米） 答：露出水面的四棱柱，浸濕部分長(zhǎng)25.6厘米。課后作業(yè)課后作業(yè) 如圖一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方形?，F(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一

26、個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少立方厘米？ ?12?12?9?9?9?6?6?6?3?12?12?6?3?9?12表面積計(jì)算公式長(zhǎng)方體和正方體六個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。常用的面積單位有：平方厘米，平方分米，平方米，公頃等。長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高+寬高）2，用字母 表示S=2（ab+ac+bc）,正方體的表面積S=aa6典型例題精講典型例題精講例例1. 把一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的大正方體木塊切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，這些小正方體的表面積的總和是多少平方厘米？解析解析方法一： 共分成444=64（個(gè)） S=11664=384（平方厘米）方法二：沿

27、著長(zhǎng)、寬、高分別切三刀，共切9刀，一共增加92=18個(gè)面，加上原來(lái)的六個(gè)面共有18+6=24（個(gè)） S= 4424=384（平方厘米） 答：這些小正方體的表面積的總和是384平方厘米。例例2.把一個(gè)長(zhǎng)12分米，寬6分米，高10分米的長(zhǎng)方體截成3個(gè)相同的小長(zhǎng)方體，它的表面積最多可以增加多少平方分米？共有三種切法共有三種切法例例3.在棱長(zhǎng)為3厘米的正方體木塊的每個(gè)面的中心打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，求挖洞后木塊的體積和表面積。解答解答 V=333-1117=20（立方厘米） S=336=54（平方厘米） 54-116+1146=72（平方厘米） 答：體積是20立方厘米，表面積是7

28、2平方厘米。例例4. 一個(gè)正方體木塊，棱長(zhǎng)是15，從它的八個(gè)頂點(diǎn)處各截去棱長(zhǎng)分別是1,2,3,4,5,6,7,8的小正方體，求這個(gè)木塊剩下部分的表面積最少是多少？看圖解析看圖解析解答解答 15156=1350 1350-772=1252 答：這個(gè)木塊剩下部分的表面積最少是1252。例例5.有一個(gè)正方體，它的六個(gè)面分別被涂上互不相同的顏色。如果從不同的角度給這個(gè)正方體拍照，那么有時(shí)只能拍到一個(gè)面，兩個(gè)面，最多能同時(shí)拍到三個(gè)面。洗出照片后，照片中正方體的面的顏色搭配種類最多有多少種？解解 析析 一個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)六個(gè)面每個(gè)拍一張，就有6張了。 兩個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)面對(duì)一個(gè)棱，沖著這個(gè)棱拍過去，有兩個(gè)面，立方

29、體一共12條棱，所以就又有12張。 三個(gè)面的：?jiǎn)为?dú)面對(duì)一個(gè)頂點(diǎn)，沖著頂點(diǎn)拍過去，就有三個(gè)面，立方體一共有8個(gè)頂點(diǎn)，所以就又有8張了。 所以一共有6+12+8=26張。即26種。例例6. 給一個(gè)正方體的每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，每種顏色涂?jī)蓚€(gè)面，共有多少種不同的涂法？（兩種涂法，如果經(jīng)過翻動(dòng)能使各種顏色的位置相同，就認(rèn)為是相同的涂法）解析解析 共有4種情況。同種顏色，不是相鄰就是相對(duì)。 紅、黃、藍(lán)兩個(gè)面分別相對(duì)時(shí)，有三種情況，兩兩相鄰時(shí)有一種情況，共有四種情況。例例7.把正方體的六個(gè)面分別劃分成9個(gè)相等的正方形，然后用紅黃籃三種顏色去給每個(gè)小正方形染色，要求有公共邊的正方形染色不

30、同。問染紅色的小正方形最多有多少個(gè)？染色示意圖染色示意圖三個(gè)面中共染紅色小正方形三個(gè)面中共染紅色小正方形1111塊，塊，六個(gè)面最多染紅色的小正方形六個(gè)面最多染紅色的小正方形2222塊。塊。黃色的小正方形黃色的小正方形2222塊，藍(lán)色的小塊，藍(lán)色的小正方形正方形1010塊。塊。課后作業(yè)課后作業(yè)（一） 如圖所示，從一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體的上面的正中向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為0.5厘米的正方體，接著再在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)邊長(zhǎng)為0.25厘米的正方體小洞。求現(xiàn)在得到的立體圖形的表面積為多少平方厘米？課后作業(yè)（二）課后作業(yè)（二） 右圖是一個(gè)456的

31、長(zhǎng)方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？體積公式推導(dǎo)底面積底面積高高 圓柱體積公式 長(zhǎng)方體的體積底面積長(zhǎng)方體的體積底面積高高圓柱體的體積底面積圓柱體的體積底面積高高圓錐體積公式圓錐體積公式圓錐體積公式 結(jié)論結(jié)論：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一 V柱= Sh V錐= Sh3典型例題精講例例1. 一個(gè)圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米。將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后，再截開拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體，表面積增加了多少平方厘米？ 解 答S底=223.14=12.56（平方厘米） h高=50.2412.56=4（厘米）S增

