太原理工大學(xué)數(shù)值計算方法題庫

1、太原理工大學(xué)數(shù)值計算方法題庫數(shù)值計算方法試題一一、 填空題1、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。2、迭代格式局部收斂的充分條件是取值在（）。3、已知是三次樣條函數(shù)，則=(3)，=（3），=（1）。4、是以整數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則(1)，()，當(dāng)時()。5、設(shè)和節(jié)點則 6和。6、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度為9，5個節(jié)點的求積公式最高代數(shù)精度為9。7、是區(qū)間上權(quán)函數(shù)的最高項系數(shù)為1的正交多項式族，其中，則0。8、給定方程組，為實數(shù)，當(dāng)滿足，且時，SOR迭代法收斂。9、解初值問題的改進(jìn)歐拉法是2階方法。10、設(shè)，當(dāng)（）時，必有分解式，其

2、中為下三角陣，當(dāng)其對角線元素滿足（）條件時，這種分解是唯一的。二、選擇題1、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（2）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當(dāng)系數(shù)是負(fù)值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)（1）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（1）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次4、若用二階中點公式求解初值問題，試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長的取值范圍為（3）。(1), (2),

3、 (3), (4)三、1、用最小二乘法求形如的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 2、用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算時，(1)試用余項估計其誤差。（2）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：四、1、方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。選一種迭代格式建立Steffensen迭代法，并進(jìn)行計算與前一種結(jié)果比較，說明是否有加速效果。解

4、：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，Steffensen迭代：計算結(jié)果：， 有加速效果。2、已知方程組，其中，（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出SOR迭代法。解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：， SOR迭代法：五、1、取步長，求解初值問題用改進(jìn)的歐拉法求的值；用經(jīng)典的四階龍格庫塔法求的值。解：改進(jìn)的歐拉法：所以；經(jīng)典的四階龍格庫塔法：，所以。2、求一次數(shù)不高于4次的多項式使它滿足,解：設(shè)為滿足條件的Hermite插值多項式，則 代入條件得：六、（下列2題任選

5、一題，4分）1、 數(shù)值積分公式形如1,試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；2,設(shè)，推導(dǎo)余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：， 2、 用二步法 求解常微分方程的初值問題時，如何選擇參數(shù)使方法階數(shù)盡可能高，并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。解：所以 主項： 該方法是二階的。數(shù)值計算方法試題二一、判斷題：、若是階非奇異陣，則必存在單位下三角陣和上三角陣，使唯一成立。（）、當(dāng)時，Newtoncotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。（）3、形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精確度的次數(shù)為。 （）、矩陣的范數(shù)。（）5、設(shè)，則對任意實數(shù)，方程

6、組都是病態(tài)的。（用） （）6、設(shè)，且有（單位陣），則有。（）7、區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的直交多項式是存在的，且唯一。（）8、對矩陣A作如下的Doolittle分解：，的值分別為2，2。（）二、填空題： 1、設(shè)，則均差 ，0。2、設(shè)函數(shù)于區(qū)間上有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為的一個重零點，Newton迭代公式的收斂階至少是二階。、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。4、向量,矩陣，則 16，90。5、為使兩點的數(shù)值求積公式：具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點應(yīng)為，_。6、設(shè)，則（譜半徑） = 。（此處填小于、大于、等于）7、設(shè)，則0。三、簡答題：1、 方程在區(qū)間內(nèi)有唯一根，若用迭代公式： ，則其產(chǎn)

7、生的序列是否收斂于？說明理由。解：迭代函數(shù)為 2、 使用高斯消去法解線性代數(shù)方程組，一般為什么要用選主元的技術(shù)？答：Gauss消去法能進(jìn)行到底的條件是各步消元的主元素全不為0，如果在消元過程中發(fā)現(xiàn)某個主元素為0，即使，則消元過程將無法進(jìn)行；其次，即使主元素不為0，但若主元素的絕對值很小，用它作除數(shù)，將使該步消元的乘數(shù)絕對值很大，勢必造成舍入誤差的嚴(yán)重擴(kuò)散，以致于方程組解的精確程度受到嚴(yán)重影響，采用選主元的技術(shù)，可避免主元素=0或很小的情況發(fā)生，從而不會使計算中斷或因誤差擴(kuò)大太大而使計算不穩(wěn)定。3、 設(shè)，試選擇較好的算法計算函數(shù)值。解：四、已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)

8、精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。五、已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂。證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。六、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數(shù)精度為1。七、設(shè)線性代數(shù)方程組中系數(shù)矩陣非奇異，為精確解，若向量是的一個近似解，殘向量，證明估計式：（假定所用矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容）。證明：由題意知： 又 所以。八、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求滿足下列插值條件的

9、一個次數(shù)不超過3的插值多項式，并導(dǎo)出其余項。012012-1133解：設(shè) 所以由得：所以令，作輔助函數(shù)則在上也具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且至少有4個零點：反復(fù)利用羅爾定理可得：，所以 九、設(shè)是區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)的直交多項式序列，為的零點， 是以為基點的拉格朗日(Lagrange)插值基函數(shù)，為高斯型求積公式，證明：（1） 當(dāng)時，（2）（3）證明：形如的高斯（Gauss）型求積公式具有最高代數(shù)精度2n+1次，它對取所有次數(shù)不超過2n+1次的多項式均精確成立1）2）因為是n次多項式，且有 所以()3）取，代入求積公式：因為是2n次多項式， 所以 故結(jié)論成立。十、若，互異，求的值，其中。解：數(shù)值計算方法試題三一

10、、填空題(1) 改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確。(2) 若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分10次。(3) 設(shè)，則.(4) 設(shè)是3次樣條函數(shù)，則a=3, b=-3 , c=1。(5) 若用復(fù)化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用477個求積節(jié)點。(6) 寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂收斂。(7) 設(shè),則9，91。(8) 若用Euler法求解初值問題，為保證算法的絕對穩(wěn)定，則步長h的取值范圍為h0.2二. 1.寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。，n=0,1,2, 對

11、任意的初值,迭代公式都收斂。2.以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553.求在區(qū)間0,1上的1次最佳平方逼近多項式。設(shè)， ,=0.873127+1.69031x4.用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項： ，5.用Gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.

12、0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.68756.求方程組 的最小二乘解。， 若用Householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.7.已知常微分方程的初值問題： 用改進(jìn)的Euler方法計算的近似值，取步長。，三在下列5個題中至多選做3個題)(1)求一次數(shù)不超過4次的多項式p(x)滿足：，差分表：11122151515575720204272152230781其他方法：設(shè)令，求出a和b(2)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準(zhǔn)確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代數(shù)精度=2(3)用冪法求矩陣的模最大的特征值及其相應(yīng)的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的距離小于0.05，取特征向量的初始近似值為。, , , , ，, , ，(4)推導(dǎo)求解常微分方程初值問題 的形式為 ,i=1,2,N的公式，使其精度盡量高