大學物理課后習題答案第六章

1、第6章 真空中的靜電場 習題及答案1.電荷為 q和 2q的兩個點電荷分別置于 x 1m和x1m處。一試驗電荷置于 x軸上何處，它受到的合力等于零？解：根據兩個點電荷對試驗電荷的庫侖力的大小及方向可以斷定，只有試驗電荷q0位于點電荷 q的右側，它受到的合力才可能為0,所以2qqoqqo2 24 n o(x 1)4 n o (x 1)2.電量都是q的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點。試問：1在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都到達平衡即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零？2這種平衡與三角形的邊長有無關系？解：1以A處點電荷為研究對象，由力平衡知,q為負電荷，所以2與

2、 cos30 aqq4 n o / . 3 、2 (a)32與三角形邊長無關。3.如下列圖，半徑為R、電荷線密度為1的一個均勻帶電圓環(huán),在其軸線上放一長為I、電荷線密度為 2的均勻帶電直線段，該線段的一端處于圓環(huán)中心處。求該直線段受到的電 場力。dq 1dl , dq 在帶解：先求均勻帶電圓環(huán)在其軸線上產生的場強。在帶電圓環(huán)上取電圓環(huán)軸線上x處產生的場強大小為dEdq4 o(x2 R2)根據電荷分布的對稱性知，Ey Ez odEx dE cos1 xdq4 o (x2 R2)2式中：為dq到場點的連線與x軸負向的夾角。Ex 3 dq4 o(x2 R2/x 1 2 R 1R x4 0 (x2 R

3、2)22 0 (x2 R2)2下面求直線段受到的電場力。在直線段上取dq 2dx , dq受到的電場力大小為dFExdq1 2只xdx2 0 (x2 r2).2方向沿x軸正方向。直線段受到的電場力大小為FdF1 2 R 1R2)嚴20 20(x1 2 R112 0R2 2i2 r21/2方向沿x軸正方向。4. 一個半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為。求:1圓心處0點的場強；2將此帶電半圓環(huán)彎成一個整圓后，圓心處0點場強。解：1在半圓環(huán)上取dq dlRd ，它在0點產生場強大小為dEdq4 n 0 R2,方向沿半徑向外根據電荷分布的對稱性知，Ey 0dEx dEsinsin d4 n 0RE

4、xsin d04n 0R2n 0R故E Ex亍，方向沿x軸正向。2當將此帶電半圓環(huán)彎成一個整圓后，由電荷分布的對稱性可知，圓心處電場強度 為零。5如下列圖，真空中一長為 L的均勻帶電細直桿，總電量為q，試求在直桿延長線上距dq dxqdx，dq在P點產生的場桿的一端距離為d的P點的電場強度。解：建立圖示坐標系。在均勻帶電細直桿上取強大小為dEdq2oX叭，方向沿X軸負方向。4 oX故 P點場強大小為EpdEdx4 oX2q4od d L方向沿X軸負方向。6. 一半徑為R的均勻帶電半球面，其電荷面密度為，求球心處電場強度的大小。解：建立圖示坐標系。 將均勻帶電半球面看成許多均勻帶電細圓環(huán)，應用場

5、強疊加原理求解。在半球面上取寬度為 dl的細圓環(huán)，其帶電量 dq dS 2 rdl 2 R2 sin d dq在O點產生場強大小為參見教材中均勻帶電圓環(huán)軸線上dExdq，方向沿x軸負方向. ,22、3240x r 2利用幾何關系，x Rcos ， rRsin 統(tǒng)住一積分變量，得dExdq40x2 r22的場強公式rdlR! -ilzO 11 Rcos4 0R322 R2 sin dsin cos d2 0因為所有的細圓環(huán)在在O點產生的場強方向均沿為x軸負方向，所以球心處電場強度的大小為/2E dEsin cos d2 02 0方向沿x軸負方向。7. 一無限大平面，中部有一半徑為R的圓孔，設平面

6、上均勻帶電，電荷面密度為，如下列圖。試求通過小孔中心 0并與平面垂直的直線上各點的場強。解：應用補償法和場強疊加原理求解。假設把半徑為 R的圓孔看作由等量的正、負電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平面等效 為一個完整的“無限大帶電平面和一個電荷面密度為的半徑為R的帶電圓盤,由場強疊加原理知，P點的場強等效于“無限大帶電平面和帶電圓盤在該處產生的場強的矢量和?！盁o限大帶電平面在 P點產生的場強大小為(TE1，方向沿X軸正方向2 0半徑為R、電荷面密度 盤軸線上的場強公式E2(1xR2=)，方向沿x軸負方向X故P點的場強大小為EEiE22 0 R2的圓盤在P點產生的場強大小為參見教材中均勻帶電圓方向沿x

7、軸正方向。8. (1)點電荷q位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一 個面的電場強度通量；(2)如果該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方 體各面的電場強度通量是多少？解：1由高斯定理 E dS 求解。s0立方體六個面，當 q在立方體中心時，每個面上電通量相等，所以通過各面電通量為2電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長2a的立方體，使q處于邊長2a的立方體中心，那么通過邊長2a的正方形各面的電通量對于邊長a的正方形，如果它不包含q所在的頂點，那么q，如果它包含24 0在頂點，貝U e9.兩個無限大的平行平面都均勻帶電,電荷的面密度分別為i和2，試求空間各處場強