32、加=422=16（平方厘米）答：表面積增加了16平方厘米。 例例2. 在一個(gè)圓柱形水桶里放入一個(gè)半徑為5厘米的圓柱形鋼塊。如果把鋼塊浸沒在水中，桶里的水面就會(huì)上升9厘米；如果沿豎直方向把浸沒在水中的鋼塊提起8厘米，桶里的水面就會(huì)下降4厘米。求圓柱形鋼塊的體積？解 析 先求出露出水面的圓柱形鋼塊的體積，因?yàn)橄陆档乃捏w積與露出水面的圓柱形鋼塊的體積相等，所以可求出圓柱形水桶的底面積。又因?yàn)楫?dāng)鋼塊浸沒在水中時(shí)，上升的水的體積與鋼塊的體積相等，所以可以求出圓柱形鋼塊的體積。等積轉(zhuǎn)化是本題的考察重點(diǎn)內(nèi)容。解答 解： V鋼=3.14558=628（立方厘米） 下降4厘米的水的體積與拔出8厘米圓柱形鋼塊的

33、體積相等 S水桶=6284=157（平方厘米）當(dāng)鋼塊浸沒在水中時(shí)，上升的水的體積與鋼塊的體積相等。 上升的水的體積15791413（立方厘米） 答：圓柱形鋼塊的體積是1413立方厘米。例例3.將一個(gè)圓柱體木塊沿上下底面圓心切成四塊，表面積增加48平方厘米；若將這個(gè)圓柱體切成三塊小圓柱體，表面積增加50.24平方厘米?，F(xiàn)在把這個(gè)圓柱體木塊削成一個(gè)最大的圓錐體，體積減少多少立方厘米？ 解析 將圓心切成四塊，需要切兩刀，增加四個(gè)相等的長(zhǎng)方形，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積是484=12（平方厘米）。如果切成三個(gè)圓柱體，需要用兩刀，也增加4個(gè)面，是4個(gè)相等的底面，每個(gè)底面的面積是 S底=50.244=12.56（平

34、方厘米）， 因?yàn)?23.14=12.56（平方厘米），所以半徑=2厘米，直徑是4厘米， 高=124=3厘米。 圓柱體積V=12.563=37.68立方厘米，削成一個(gè)最大的圓錐，減少圓柱體積的三分之二，減少37.6832=25.12立方厘米.例例4.一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖：已知它的容積為400毫升。當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為2厘米。問：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少毫升。解答 將倒置的空白部分和酒精溶液部分拼成一個(gè)圓柱體。 因?yàn)椋篤=Sh 所以： S=Vh h=6+2=8（厘米） 400毫升=400立方厘米 S底=4008=50（平方厘米）

35、 V=506=300（立方厘米）=300（毫升） 答：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是300毫升。例例5.如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個(gè)容器最多能裝水多少升？解答 解設(shè)：小圓錐的高度是2厘米，則大圓錐的高度是4厘米，設(shè)小圓錐的底面半徑是1厘米，則大圓錐的底面半徑是2厘米。 V小=1123=23 V大=2243=163 V大：V小=8 ：1 508=400（升） 答：這個(gè)容器最多能裝水400升。例例6. 在一個(gè)底面直徑是40厘米的圓柱形盛水缸里，有一個(gè)直徑是10厘米的圓錐形鑄件完全浸于水中，取出鑄件后，缸里的水下降0.5厘米，求鑄件的高？ 解 答R=402=20厘米，r=102=

36、5厘米S柱=20203.14=1256（平方厘米）S錐=553.14=78.5（平方厘米）V錐=12560.5=628（立方厘米）h錐=628378.5=24（厘米） 答：鑄件的高是24厘米。 例例7. 如圖所示，皮球掉進(jìn)一個(gè)盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶底面直徑為60厘米。皮球有 的體積浸在水中，問皮球掉到水桶中后，水面升高了多少厘米？ （注：皮球的體積為 ）54r334解 析 解：皮球的體積是：水面升高的高度是4509000.5（厘米） 答：水面升高了0.5厘米。 課后作業(yè) 如圖，在一個(gè)正方體的前后面和側(cè)面的中心各打通一個(gè)長(zhǎng)方體的洞，在上下底面的中心打通一個(gè)圓柱形的洞。已

37、知正方體邊長(zhǎng)為10厘米，側(cè)面上的洞口是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形，上下底面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積。圓柱表面積展開圖 圓柱表面積推導(dǎo)公式?長(zhǎng)方形的長(zhǎng)圓柱的底面周長(zhǎng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)圓柱的底面周長(zhǎng)長(zhǎng)方形的寬圓柱的高長(zhǎng)方形的寬圓柱的高圓柱的側(cè)面積底面周長(zhǎng)圓柱的側(cè)面積底面周長(zhǎng)高高S S側(cè)側(cè)=Ch=Ch=dh=2rh=dh=2rh圓柱的表面積側(cè)面積兩個(gè)底面的面圓柱的表面積側(cè)面積兩個(gè)底面的面積積 S S表表=S=S側(cè)側(cè)+2S+2S底底 典型例題精講例1. 做一個(gè)圓柱形紙盒，至少需要用多大面積的紙板？（接口處不計(jì)，單位厘米） 解解 答答S底=10103.14=314 3142=628（平方厘米）S側(cè)=1023.1430 =1884（平方厘米）S表=628+1884 =2512（平方厘米） 答：至少需要用2512平方厘米。例2. 一臺(tái)壓路機(jī)的滾筒寬1.2米，直徑為8分米，如果它滾動(dòng)10周，壓路的面積是多少平方米？解解 答答 8分米=0.8米 S側(cè)=0.83.141.2=3.0144平方米 3.014410=30.144平方米答：壓路的面積是30.144平方米。例例3. 一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，這個(gè)圓柱的高是12.56厘米，則這個(gè)圓柱的表面積是多少？（保留整數(shù)） 解解 答答r=12.563