8、。解：如下列圖，電荷面密度為i的平面產生的場強大小為E式，方向垂直于該平面指向外側電荷面密度為2的平面產生的場強大小為，方向垂直于該平面指向外側由場強疊加原理得兩面之間,EiE22，方向垂直于平面向右i面左側,EiE2-(i02，方向垂直于平面向左2面右側,EiE2i廠(i2 02，方向垂直于平面向右10.如下列圖,一球殼體的內外半徑分別為尺和r2，電荷均勻地分布在殼體內，電荷體密度為0。試求各區(qū)域的電場強度分布。電場具有球對稱分布，r為半徑作同心球面為高斯面。由高斯定理SEdSqi得4 r2i qi0Ri時,qi所以Rir R2 時,qi43R ，所以(r3 R3)3 0r2R2 時，qi4

9、3(4 R23R ，所以(R23 R13)T0P11.有兩個均勻帶電的同心帶電球面，半徑分別為R1和R2 R2&丨，假設大球面的面電荷密度為，且大球面外的電場強度為零。求:大球面內各點的電場強度。解：1小球面上的面電荷密度；21電場具有球對稱分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由高斯定理dS2R2時,r R2 時,4 r2qi1qi04 R224 R120，所以R2)2(R1qi所以qi4 R1242&，所以qi得E理2 r 0負號表示場強方向沿徑向指向球心。12. 一厚度為d的無限大的帶電平板，平板內均勻帶電，其體電荷密度為，求板內外的場強。解：電場分布具有面對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面

10、，圓柱面與平板垂直，設兩底1面圓到平板中心的距離均為 x，底面圓的面積為S。由高斯定理E dSqi得S01:E dS E S E S 0 qiS0pl當x d時平板內部，qi 2x S，所以2d當X齊平板外部，qid S，所以13. 半徑為R的無限長直圓柱體均勻帶電，體電荷密度為，求其場強分布。解：電場分布具有軸對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面，圓柱面高為I，底面圓半徑為r，應用咼斯定理求解。(1)當rR時，: ESqidSE 2 nl q0r2l，所以rE20(2)當rR時，qiR2l，所以2RE20r，設無窮遠處為電勢零點，求圓盤中14. 一半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為 心0點的電

11、勢。解：取半徑為r、dr的細圓環(huán)dq dS2 rdr，那么dq在0點產生的電勢為dVdq4 ordr圓盤中心O點的電勢為dVdr02 o15.真空中兩個半徑都為 R的共軸圓環(huán),相距為I。兩圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度分別是 和。取兩環(huán)的軸線為x軸，坐標原點O離兩環(huán)中心的距離均為 丄，如下列圖。求x2軸上任一點的電勢。設無窮遠處為電勢零點。解：在右邊帶電圓環(huán)上取 dq，它在x軸上任一點P產生的的電勢為dV廠dq4 o , (x I/2)2 R2右邊帶電圓環(huán)在 P產生的的電勢為dV4 o (x I/2)2 R2dqR2 o (x I/2)2 R2同理，左邊帶電圓環(huán)在 P產生的電勢為R2 0 (x I/

12、2)2 R2由電勢疊加原理知，P的電勢為V V V 尹.(x I/2)2 R2, (x 1/2)2 R2)16.真空中一半徑為R的球形區(qū)域內均勻分布著體電荷密度為的正電荷，該區(qū)域內12a點離球心的距離為R，b點離球心的距離為R。求a、b兩點間的電勢差 Uab33解：電場分布具有軸對稱性，以 0為球心、作半徑為r的同心球面為高斯面。由高斯定理 SE dSqi得當 r R時，E 4 r20r3，所以22R/3 rRdrR/33 018 0a、b兩點間的電勢差為bUab E dra17.細長圓柱形電容器由同軸的內、 外圓柱面構成，其半徑分別為a和3a , 兩圓柱面間為真空。電容器充電后內、外兩圓柱面

13、之間的電勢差為U。求：1內圓柱面上單位長度所帶的電量；2在離軸線距離r 2a處的電場強度大小。解：1電場分布具有軸對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面，圓柱面高為I，底面圓半徑為r，應用高斯定理求解。E dS E 2 nl 丄 qiSi內、外兩圓柱面之間，qj I，所以2 or內、外兩圓柱面之間的電勢差為3aU E dra3adra 2or-In 30內圓柱面上單位長度所帶的電量為2 oUIn 32將 代人場強大小的表達式得,Urln3在離軸線距離rE2a處的電場強度大小為U2aln318.如下列圖，在A， B兩點處放有電量分別為+ q,- q的點電荷，AB間距離為2R，現將另一正試驗點電荷 q從0點經過半圓弧移到 C點，求移動過程中電場力作的功。解：0點的電勢為V。qq c4 n 0R 4n RC點的電勢為4R 0(B f? cVcqqq4 n 03R4 n 0R6 n 0R電場力作的功為Aq0(VOVc)qq6 n 0 R19.如下列圖，均勻帶電的細圓環(huán)半徑為 R，所帶電量為Q Q 0，圓環(huán)的圓心為 0 , 一質量為m，帶電量為q q 0丨的粒子位于圓環(huán)軸線上的 P點處，P點離0點的距離 為d。求：1粒子所受的電場力 F的大小和方向；2該帶電粒子在電場力 F的作用下從P點由靜止開始沿軸線運動， 當粒子運動到無 窮遠處時的速度為多大？解：1